Sin, arcsin...
la professoressa ci ha spiegato un nuovo argomento, che riguarda il seno e l'arcoseno
so ke se:
sin x = a
allora dovrò ottenere le soluzioni:
x = arcsin a + 2k[}:)]
e
x = ([}:)] - arcsin a) + 2k[}:)]
(e k indica qualsiasi numero di giri, appunto di 2[}:)]).
ma se io ho
sin x = 0.1
per la prima soluzione non c'è problema
x = arcsin 0.1 + 2k[}:)] dunque ho:
x = 0.1 + 2k[}:)]
ma per l'altra, perkè un mio compagno ha scritto
x = (3.14 - 0.1) + 2k[}:)] ?
perkè 3.14?
-Sana-
so ke se:
sin x = a
allora dovrò ottenere le soluzioni:
x = arcsin a + 2k[}:)]
e
x = ([}:)] - arcsin a) + 2k[}:)]
(e k indica qualsiasi numero di giri, appunto di 2[}:)]).
ma se io ho
sin x = 0.1
per la prima soluzione non c'è problema
x = arcsin 0.1 + 2k[}:)] dunque ho:
x = 0.1 + 2k[}:)]
ma per l'altra, perkè un mio compagno ha scritto
x = (3.14 - 0.1) + 2k[}:)] ?
perkè 3.14?
-Sana-
Risposte
Sana, le tue soluzioni sono corrette.
Ti rispondo per le equazioni che non riesci a risolvere:
1) sin(x + [}:)]/4) = 1/2
2) sin(2x) = -sqrt(3)/2
3) sin(x/2 + [}:)]) = -sqrt(2)/2
Per risolvere queste:
a) si possono usare le formule goniometriche
(formule di addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione,
parametriche, di prostaferesi, di Werner) ma non è molto consigliabile in questo caso.
Se ti interessa sapere di più sulle formule goniometriche, guarda questo documento
su cui io stesso ho lavorato insieme a Camillo.
b) l'argomento del seno/coseno/tangente etc. si pone uguale a t e poi si procede...
Prendiamo per esempio:
sin(x + [}:)]/4) = 1/2
poniamo x + [}:)]/4 = t ; abbiamo:
sin t = 1/2, da cui
t = [}:)]/6 + 2k[}:)] e t = 5/6 [}:)] + 2k[}:)]
Adesso rimettiamo x + [}:)]/4 al posto di t, ottenendo:
x + [}:)]/4 = [}:)]/6 + 2k[}:)] e x + [}:)]/4 = 5/6 [}:)] + 2k[}:)]
Quindi le soluzioni sono:
x = [}:)]/6 - [}:)]/4 + 2k[}:)] = - [}:)]/12 + 2k[}:)]
x = 5/6 [}:)] - [}:)]/4 + 2k[}:)] = 7/12 [}:)] + 2k[}:)]
Ti è chiaro il procedimento?
Prova ad applicarlo anche alle altre equazioni e poi fammi sapere!
Ti rispondo per le equazioni che non riesci a risolvere:
1) sin(x + [}:)]/4) = 1/2
2) sin(2x) = -sqrt(3)/2
3) sin(x/2 + [}:)]) = -sqrt(2)/2
Per risolvere queste:
a) si possono usare le formule goniometriche
(formule di addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione,
parametriche, di prostaferesi, di Werner) ma non è molto consigliabile in questo caso.
Se ti interessa sapere di più sulle formule goniometriche, guarda questo documento
su cui io stesso ho lavorato insieme a Camillo.
b) l'argomento del seno/coseno/tangente etc. si pone uguale a t e poi si procede...
Prendiamo per esempio:
sin(x + [}:)]/4) = 1/2
poniamo x + [}:)]/4 = t ; abbiamo:
sin t = 1/2, da cui
t = [}:)]/6 + 2k[}:)] e t = 5/6 [}:)] + 2k[}:)]
Adesso rimettiamo x + [}:)]/4 al posto di t, ottenendo:
x + [}:)]/4 = [}:)]/6 + 2k[}:)] e x + [}:)]/4 = 5/6 [}:)] + 2k[}:)]
Quindi le soluzioni sono:
x = [}:)]/6 - [}:)]/4 + 2k[}:)] = - [}:)]/12 + 2k[}:)]
x = 5/6 [}:)] - [}:)]/4 + 2k[}:)] = 7/12 [}:)] + 2k[}:)]
Ti è chiaro il procedimento?
