Sistema di equazioni
Salve a tutti, sono alle prese con il seguente sistema di $2(k+1)$ equazioni in $2(k+1)$ incognite:
${(ny_i=a_ix_i),(Cx_i+Dy_i=mb_i),(sum(x_i)=1),(sum(y_i)=1):}$
dove le incognite sono $C$, $D$, $x_i$, $y_i$, con $i=1,...,k$ e $sum(b_i)=1$.
Proseguendo per sostituzione sono giunto alla seguente equazione nella sola incognita $D$:
$mnsum(b_i/(mn+D(a_i-n)))=1$
ma non mi sembra particolarmente agevole.
Voi che approccio mi consigliereste?
P.S.
In ogni caso $k$ dovrebbe assumere al più il valore $3$.
${(ny_i=a_ix_i),(Cx_i+Dy_i=mb_i),(sum(x_i)=1),(sum(y_i)=1):}$
dove le incognite sono $C$, $D$, $x_i$, $y_i$, con $i=1,...,k$ e $sum(b_i)=1$.
Proseguendo per sostituzione sono giunto alla seguente equazione nella sola incognita $D$:
$mnsum(b_i/(mn+D(a_i-n)))=1$
ma non mi sembra particolarmente agevole.
Voi che approccio mi consigliereste?
P.S.
In ogni caso $k$ dovrebbe assumere al più il valore $3$.
Risposte
Se l'equazione finale è corretta, al massimo è un'equazione di terzo grado.
Sono d'accordo, semplicemente mi chiedevo se fosse possibile adottare un approccio meno "calcoloso"!
L'avevo capito ma non mi è venuto niente di intelligente 
Dal sistema si ricava che $C+D=m$ e $sum_i a_ix_i=n$
Pertanto $D=m-C$, mentre per la sommatoria la soluzione più generale e comoda che mi venga in mente è spacchettare $n$ in una somma a piacere tale che $sum_i n_i=n$ da cui si deriva il vincolo $a_ix_i=n_i$ ovvero $x_i=n_i/a_i$.
Notare che, fissato uno spacchettamento a piacere, si possono scegliere (n-1) valori arbitrari di $a_i$ mentre l'ultimo è interamente vincolato da $a_n=n_n*(1-sum_(i=1)^(n-1) n_i/a_i)$
Nel caso più semplice in cui $n_i=1 AAi$ abbiamo che le soluzioni $x_i=1/a_i$ sono i reciproci.
Sostituendo nell'equazione abbiamo che $y_i(C)=(mb_i-Cx_i)/(m-C)$ ed è immediato verificare che $sum_i y_i=1$ e che quindi soddisfa il vincolo al variare di C. Quindi è possibile studiare per esempio tutte le soluzioni al variare di C: oppure far variare altri parametri.
Pertanto $D=m-C$, mentre per la sommatoria la soluzione più generale e comoda che mi venga in mente è spacchettare $n$ in una somma a piacere tale che $sum_i n_i=n$ da cui si deriva il vincolo $a_ix_i=n_i$ ovvero $x_i=n_i/a_i$.
Notare che, fissato uno spacchettamento a piacere, si possono scegliere (n-1) valori arbitrari di $a_i$ mentre l'ultimo è interamente vincolato da $a_n=n_n*(1-sum_(i=1)^(n-1) n_i/a_i)$
Nel caso più semplice in cui $n_i=1 AAi$ abbiamo che le soluzioni $x_i=1/a_i$ sono i reciproci.
Sostituendo nell'equazione abbiamo che $y_i(C)=(mb_i-Cx_i)/(m-C)$ ed è immediato verificare che $sum_i y_i=1$ e che quindi soddisfa il vincolo al variare di C. Quindi è possibile studiare per esempio tutte le soluzioni al variare di C: oppure far variare altri parametri.
@Bokonon
Sinceramente ad un certo punto mi sono un po' perso, nei prossimi giorni proverò a rifletterci meglio.
In ogni caso, se ho afferrato almeno l'idea di fondo, mi sembra di capire che il problema rimanga comunque di non "facile" soluzione.
