Sistema lineare impossibile?
Buongiorno a tutti,
devo risolvere il seguente "sistema lineare":
\begin{cases} 3x + 5y = 2 \\ 12x + 20x = -3 \end{cases}
Prima di tutto ho sommato i due termini simili:
\begin{cases} 3x + 5y = 2 \\ 32x = -3 \end{cases}
In seguito ho trovato il valore dell'incognita $x$, ovvero $x = -\frac{3}{32}$, e l'ho sostituito nella prima equazione:
\begin{cases} y = \frac{2 - 3\cdotp(-\frac{3}{32})}{5} \\ x = -\frac{3}{32} \end{cases}
Ottenendo perciò come risultato:
\begin{cases} y = \frac{73}{160} \\ x = -\frac{3}{32} \end{cases}
Verifica:
\begin{cases} 3 \cdotp(-\frac{3}{32}) + 5 \cdotp\frac{73}{160} = 2 \\ 12 \cdotp(-\frac{3}{32}) + 20 \cdotp(-\frac{3}{32}) = -3 \end{cases}
Sul libro dal quale è stato preso l'esercizio non viene risolto il sistema lineare come ho fatto io, ma viene spiegato il motivo per cui questo sistema lineare è impossibile.
La spiegazione data consiste nel fatto che i due coefficienti delle incognite del sistema sono tra loro proporzionali ($\frac{3}{12} = \frac{5}{20}$), ma non lo sono con i termini noti ($-\frac{2}{3}$).
Domande:
1. Prima di tutto quando ho visto questo sistema lineare sono rimasto perplesso, perché avevo capito che i sistemi lineari dovevano presentare una ben definita "forma", che non corrisponde con quella qui presentata (infatti la seconda equazione possiede solamente l'incognita $x$). Perciò volevo chiedere a voi se questo è davvero un sistema lineare.
2. Non capisco come questo sistema sia impossibile, dato che ho trovato una coppia $(x, y)$ tale per cui entrambe le uguaglianze sono verificate.
3. È possibile che gli autori del testo abbiano scritto sbagliato il sistema lineare, scrivendo nella seconda equazione due volte l'incognita $x$ al posto di scrivere $y$? E che perciò il mio ragionamento sia corretto?
devo risolvere il seguente "sistema lineare":
\begin{cases} 3x + 5y = 2 \\ 12x + 20x = -3 \end{cases}
Prima di tutto ho sommato i due termini simili:
\begin{cases} 3x + 5y = 2 \\ 32x = -3 \end{cases}
In seguito ho trovato il valore dell'incognita $x$, ovvero $x = -\frac{3}{32}$, e l'ho sostituito nella prima equazione:
\begin{cases} y = \frac{2 - 3\cdotp(-\frac{3}{32})}{5} \\ x = -\frac{3}{32} \end{cases}
Ottenendo perciò come risultato:
\begin{cases} y = \frac{73}{160} \\ x = -\frac{3}{32} \end{cases}
Verifica:
\begin{cases} 3 \cdotp(-\frac{3}{32}) + 5 \cdotp\frac{73}{160} = 2 \\ 12 \cdotp(-\frac{3}{32}) + 20 \cdotp(-\frac{3}{32}) = -3 \end{cases}
Sul libro dal quale è stato preso l'esercizio non viene risolto il sistema lineare come ho fatto io, ma viene spiegato il motivo per cui questo sistema lineare è impossibile.
La spiegazione data consiste nel fatto che i due coefficienti delle incognite del sistema sono tra loro proporzionali ($\frac{3}{12} = \frac{5}{20}$), ma non lo sono con i termini noti ($-\frac{2}{3}$).
Domande:
1. Prima di tutto quando ho visto questo sistema lineare sono rimasto perplesso, perché avevo capito che i sistemi lineari dovevano presentare una ben definita "forma", che non corrisponde con quella qui presentata (infatti la seconda equazione possiede solamente l'incognita $x$). Perciò volevo chiedere a voi se questo è davvero un sistema lineare.
2. Non capisco come questo sistema sia impossibile, dato che ho trovato una coppia $(x, y)$ tale per cui entrambe le uguaglianze sono verificate.
3. È possibile che gli autori del testo abbiano scritto sbagliato il sistema lineare, scrivendo nella seconda equazione due volte l'incognita $x$ al posto di scrivere $y$? E che perciò il mio ragionamento sia corretto?
Risposte
c'è un errore è evidente...
se la seconda equazione fosse, come ovvio,
$12x+20y=-3$
allora il sistema sarebbe impossibile, e il perchè lo sai dati che lo scrivi... il rapporto tra i coefficienti della x è uguale a quello della y ma è diverso dal rapporto tra i termini noti
se i termini noti fossero anche loro in uguale rapporto il sistema sarebbe indeterminato
queste definizioni (possibile, impossibile, indeterminato) sono molto importanti studiale bene!
se la seconda equazione fosse, come ovvio,
$12x+20y=-3$
allora il sistema sarebbe impossibile, e il perchè lo sai dati che lo scrivi... il rapporto tra i coefficienti della x è uguale a quello della y ma è diverso dal rapporto tra i termini noti
se i termini noti fossero anche loro in uguale rapporto il sistema sarebbe indeterminato
queste definizioni (possibile, impossibile, indeterminato) sono molto importanti studiale bene!
Ciao.
Secondo me c'è di mezzo un errore di stampa.
Sospetto che il secondo termine della seconda equazione doveva essere $20y$ e non $20x$.
Saluti.
Secondo me c'è di mezzo un errore di stampa.
Sospetto che il secondo termine della seconda equazione doveva essere $20y$ e non $20x$.
Saluti.
Grazie per le risposte, almeno adesso sono sicuro di non aver sbagliato io 
Comunque, ribadisco la domanda: è possibile chiamare questo sistema "lineare" (ovviamente ipotizzando che non ci sia un errore di stampa)?
Io direi di no, dato che la seconda equazione non è della forma $ax + by = c$ (equazione di primo grado a due incognite), ma è della forma $ax + bx = c$ (equazione di primo grado a una sola incognita). È corretto?
Comunque, ribadisco la domanda: è possibile chiamare questo sistema "lineare" (ovviamente ipotizzando che non ci sia un errore di stampa)?
Io direi di no, dato che la seconda equazione non è della forma $ax + by = c$ (equazione di primo grado a due incognite), ma è della forma $ax + bx = c$ (equazione di primo grado a una sola incognita). È corretto?
Ciao.
Un sistema, formato da equazioni polinomiali intere, è definito come "lineare" se il grado di ogni equazione componente il sistema è pari a uno, quindi anche il sistema "sbagliato" è comunque lineare, anche se non è rappresentato nella forma strettamente canonica.
Saluti.
Un sistema, formato da equazioni polinomiali intere, è definito come "lineare" se il grado di ogni equazione componente il sistema è pari a uno, quindi anche il sistema "sbagliato" è comunque lineare, anche se non è rappresentato nella forma strettamente canonica.
Saluti.
Ok, capisco. Grazie!
Di nulla, figuriamoci.
Saluti.
Saluti.
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