Prova ad applicarlo anche alle altre equazioni e poi fammi sapere!
fireball sei un angelo [:D]
quella ke mi hai spiegato tu l'ho capita perfettamente
ora....le altre, io ci ho provato ma nn so....
sin 2x = -sqrt3/2
ho messo
2x = t
sin t = -sqrt3/2
t= -[}:)]/3 + 2k[}:)]
t= 4/3[}:)] + 2k[}:)]
2x = -[}:)]3 + 2k[}:)]
2x = 4/3[}:)] + 2k[}:)]
è qui ke mi impallo
mi da 2x ma io...devo trovare la x giusto?
x = -[}:)]3 + 2k[}:)] tutto fratto 2 funziona?
così come per l'altra
x = 4/3[}:)] + 2k[}:)] tutto fratto 2
boh
e la 2:
sin (x/2 + [}:)]) = -sqrt2/2
sin t = -sqrt2/2
t= -[}:)]4 + 2k[}:)]
t= 5/4[}:)] + 2k[}:)]
x/2 + [}:)] = -[}:)]/4 + 2k[}:)] -> x/2 = -[}:)] - [}:)]/4 + 2k[}:)] -> x/2 = -5/4[}:)] + 2k[}:)]
x/2 + [}:)] = 5/4[}:)] + 2k[}:)] -> x/2 = -[}:)]+5/4[}:)]+2k[}:)] -> x/2 = [}:)]/4 + 2k[}:)]
è...giusta?
-Sana-
quella ke mi hai spiegato tu l'ho capita perfettamente
ora....le altre, io ci ho provato ma nn so....
sin 2x = -sqrt3/2
ho messo
2x = t
sin t = -sqrt3/2
t= -[}:)]/3 + 2k[}:)]
t= 4/3[}:)] + 2k[}:)]
2x = -[}:)]3 + 2k[}:)]
2x = 4/3[}:)] + 2k[}:)]
è qui ke mi impallo
mi da 2x ma io...devo trovare la x giusto?
x = -[}:)]3 + 2k[}:)] tutto fratto 2 funziona?
così come per l'altra
x = 4/3[}:)] + 2k[}:)] tutto fratto 2
boh
e la 2:
sin (x/2 + [}:)]) = -sqrt2/2
sin t = -sqrt2/2
t= -[}:)]4 + 2k[}:)]
t= 5/4[}:)] + 2k[}:)]
x/2 + [}:)] = -[}:)]/4 + 2k[}:)] -> x/2 = -[}:)] - [}:)]/4 + 2k[}:)] -> x/2 = -5/4[}:)] + 2k[}:)]
x/2 + [}:)] = 5/4[}:)] + 2k[}:)] -> x/2 = -[}:)]+5/4[}:)]+2k[}:)] -> x/2 = [}:)]/4 + 2k[}:)]
è...giusta?
-Sana-
quote:
Originally posted by Sana
2x = -[}:)]/3 + 2k[}:)]
2x = 4/3[}:)] + 2k[}:)]
è qui ke mi impallo
mi da 2x ma io...devo trovare la x giusto?
Sì, da qui in poi è una semplice equazione algebrica,
perché devi trovare il valore di x che, moltiplicato
per due, ti dà -[}:)]/3 + 2k[}:)]. Da 2x = -[}:)]/3 + 2k[}:)] ottieni:
x = (-[}:)]/3 + 2k[}:)])/2 = -[}:)]/6 + k[}:)]
Ti è chiaro? Per l'altra equazione si procede in modo analogo...
quote:
Originally posted by fireball
x = (-[}:)]/3 + 2k[}:)])/2 = -[}:)]/6 + k[}:)]
Ti è chiaro? Per l'altra equazione si procede in modo analogo...
perkè /6?
ke il 2 di 2k[}:)] se ne vada mi risulta perkè lo semplifico col 2 sotto....ma..
