Simulazione questionario maturità
Ne propongo anch'io alcuni, se qualcuno ha voglia posti pure la sua soluzione.
1) Determinare l’equazione della retta passante per l’origine degli assi, giacente nel primo e nel terzo quadrante, tangente alla funzione $f(x)=1/x^2-8/x^5$ (R. $y=x/(32)$)
2) Gli spigoli laterali di una piramide retta variabile a base quadrata hanno lunghezza costante $s$. Indicando con $x$ la comune ampiezza degli angoli al vertice delle facce laterali, si dimostri che il volume della piramide può esprimersi in funzione di $cosx$, come segue :
$V=2/3*s^3*(1-cosx)*sqrt(cosx)$; si determini quindi il massimo di $V$ (R. $4sqrt(3)/(27)*s^3$)
3) Supposto che $a$ e $b$ siano due zeri semplici consecutivi della funzione razionale intera ( polinomio) $y=f(x)$ per cui è possibile scrivere $f(x)=(x-a)(x-b)g(x)$, con $g(a) ne 0$ e $g(b) ne 0$, dimostrare che $g(a)$ e $g(b)$ sono concordi.
4) Risolvere l’equazione $int_0^x|t-1|dt = 1$ (R. 2)
5) Data la funzione $f(2x-1)=x^2+senx$, determinare $y=f(x)$.
(R. $f(x)=1/2(x+1)^2+sen(1/2(x+1))$)
6) Risolvere l’equazione $arcsenx+arcosx=k$ al variare di $k$ reale.
7) Le diagonali di un trapezio lo dividono in quattro triangoli. Se 2 e 3 sono le aree dei due triangoli adiacenti alle basi, si determini l’area del trapezio.
8) Il periodo della funzione $y=sen^4x+cos^4x$ è
1. $pi/4$ 2. $pi/2$ 3. $pi$ 4. $2pi$
9) Determinare numero e segno delle ascisse dei punti di intersezione delle funzioni
$y=x^3-k$, $y=3x$ al variare di $k$ reale.
10) Si dica:
1. quanti sono, al più, i monomi dissimili di grado 3 nelle indeterminate $a,b,c,d$;
2. quanti ,al più, i monomi dissimili di grado non superiore a 3 nelle indeterminate $a,b,c,d$.
11) Determinare l'equazione della tangente alla funzione $f(x)=e^x$ passante per l'origine degli assi.
12)Sia $f(x)$ continua definita su $RR$ tale che
$int_0^(x^2)f(t)dt=x^2(1+x)$ per $x>=0$, determinare $f(2)$.
1) Determinare l’equazione della retta passante per l’origine degli assi, giacente nel primo e nel terzo quadrante, tangente alla funzione $f(x)=1/x^2-8/x^5$ (R. $y=x/(32)$)
2) Gli spigoli laterali di una piramide retta variabile a base quadrata hanno lunghezza costante $s$. Indicando con $x$ la comune ampiezza degli angoli al vertice delle facce laterali, si dimostri che il volume della piramide può esprimersi in funzione di $cosx$, come segue :
$V=2/3*s^3*(1-cosx)*sqrt(cosx)$; si determini quindi il massimo di $V$ (R. $4sqrt(3)/(27)*s^3$)
3) Supposto che $a$ e $b$ siano due zeri semplici consecutivi della funzione razionale intera ( polinomio) $y=f(x)$ per cui è possibile scrivere $f(x)=(x-a)(x-b)g(x)$, con $g(a) ne 0$ e $g(b) ne 0$, dimostrare che $g(a)$ e $g(b)$ sono concordi.
4) Risolvere l’equazione $int_0^x|t-1|dt = 1$ (R. 2)
5) Data la funzione $f(2x-1)=x^2+senx$, determinare $y=f(x)$.
(R. $f(x)=1/2(x+1)^2+sen(1/2(x+1))$)
6) Risolvere l’equazione $arcsenx+arcosx=k$ al variare di $k$ reale.
7) Le diagonali di un trapezio lo dividono in quattro triangoli. Se 2 e 3 sono le aree dei due triangoli adiacenti alle basi, si determini l’area del trapezio.
8) Il periodo della funzione $y=sen^4x+cos^4x$ è
1. $pi/4$ 2. $pi/2$ 3. $pi$ 4. $2pi$
9) Determinare numero e segno delle ascisse dei punti di intersezione delle funzioni
$y=x^3-k$, $y=3x$ al variare di $k$ reale.
