Somma di 10 quadrati
Presento un caso particolare di una formula che ho trovato stamani. Considero estremamente improbabile questo risultato non sia noto, ad ogni modo non l'ho mai visto-
Sono partito da
$3^2+4^2=5^2$
Abbiamo la somma dei quadrati di n numeri consecutivi e questa è uguale alla somma dei quadrati dei successi successivi (n-1) numeri consecutivi.Nel nostro caso n=2.
Presento il caso n=10
$171^2+172^2+173^2+174^2+175^2+176^2+177^2+178^2+179^2+180^2=181^2+182^2+183^2+184^2+185^2+186^2+187^2+188^2+189^2$
ciao
Oliver
P.S:
Non presenterò sul forum la mia formula riguardo la somma dei quadrati di numeri successivi. Vi lascio il piacere della scoperta.Del resto è notorio che la scoperta matematica è destinata soprattutto ai giovani.
Ripeto: mi pare impossibile questa formula non sia nota, ma quando ho visto che funzionava ho avuto una bella soddisfazione.
[xdom="gugo82"]La proposizione enunciata nella forma qui presentata è falsa.
Ad esempio, $3^2 + 4^2 + 5^2 != 6^2 + 7^2$, $4^2 + 5^2 +6^2 != 7^2 + 8^2$, $5^2 + 6^2 + 7^2 != 8^2 + 9^2$, $6^2 + 7^2 + 8^2 != 9^2 + 10^2$, etc...
Prima di postare un problema assicurati almeno che il testo sia scritto in maniera comprensibile.[/xdom]
Sono partito da
$3^2+4^2=5^2$
Abbiamo la somma dei quadrati di n numeri consecutivi e questa è uguale alla somma dei quadrati dei successi successivi (n-1) numeri consecutivi.Nel nostro caso n=2.
Presento il caso n=10
$171^2+172^2+173^2+174^2+175^2+176^2+177^2+178^2+179^2+180^2=181^2+182^2+183^2+184^2+185^2+186^2+187^2+188^2+189^2$
ciao
Oliver
P.S:
Non presenterò sul forum la mia formula riguardo la somma dei quadrati di numeri successivi. Vi lascio il piacere della scoperta.Del resto è notorio che la scoperta matematica è destinata soprattutto ai giovani.
Ripeto: mi pare impossibile questa formula non sia nota, ma quando ho visto che funzionava ho avuto una bella soddisfazione.
[xdom="gugo82"]La proposizione enunciata nella forma qui presentata è falsa.
Ad esempio, $3^2 + 4^2 + 5^2 != 6^2 + 7^2$, $4^2 + 5^2 +6^2 != 7^2 + 8^2$, $5^2 + 6^2 + 7^2 != 8^2 + 9^2$, $6^2 + 7^2 + 8^2 != 9^2 + 10^2$, etc...
Prima di postare un problema assicurati almeno che il testo sia scritto in maniera comprensibile.[/xdom]
Risposte
"Oliver Heaviside":
Abbiamo la somma dei quadrati di n numeri consecutivi e questa è uguale alla somma dei quadrati dei successi successivi (n-1) numeri consecutivi.Nel nostro caso n=2.
Forse non ho ben capito cosa intendi, ma questo è sicuramente falso in generale!
Le soluzioni negli interi a \( x^2+y^2 = z^2 \) sono ben note (Ultimo teorema di Fermat per \(n=2\)) e sono della forma
\[ (x,y,z) = (u^2-v^2,-2uv,v^2+u^2) \]
quando \(x,y,z \) sono coprimi tra loro. Dove \( \operatorname{gcd}(u,v) = 1 \). E poi tutte le altre soluzioni le ricavi da queste quando \(x,y,z \) non sono coprimi.
Ad esempio \(4^2 + 5^2 = 41 \neq 36 = 6^2 \)
Mi sembra di capire che la congettura di Oliver sia la seguente.
Per ogni intero $n ge 2$ esiste un intero $k ge 0$ tale che
[tex]\sum_{i=k+1}^{k+n} i^2 = \sum_{i=k+n+1}^{k+2n-1} i^2[/tex].
Questo è un problema che si risolve facilmente (la soluzione è $k=2n^2-3n$, per esempio se $n=10$ allora $k=2*100-30=170$) usando la ben nota formula
[tex]\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)[/tex].
E' un problema interessante per gli studenti!
Per ogni intero $n ge 2$ esiste un intero $k ge 0$ tale che
[tex]\sum_{i=k+1}^{k+n} i^2 = \sum_{i=k+n+1}^{k+2n-1} i^2[/tex].
Questo è un problema che si risolve facilmente (la soluzione è $k=2n^2-3n$, per esempio se $n=10$ allora $k=2*100-30=170$) usando la ben nota formula
[tex]\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)[/tex].
E' un problema interessante per gli studenti!
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