-[}:)]/3?
-Sana-
Perché (- [}:)]/3)/2 non dà forse -[}:)]/6 ??
È come moltiplicare - [}:)]/3 per 1/2...
È come moltiplicare - [}:)]/3 per 1/2...
mi sa ke ho capito, se la divisione la facciamo all'angolo... [}:)]/3 è 60°, se lo dividiamo è 30° quindi [}:)]/6
-Sana-
-Sana-
sisi!
ma allora per l'altro caso dove ho
x/2 = -5/4[}:)] + 2k[}:)]
sarà forse
x = 5/2[}:)] + k[}:)]??
e x/2 = [}:)]/4 + 2k[}:)] --> x =[}:)]/2 + k[}:)] ??
-Sana-
ma allora per l'altro caso dove ho
x/2 = -5/4[}:)] + 2k[}:)]
sarà forse
x = 5/2[}:)] + k[}:)]??
e x/2 = [}:)]/4 + 2k[}:)] --> x =[}:)]/2 + k[}:)] ??
-Sana-
Non serve che ogni volta fai riferimento alla
misura dell'angolo in gradi!! È solo questione di saper
fare o meno le divisioni e le moltiplicazioni!!!
Quanto fa [}:)]/18 per 2 ?? Naturalmente [}:)]/9, no?
Quanto fa [}:)]/6 diviso 2 ?? Non fa forse [}:)]/12 ??
Ora ho letto anche il tuo ultimo post: nelle tue soluzioni
è il periodo che non è corretto, infatti hai scritto k[}:)].
Qual è quello giusto?
misura dell'angolo in gradi!! È solo questione di saper
fare o meno le divisioni e le moltiplicazioni!!!
Quanto fa [}:)]/18 per 2 ?? Naturalmente [}:)]/9, no?
Quanto fa [}:)]/6 diviso 2 ?? Non fa forse [}:)]/12 ??
Ora ho letto anche il tuo ultimo post: nelle tue soluzioni
è il periodo che non è corretto, infatti hai scritto k[}:)].
Qual è quello giusto?
sì hai ragione ora ho capito ^^
-Sana-
-Sana-
quote:
Originally posted by fireball
Non serve che ogni volta fai riferimento alla
misura dell'angolo in gradi!! È solo questione di saper
fare o meno le divisioni e le moltiplicazioni!!!
Quanto fa [}:)]/18 per 2 ?? Naturalmente [}:)]/9, no?
Quanto fa [}:)]/6 diviso 2 ?? Non fa forse [}:)]/12 ??
Ora ho letto anche il tuo ultimo post: nelle tue soluzioni
è il periodo che non è corretto, infatti hai scritto k[}:)].
Qual è quello giusto?
rimane 2k[}:)]? °.°
-Sana-
No!! Il periodo è un altro...
Per trovarlo basta saper fare le moltiplicazioni e le divisioni...
Se x/2 = - 5/4 [}:)] + 2k[}:)], quanto varrà x??
Per trovarlo basta saper fare le moltiplicazioni e le divisioni...
Se x/2 = - 5/4 [}:)] + 2k[}:)], quanto varrà x??
x = 5/2[}:)] + 4k[}:)] .....4?
-Sana-
-Sana-
OK! Corretto!
^______________^
Grazie Fireball!!!!!!!!!!!!
Grazie grazie grazie ** [:I]
-Sana-
Grazie Fireball!!!!!!!!!!!!
Grazie grazie grazie ** [:I]
-Sana-
Felice di averti aiutato [:)]
Forse arrivo un po' in ritardo, ma ormai le avevo in canna ..
Ecco la soluzione dei tre esercizi di trigonometria ( pi = pi
greco):
1) sin (x+pi/4) = 1/2; ma 1/2 posso scriverlo come sin(pi/6) ed anche sin(5pi/6).
Avrò quindi due equazioni:
sin(x+pi/4) = sin(pi/6) da cui : x+pi/4= pi/6 e infine : x =-pi/12
che è lo stesso che dire : x= 23pi/12.
