Sistemi e rette

[Miranda1313]

Ciao a tutti! Scusate, una domanda:se un sistema lineare di 2 equazioni in due incognite ha 3 soluzioni, allora il sistema è sempre indeterminato e quindi ha sempre infinite soluzioni? Grazie.

[f3874de6c1206fe40aa32376201566557615d103]

Ciao,
puoi mostrare l'esercizio o l'esempio.

[p.dinapoli0]

Non so se hai sbagliato a porre la comanda o sono io a non aver capito. Se hai un sistema di 2 equazioni in 2 incognite e ottieni 3 soluzioni perchè dovrebbe averne infinite?

[Miranda1313]

Grazie mille. Non è un esercizio ma una domanda teorica nella quale devo mettere vero o falso ed io ho messo falso

[Matlurker]

La risposta giusta è: vero.

Geometricamente un'equazione lineare a due incognite è una retta. Due rette o intersecano (una soluzione), o sono parallele (nessuna soluzione, a parte i punti all'infinito), o sono coincidenti (infinite soluzioni). Poiché la domanda presupponeva 3 soluzioni del sistema, vuol dire che le soluzioni esistono e sono maggiori di 1, ossia infinite e il sistema è indeterminato.

Matematicamente:

[math]\begin{cases}a_1x_1+b_1x_2=c_1\\a_2x_1+b_2x_2=c_2 \end{cases}[/math]

che ha soluzioni:

[math]\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix} \begin{vmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{vmatrix}
[/math]

Ossia:

[math]x_1=\frac{b_2c_1-b_1c_2}{a_1b_2-a_2b_1}[/math]

e

[math]x_2=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}[/math]

La condizione necessaria affinché le soluzioni siano reali è che i denominatori siano non nulli, ossia:

[math]a_1b_2-a_2b_1 \neq 0 \Longleftrightarrow -\frac{a_1}{b_1} \neq -\frac{a_2}{b_2}[/math]

cioè:

[math]m_1 \neq m_2[/math]

[Miranda1313]

Grazie mille.