Sinceramente ad un certo punto mi sono un po' perso, nei prossimi giorni proverò a rifletterci meglio.
In ogni caso, se ho afferrato almeno l'idea di fondo, mi sembra di capire che il problema rimanga comunque di non "facile" soluzione.
Sabato mi sono accorto che l'idea di risolvere iterativamente che avevo proposto era sballata perchè non integra la condizione $sum x_i=1$.
Domenica mi ci sono dedicato nuovamente, partendo da zero e analizzando meglio i vincoli e sono giunto alla soluzione!
L'equazione da soddisfare affinchè il sistema abbia soluzione è $sum_(i=1)^n ((n-a_i)b_i)/(nm-D(n-a_i))=0$
con $D!=(nm)/(n-a_i) AAi$
Ovviamente, per $D=0$ oppure $n=a_i AAi$ si ottiene la soluzione banale $x_i=y_i=b_i$ e $C=m$
Le soluzioni reali di D forniscono a catena il resto, ovvero:
$C=m-D$
$x_i=(nmb_i)/(nm-(n-a_i)D)$
$y_i=(a_ix_i)/n$
Per $n=3$ si ottiene un'equazione di secondo grado. Se risolvibile è fatta.
Per esempio, ho scritto a caso alcuni valori $n=3$, $m=2$, $a=<1,-2,2>$ e $b=<3,-1,-1>$
L'equazione mi è venuta incredibilmente semplice (manco l'avessi pianificato) $5D^2-42D=0$
Scartando la soluzione D=0, si ottiene $D=42/5$ che è accettabile perchè $42/5!=3,6/5,6$
Quindi si ottiene $C=-32/5$ e i vettori $x=<-5/3,1/6,5/2>$ e $y=<-5/9,-1/9,5/3>$
(che soddisfano le condizioni $sum_i x_i=sum_i y_i=1$)
Infine facendo $-32/5vec(x)+42/5vec(y)=<6,-2,-2> =2vec(b)$ e le soluzioni soddisfano la seconda equazione.
Domenica mi ci sono dedicato nuovamente, partendo da zero e analizzando meglio i vincoli e sono giunto alla soluzione!
L'equazione da soddisfare affinchè il sistema abbia soluzione è $sum_(i=1)^n ((n-a_i)b_i)/(nm-D(n-a_i))=0$
con $D!=(nm)/(n-a_i) AAi$
Ovviamente, per $D=0$ oppure $n=a_i AAi$ si ottiene la soluzione banale $x_i=y_i=b_i$ e $C=m$
Le soluzioni reali di D forniscono a catena il resto, ovvero:
$C=m-D$
$x_i=(nmb_i)/(nm-(n-a_i)D)$
$y_i=(a_ix_i)/n$
Per $n=3$ si ottiene un'equazione di secondo grado. Se risolvibile è fatta.
Per esempio, ho scritto a caso alcuni valori $n=3$, $m=2$, $a=<1,-2,2>$ e $b=<3,-1,-1>$
L'equazione mi è venuta incredibilmente semplice (manco l'avessi pianificato) $5D^2-42D=0$
Scartando la soluzione D=0, si ottiene $D=42/5$ che è accettabile perchè $42/5!=3,6/5,6$
Quindi si ottiene $C=-32/5$ e i vettori $x=<-5/3,1/6,5/2>$ e $y=<-5/9,-1/9,5/3>$
(che soddisfano le condizioni $sum_i x_i=sum_i y_i=1$)
Infine facendo $-32/5vec(x)+42/5vec(y)=<6,-2,-2> =2vec(b)$ e le soluzioni soddisfano la seconda equazione.
@Bokonon
L'equazione nella sola incognita $D$ che hai trovato mi sembra simile a quella che ho postato io nel messaggio iniziale, ma di un grado inferiore. Al momento non ne ho ancora analizzato bene il motivo, ma mi sono accorto di aver commesso un errore nella "traduzione" del sistema!
In pratica la $n$ che compare al primo membro delle prime equazioni del sistema non c'entra nulla coi valori che può assumere l'indice $i$, quindi potremmo porre per esempio $i=1,...,k$ (ho corretto anche nel primo post).
