Sistemi e polinomi con principio di identità?

[mllebonnefoy]

"Trova i due numeri A e B tali che la seguente uguaglianza sia vera. (Suggerimento: ricorda il principio di identità dei polinomi)." 3/(x-3)(2x+1) = A/x-3 + B/2x+1 La soluzione deve risultare: A= 3/7 B= -6/7 Potreste spiegarmi come risolverlo? Grazie in anticipo!

[bimbozza]

[math]\frac{3}{(x-3)(2x+1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{2x+1}[/math]

al secondo membro portiamo le due frazioni ad avere un unico denominatore

[math]\frac{3}{(x-3)(2x+1)} = \frac{A(2x+1)+B(x-3)}{(x-3)(2x+1)}[/math]

svolgiamo le moltiplicazioni

[math]\frac{3}{(x-3)(2x+1)} = \frac{2xA+A+Bx-3B}{(x-3)(2x+1)}[/math]

raccogliamo le x a destra dell'uguale

[math]\frac{3}{(x-3)(2x+1)} = \frac{x(2A+B)+A-3B}{(x-3)(2x+1)}[/math]

dato che i denominatori sono uguali, dovendo costruire un'identità, analizziamo solo i numeratori

[math]3=x(2A+B)+A-3B[/math]

adesso dobbiamo fare in modo che ciò che sia a destra dell'uguale sia la stessa quantità che compare a sinistra, quindi, dato che a sinistra non abbiamo x, la x al secondo membro deve scomparire quindi dobbiamo avere
2A+B=0
mentre tutto ciò che resta al secondo membro deve dare 3
A-3B=3
ne segue quindi il sistema

[math]\begin{cases}2A+B=0\\
A-3B=3\end{cases} [/math]

che ha soluzioni A= 3/7 B= -6/7

Se hai dei dubbi, chiedi pure