L'altra equazione è :
sin ( x+pi/4) = sin(5pi/6) da cui : x+pi/4= 5pi/6 e infine :
x=7pi/12.
Le soluzioni sono quindi : 23pi/12 e 5pi/6 alle quali, per la
periodicità della funzione sin e per avere massima generalità, va
aggiunto +2k pi.
2) sin (2x) = -sqrt(3)/2 ; ma -sqrt(3)/2 posso scriverlo come :
sin(4pi/3) ed anche come sin(5pi/3).
Avrò ancora due equazioni :
sin(2x) = sin(4pi/3) da cui: 2x=4pi/3 e infine: x= 2pi/3.
L'altra equaz. : sin(2x)=sin(5pi/3) da cui : 2x=5pi/3 e infine :
x= 5pi/6.
Due soluzioni quindi : 2pi/3 e anche 5pi/6.
3) sin(x/2 +pi)=-sqrt(2)/2
ricordando che -sqrt(2)/2 può essere scritto come : sin(5pi/4) e
come sin(7pi/4) ottengo ancora due equazioni:
sin(x/2 + pi) = sin(5pi/4) da cui : x/2 +pi=5pi/4 e quindi : x=pi/2.
L'altra eq .: sin(x/2+pi) = sin(7pi/4) da cui : x= 3pi/2 e quindi si
può compattare la soluzione in : pi/2 + kpi.
Camillo
Ecco la soluzione dei tre esercizi di trigonometria ( pi = pi
greco):
1) sin (x+pi/4) = 1/2; ma 1/2 posso scriverlo come sin(pi/6) ed anche sin(5pi/6).
Avrò quindi due equazioni:
sin(x+pi/4) = sin(pi/6) da cui : x+pi/4= pi/6 e infine : x =-pi/12
che è lo stesso che dire : x= 23pi/12.
L'altra equazione è :
sin ( x+pi/4) = sin(5pi/6) da cui : x+pi/4= 5pi/6 e infine :
x=7pi/12.
Le soluzioni sono quindi : 23pi/12 e 5pi/6 alle quali, per la
periodicità della funzione sin e per avere massima generalità, va
aggiunto +2k pi.
2) sin (2x) = -sqrt(3)/2 ; ma -sqrt(3)/2 posso scriverlo come :
sin(4pi/3) ed anche come sin(5pi/3).
Avrò ancora due equazioni :
sin(2x) = sin(4pi/3) da cui: 2x=4pi/3 e infine: x= 2pi/3.
L'altra equaz. : sin(2x)=sin(5pi/3) da cui : 2x=5pi/3 e infine :
x= 5pi/6.
Due soluzioni quindi : 2pi/3 e anche 5pi/6.
3) sin(x/2 +pi)=-sqrt(2)/2
ricordando che -sqrt(2)/2 può essere scritto come : sin(5pi/4) e
come sin(7pi/4) ottengo ancora due equazioni:
sin(x/2 + pi) = sin(5pi/4) da cui : x/2 +pi=5pi/4 e quindi : x=pi/2.
L'altra eq .: sin(x/2+pi) = sin(7pi/4) da cui : x= 3pi/2 e quindi si
può compattare la soluzione in : pi/2 + kpi.
Camillo
ti ringrazio Camillo ^_^
ho capito alla perfezione per il seno ma....si continua!
Devo scocciarvi ancora implorando il vostro aiuto per il coseno e la tangente =(
mi potreste spiegare come si procede svolgendo un solo esempio per me?
per il coseno:
cos x = -1/2
per la tangente:
tg x = -sqrt3
grazie[;)]
-Sana-
ho capito alla perfezione per il seno ma....si continua!
Devo scocciarvi ancora implorando il vostro aiuto per il coseno e la tangente =(
mi potreste spiegare come si procede svolgendo un solo esempio per me?
per il coseno:
cos x = -1/2
per la tangente:
tg x = -sqrt3
grazie[;)]
-Sana-
allora innanzitutto ti consiglio vivamente di capire il concetto degli archi associati.. dopodichè queste equazioni ti risultano davvero banali.
