Sistema 3 incognite-moltiplicatori di Lagrange

[giacarta]

Salve, ho un esercizio che prevede l'utilizzo del metodo dei moltiplicatori di lagrange e arrivato al sistema ho:
d'x=3+2lx
d'y= 3+2ly
vincolo= x^2 + y^2- 1=0

l=lagrange

Non riesco a risolvere il sistema, quindi se qualcuno riuscisse ad aiutarmi gliene sarei grato, grazie.

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[Casio98]

I primi due devono essere zero come previsto nel metodo dei moltiplicatori. A quel punto è un normale sistema 3x3.
PS Impara a scrivere le formule.

[teorema55]

Ho avuto l'opportunità di conoscere i moltiplicatori di Lagrange................grazie!

Mi sembra che, nel sistema proposto, il moltiplicatore valga

$\lambda=±(3√2)/2$

e che i punti di M e m della funzione

$f(x,y)$

vincolata dalla circonferenza

$x^2+y^2-1=0$

siano

$A((√2)/2, (√2)/2)$

e

$B(-(√2)/2, -(√2)/2)$

Li ho chiamati A e B per lasciarti la gioia di scoprire quale è il minimo e quale il massimo.

Se non l'ho sparata grossa...............ditemi bravo. Altrimenti studierò di più............

[giacarta]

"teorema55":Ho avuto l'opportunità di conoscere i moltiplicatori di Lagrange................grazie!

Mi sembra che, nel sistema proposto, il moltiplicatore valga

$\lambda=±(3√2)/2$

e che i punti di M e m della funzione

$f(x,y)$

vincolata dalla circonferenza

$x^2+y^2-1=0$

siano

$A((√2)/2, (√2)/2)$

e

$B(-(√2)/2, -(√2)/2)$

Li ho chiamati A e B per lasciarti la gioia di scoprire quale è il minimo e quale il massimo.

Se non l'ho sparata grossa...............ditemi bravo. Altrimenti studierò di più............

Beh intanto grazie a te di avermi risposto. Se riuscissi a spiegarmi come trovare i punti critici x, y, e lambda te ne sarei grato.

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[teorema55]

Volentieri. Almeno sai dirmi se sono corretti?

[giacarta]

No, purtroppo la scheda dalla quale ho preso l'esercizio non riporta la soluzione. Però ricordo ad alcuni miei amici veniva così.

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[teorema55]

In mattinata vedo di buttare giù qualcosa. A dopo.

[giacarta]

Grazie mille.

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[teorema55]

Eccomi, giacarta01, scusa il ritardo....

Tu sei arrivato al punto di esprimere le derivate parziali di f(x,y,λ). Queste devono essere nulle nei punti di Massimo e minimo della f(x,y). Quindi impostiamo il sistema

$3+2λx=0$
$3+2λy=0$
$x^2+y^2-1=0$

La terza equazione è quella del vincolo, cioè la circonferenza goniometrica di centro

$O(0,0)$

e raggio

$r=1$

Isolando λ nelle prime due ottieni, dopo semplici calcoli,

$x=-3/2λ$

e

$y=-3/2λ$

da cui, sostituendo nell'equazione del vincolo:

$λ=±(3√2)/2$

Sostituisci il valore di λ nelle prime due equazioni e ottieni i punti

$E_1((√2)/2,( √2)/2)$

ed

$E_2(-(√2)/2, -(√2)/2)$

che sono i punti di Massimo o minimo di $f(x,y)$ vincolata da $x^2+y^2-1=0$

Per definire che tipo di estremi sono, ti basta calcolare le derivate seconde delle primarie (o prime delle loro derivate) e verificarne il segno nei due punti trovati.

[giacarta]

"teorema55":Eccomi, giacarta01, scusa il ritardo....

Tu sei arrivato al punto di esprimere le derivate parziali di f(x,y,λ). Queste devono essere nulle nei punti di Massimo e minimo della f(x,y). Quindi impostiamo il sistema

$3+2λx=0$
$3+2λy=0$
$x^2+y^2-1=0$

La terza equazione è quella del vincolo, cioè la circonferenza goniometrica di centro

$O(0,0)$

e raggio

$r=1$

Isolando λ nelle prime due ottieni, dopo semplici calcoli,

$x=-3/2λ$

e

$y=-3/2λ$

da cui, sostituendo nell'equazione del vincolo:

$λ=±(3√2)/2$

Sostituisci il valore di λ nelle prime due equazioni e ottieni i punti

$E_1((√2)/2,( √2)/2)$

ed

$E_2(-(√2)/2, -(√2)/2)$

che sono i punti di Massimo o minimo di $f(x,y)$ vincolata da $x^2+y^2-1=0$

Per definire che tipo di estremi sono, ti basta calcolare le derivate seconde delle primarie (o prime delle loro derivate) e verificarne il segno nei due punti trovati.

Grazie, alla fine l'unica difficoltà era nei calcoli.

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[teorema55]

Già, come detto da Casio98.

Ciao, alla prossima.