10) Si dica:
1. quanti sono, al più, i monomi dissimili di grado 3 nelle indeterminate $a,b,c,d$;
2. quanti ,al più, i monomi dissimili di grado non superiore a 3 nelle indeterminate $a,b,c,d$.
11) Determinare l'equazione della tangente alla funzione $f(x)=e^x$ passante per l'origine degli assi.
12)Sia $f(x)$ continua definita su $RR$ tale che
$int_0^(x^2)f(t)dt=x^2(1+x)$ per $x>=0$, determinare $f(2)$.
Risposte
5) Basta sostituire: $2x-1=t$
6) $arsinx+arcosx=pi/2 AAx in [-1,1]$
perciò, se $k!=pi/2$ non ci sono soluzioni,
se invece $k=pi/2$ ci sono tutte le soluzioni
comprese nell'intervallo reale $[-1,1]$.
6) $arsinx+arcosx=pi/2 AAx in [-1,1]$
perciò, se $k!=pi/2$ non ci sono soluzioni,
se invece $k=pi/2$ ci sono tutte le soluzioni
comprese nell'intervallo reale $[-1,1]$.
1) L'equazione della retta sarà del tipo $y=mx$ quindi
$mx=1/x^2-8/x^5$
$mx^6-x^3+8=0$ $t=x^3$
$mt^2-t+8=0$
$Delta=1-32m=0; m=1/(32)$
$mx=1/x^2-8/x^5$
$mx^6-x^3+8=0$ $t=x^3$
$mt^2-t+8=0$
$Delta=1-32m=0; m=1/(32)$
2) Il volume della piramide è dato da $V=1/3S_(b)h$
$S_(b)=l^2$ essendo $l$ il lato della base. Considerando una delle faccie laterali possiamo scrivere:
$l/2=ssin(x/2)$
$l=2ssin(x/2)=2ssqrt((1-cosx)/2)$
L'altezza $h$ è data da $h^2=s^2-d^2/4$ essendo $d$ la diagonale di base. Quindi
$h^2=s^2-((2s)/sqrt2sqrt((1-cosx)/2))^2=s^2-s^2(1-cosx)=s^2cosx$
$h=ssqrtcosx$
A questo punto possiamo trovare $V$
$V=2/3s^3(1-cosx)sqrtcosx$
Poi basta fare la derivata prima della funzione $V=f(x)$ e porla uguale a zero.
$S_(b)=l^2$ essendo $l$ il lato della base. Considerando una delle faccie laterali possiamo scrivere:
$l/2=ssin(x/2)$
$l=2ssin(x/2)=2ssqrt((1-cosx)/2)$
L'altezza $h$ è data da $h^2=s^2-d^2/4$ essendo $d$ la diagonale di base. Quindi
$h^2=s^2-((2s)/sqrt2sqrt((1-cosx)/2))^2=s^2-s^2(1-cosx)=s^2cosx$
$h=ssqrtcosx$
A questo punto possiamo trovare $V$
$V=2/3s^3(1-cosx)sqrtcosx$
Poi basta fare la derivata prima della funzione $V=f(x)$ e porla uguale a zero.
7)
Per il postulato delle parallele i due triangoli $AOB$ e $DOC$ sono simili con rapporto di similitudine pari a $k=sqrt(2/3)$
Si può vedere facilmente che l'area del triangolo $BOC$ è uguale all'area del triangolo $AOD$.
L'area del primo è data da
$A=1/2sqrt(3/2)ODsqrt(2/3)OA*sin(180°-x)$
ma sappiamo che
$3=1/2sqrt(3/2)OD*AO*sinx$
Dividendo membro a membro le due ultime equazioni troviamo:
$A=3sqrt(2/3)$
Quindi la superficie totale sarà data da
$S=5+6sqrt(2/3)=5+2sqrt3$
Per il postulato delle parallele i due triangoli $AOB$ e $DOC$ sono simili con rapporto di similitudine pari a $k=sqrt(2/3)$
Si può vedere facilmente che l'area del triangolo $BOC$ è uguale all'area del triangolo $AOD$.