Iniziamo con cosx = 1/2
per risolverla devi ragionare sempre con gli archi associati. Costruisciti la circonferenza goniometrica: ora tu sai che a 60°, cioè a [}:)]/3 il coseno dell'angolo vale 1/2. Fai un punto sul 60° della circonferenza goniometrica e traccia una retta parallela all'asse y passante per tale punto; l'altra intersezione che hai trovato con la circonferenza goniometrica ti da' l'altro angolo per cui il coseno vale 1/2 ... che è evidentemente 300° che puoi trasformare in radianti (ora non ho voglia di farlo).
Ora risolviamo cosx=-1/2 .... se il coseno a 60° vale 1/2, cioè a 30° dall'asse y nel punto di 90°, per valere -1/2 il coseno ANZITUTTO è negativo, quindi si trova nel 2° e 3° quadrante. Ora con banali considerazioni di carattere geometrico, che derivano dagli archi associati puoi dire che partento da 90° e ruotando di 30° in senso antiorario trovi il punto per cui il coseno vale -1/2... cioè a 120°....come sempre dal punto della circonferenza in cui il coseno vale 120° tracci una retta parallela all'asse y che interseca la circonferenza goniometrica in un altro punto. Quel punto non è altro che l'altra soluzione dell'equazione.
Le soluzioni vanno scritte ovviamente come:
ANGOLO1 + 2K[}:)]
ANGOLO2 + 2K[}:)]
Per la tangente devi trovare i due angoli (ma ne basta uno, l'altro lo trovi con il k[}:)] di perdiodicità) per cui senx/cosx = -sqrt3
Ma più che dirti il procedimento banale, fai così: fatti una tabella con tutti gli angoli notevoli e le rispettive proprietà goniometriche
es: x=30° ==> in radianti è [}:)]/6 , senx=1/2, cosx= sqrt(3)/2, tgx=sqrt(3)/3, cotgx=sqrt(3)
la stessa cosa fai per 45°, 60°, 90°, 120° ( i valori di senx e cosx li trovi banalmente ...), 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°
Ovvio, non la devi imparare a memoria.. ma con un pò di pratica dopo averla fatta ed averne capito la costruzione, queste equazioni le risolvi a mente.
Ciao
Iniziamo con cosx = 1/2
per risolverla devi ragionare sempre con gli archi associati. Costruisciti la circonferenza goniometrica: ora tu sai che a 60°, cioè a [}:)]/3 il coseno dell'angolo vale 1/2. Fai un punto sul 60° della circonferenza goniometrica e traccia una retta parallela all'asse y passante per tale punto; l'altra intersezione che hai trovato con la circonferenza goniometrica ti da' l'altro angolo per cui il coseno vale 1/2 ... che è evidentemente 300° che puoi trasformare in radianti (ora non ho voglia di farlo).
Ora risolviamo cosx=-1/2 .... se il coseno a 60° vale 1/2, cioè a 30° dall'asse y nel punto di 90°, per valere -1/2 il coseno ANZITUTTO è negativo, quindi si trova nel 2° e 3° quadrante. Ora con banali considerazioni di carattere geometrico, che derivano dagli archi associati puoi dire che partento da 90° e ruotando di 30° in senso antiorario trovi il punto per cui il coseno vale -1/2... cioè a 120°....come sempre dal punto della circonferenza in cui il coseno vale 120° tracci una retta parallela all'asse y che interseca la circonferenza goniometrica in un altro punto. Quel punto non è altro che l'altra soluzione dell'equazione.
Le soluzioni vanno scritte ovviamente come:
ANGOLO1 + 2K[}:)]
ANGOLO2 + 2K[}:)]
Per la tangente devi trovare i due angoli (ma ne basta uno, l'altro lo trovi con il k[}:)] di perdiodicità) per cui senx/cosx = -sqrt3
Ma più che dirti il procedimento banale, fai così: fatti una tabella con tutti gli angoli notevoli e le rispettive proprietà goniometriche
es: x=30° ==> in radianti è [}:)]/6 , senx=1/2, cosx= sqrt(3)/2, tgx=sqrt(3)/3, cotgx=sqrt(3)
la stessa cosa fai per 45°, 60°, 90°, 120° ( i valori di senx e cosx li trovi banalmente ...), 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°
Ovvio, non la devi imparare a memoria.. ma con un pò di pratica dopo averla fatta ed averne capito la costruzione, queste equazioni le risolvi a mente.