Spero che questa mia disattenzione non abbia vanificato del tutto il tuo lavoro.
L'equazione nella sola incognita $D$ che hai trovato mi sembra simile a quella che ho postato io nel messaggio iniziale, ma di un grado inferiore. Al momento non ne ho ancora analizzato bene il motivo, ma mi sono accorto di aver commesso un errore nella "traduzione" del sistema!
In pratica la $n$ che compare al primo membro delle prime equazioni del sistema non c'entra nulla coi valori che può assumere l'indice $i$, quindi potremmo porre per esempio $i=1,...,k$ (ho corretto anche nel primo post).
Spero che questa mia disattenzione non abbia vanificato del tutto il tuo lavoro.
"Super Squirrel":
Spero che questa mia disattenzione non abbia vanificato del tutto il tuo lavoro.
Per la verità non cambia nulla e l'esempio che ho postato vale per $n=k=3$.
Dal sistema si ricava che $C+D=m$ e $sum_i a_ix_i=n$ e dobbiamo tenere di questi due ulteriori vincoli.
Pertanto $D=m-C$ e $y_i=(a_ix_i)/n$. Sostituendo nella seconda equazione abbiamo:
$x_i=(nmb_i)/(nm-(n-a_i)D)$ (0)
e a questo punto tu hai fatto la sommatoria per ricavare $sum_(i=1)^k x_i=1=sum_(i=1)^k (nmb_i)/(nm-(n-a_i)D)$ (1)
Ora però va inserito anche l'ultimo vincolo $sum_i a_ix_i=n$ pertanto moltiplichiamo per $a_i$ entrambi i membri della (0) e facciamo la sommatoria ottenendo (dopo aver semplificato n):
$sum_(i=1)^k (ma_ib_i)/(nm-(n-a_i)D)=1$ (2)
Quindi la differenza fra le due sommatorie (1)-(2)=0
Semplificando m si ottiene l'equazione che D deve soddisfare.
Ma un buon vecchio Gauss, no?
Avete provato?
Non si trova nulla di interessante?
Avete provato?
Non si trova nulla di interessante?
@Bokonon
Chiarissimo, in effetti in questo modo si riesce ad abbassare di un grado l'equazione nella sola incognita $D$.
@gugo82
Cosa intendi? Il metodo di eliminazione di Gauss non si applica solo ai sistemi lineari?
Chiarissimo, in effetti in questo modo si riesce ad abbassare di un grado l'equazione nella sola incognita $D$.
@gugo82
Cosa intendi? Il metodo di eliminazione di Gauss non si applica solo ai sistemi lineari?
"Super Squirrel":
@Bokonon
Chiarissimo, in effetti in questo modo si riesce ad abbassare di un grado l'equazione nella sola incognita $D$.
Quello è un gradito effetto secondario ma il vincolo serve a trovare i valori corretti di D...che però devono soddisfare il vincolo del denominatore.
Per k=1 è banale. Per k=2 c'è sempre un'unica soluzione.
In generale, per k=3, non è detto che il sistema abbia soluzione...dipende dal delta della eq. di secondo grado.
Per $k=4+2i$ con i=0,1,2,.....invece siamo certi di trovare almeno una soluzione...anche se magari quella banale.
Mi dici da dove salta fuori il problema? All'inizio ho dato per scontato che non ci fossero sufficienti vincoli per dare una risposta alla risolubilità del sistema.
"Bokonon":
Mi dici da dove salta fuori il problema?
Un bilancio di materia termodinamico relativo alla condensazione di una corrente gassosa.
"Super Squirrel":
Un bilancio di materia termodinamico relativo alla condensazione di una corrente gassosa.
Ah, mi pareva infatti che il problema non fosse da scuola secondaria
"Super Squirrel":
@gugo82
Cosa intendi? Il metodo di eliminazione di Gauss non si applica solo ai sistemi lineari?
Sì, ma avevo letto male io... Non avevo visto i termini rettangolari $Cx_i$ e $Dy_i$, cioè non avevo realizzato che $C$ e $D$ fossero incognite.
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