Ciao
grazie ^^
la prof ha fatto scrivere:
cos x = v
x = arcsin v +2k[}:)]
x = [:p]arcsin v + 2k[}:)]
quindi se io ho
cos x = -1/2
sarà
x = [:p]2/3[}:)] + 2k[}:)]
è giusto?
perkè anke se è negativo nn si fa come col sin, si mette subito [:p]
quindi se ho
cos x = sqrt3/2
farò
x =[:p] [}:)]/6[}:)] + 2k[}:)]
è così?
-Sana-
la prof ha fatto scrivere:
cos x = v
x = arcsin v +2k[}:)]
x = [:p]arcsin v + 2k[}:)]
quindi se io ho
cos x = -1/2
sarà
x = [:p]2/3[}:)] + 2k[}:)]
è giusto?
perkè anke se è negativo nn si fa come col sin, si mette subito [:p]
quindi se ho
cos x = sqrt3/2
farò
x =[:p] [}:)]/6[}:)] + 2k[}:)]
è così?
-Sana-
quote:
Originally posted by Sana
grazie ^^
la prof ha fatto scrivere:
cos x = v
x = arcsin v +2k[}:)]
no, x = arccosv + 2k[}:)]
quote:
quindi se io ho
cos x = -1/2
sarà
x = [:p]2/3[}:)] + 2k[}:)]
è giusto?
no, non è giusto... cioè così dimentichi un'altra famiglia di soluzioni. Tu sai che il coseno è l'ascissa di un punto che giace sulla circonferenza goniometrica. Ora quella lì è solo una classe di soluzioni... manca l'altra. Ti ho già detto come fare: hai individuato la prima famiglia..
x=2/3[}:)] + 2k[}:)] che corrisponde ovviamente a 120°. Ora suppongo che sai circa dove si trova il 120° sulla circonferenza goniometrica. Individualo con un PUNTO, da questo punto traccia una retta parallela all'asse delle y e vedi che tale retta interseca la circonferenza goniometrica in un altro punto che corrisponde all'altro angolo per cui il coseno vale -1/2... guarda così la cosa: se il coseno è l'ascissa di un punto sulla circonferenza goniometrica ed esso vale -1/2... individua il punto -1/2 sull'asse delle x.. ti renderai conto quindi che sono 2 i punti della circonferenza goniometrica per cui il coseno vale -1/2 + le periodicità (in realtà sono infiniti punti). Quest'angolo è ovviamente 240° che puoi trasformare in radianti mediante la nota proporzione:
x° : x(rad) = 180 : [}:)]
quindi 240 : x(rad) = 180 : [}:)] ===> x(rad)= [240*[}:)]]/180
semplifichi e viene x(rad)= 4/3 [}:)]
le soluzioni di cosx=-1/2 sono quindi:
x= 2/3 [}:)] + 2k[}:)]
x= 4/3[}:)] + 2k[}:)] ==> che è l'altra classe di soluzioni che hai mancato.
quote:
quindi se ho
cos x = sqrt3/2
farò
x =[:p] [}:)]/6[}:)] + 2k[}:)]
è così?
... x =[:p] [}:)]/6 + 2k[}:)]
come prima hai mancato l'altro angolo per cui il coseno vale sqrt(3)/ 2 .. il procedimento è analogo e meccanico.. come quello di cui sopra. Trovi l'altro angolo, lo trasformi in radianti.. e dai la soluzione. Lascio a te la verifica.
P.S: quando ti si chiede di studiare queste equazioni in [0,2[}:)]] le periodicità +2k[}:)] vanno ovviamente omesse.
P.P.S: non bisogna mai spaventarsi e/o attenersi a ciò che dice la prof...bisogna invece acquisire un senso critico personale sulle cose.
Ciao
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