L'area del primo è data da
$A=1/2sqrt(3/2)ODsqrt(2/3)OA*sin(180°-x)$
ma sappiamo che
$3=1/2sqrt(3/2)OD*AO*sinx$
Dividendo membro a membro le due ultime equazioni troviamo:
$A=3sqrt(2/3)$
Quindi la superficie totale sarà data da
$S=5+6sqrt(2/3)=5+2sqrt3$
8)
Una funzione $y=f(x)$ è periodica di periodo $T$ se, per ogni intero relativo $k$, sia verificata la seguente relazione:
$f(x)=f(x+kT)$
Quindi, nel nostro caso abbiamo che:
$sin^4x+cos^4x=sin^4(x+kT)+cos^4(x+kT)$
$(1-cos^2x)^2+cos^4x=[1-cos^2(x+kT)]^2+cos^4(x+kT)$
$cos^4x-cos^2x=cos^4(x+kT)-cos^2(x+kT)$
$cos^2x(cos^2x-1)=cos^2(x+kT)[cos^2(x+kT)-1]$
$cos^2xsin^2x=cos^2(x+kT)sin^2(x+kT)$
$[2cosxsinx]^2=[2cos(x+kT)sin(x+kT)]^2$ (ho moltiplicato ambo i membri per $4$)
$[sin(2x)]^2=[sin(2x+2kT)]^2$
La funzione $y=sin(2x)$ ha periodo $kpi$ quindi
$2x+kpi=2x+2kT$
$T=pi/2$.
Una funzione $y=f(x)$ è periodica di periodo $T$ se, per ogni intero relativo $k$, sia verificata la seguente relazione:
$f(x)=f(x+kT)$
Quindi, nel nostro caso abbiamo che:
$sin^4x+cos^4x=sin^4(x+kT)+cos^4(x+kT)$
$(1-cos^2x)^2+cos^4x=[1-cos^2(x+kT)]^2+cos^4(x+kT)$
$cos^4x-cos^2x=cos^4(x+kT)-cos^2(x+kT)$
$cos^2x(cos^2x-1)=cos^2(x+kT)[cos^2(x+kT)-1]$
$cos^2xsin^2x=cos^2(x+kT)sin^2(x+kT)$
$[2cosxsinx]^2=[2cos(x+kT)sin(x+kT)]^2$ (ho moltiplicato ambo i membri per $4$)
$[sin(2x)]^2=[sin(2x+2kT)]^2$
La funzione $y=sin(2x)$ ha periodo $kpi$ quindi
$2x+kpi=2x+2kT$
$T=pi/2$.
10)
1 - intendi monomi del tipo $a^(alpha_(1))b^(alpha_(2))c^(alpha_(3))d^(alpha_(4))$?
Dovrebbero essere $27*4!$ ma non sono sicuro...è tardi e sono stanco!
1 - intendi monomi del tipo $a^(alpha_(1))b^(alpha_(2))c^(alpha_(3))d^(alpha_(4))$?
Dovrebbero essere $27*4!$ ma non sono sicuro...è tardi e sono stanco!
4) $int |t-1|dt = int (t-1)*sign(t-1)dt = (t^2/2 - t + 1/2)*sign(t - 1) +c$
Valutato tra 0 e x, si ha: $(x^2/2 - x + 1/2)*sign(x - 1) + 1/2$
Ponendo la condizione iniziale si ha: $(x^2/2 - x + 1/2)*sign(x - 1) + 1/2=1 rarr (x^2 - 2x + 1)*sign(x - 1) = 1$
$sign(x - 1) = 1 rarr x>=1$
$x^2 - 2x + 1=1 rarr x^2-2x=0 rarr x=2$ e $x=0$
Quindi $int_0^x|t-1|dt = 1 rarr x=2$
Ciao!
Valutato tra 0 e x, si ha: $(x^2/2 - x + 1/2)*sign(x - 1) + 1/2$
Ponendo la condizione iniziale si ha: $(x^2/2 - x + 1/2)*sign(x - 1) + 1/2=1 rarr (x^2 - 2x + 1)*sign(x - 1) = 1$
$sign(x - 1) = 1 rarr x>=1$
$x^2 - 2x + 1=1 rarr x^2-2x=0 rarr x=2$ e $x=0$
Quindi $int_0^x|t-1|dt = 1 rarr x=2$
Ciao!
3)
Supponiamo che sia $a>b$.
Per l'inverso del teorema di esistenza degli zeri possiamo affermare che $f(x)$ ha lo stesso segno nell'intervallo aperto $(a, b)$.
Consideriamo un $epsilon$ positivo arbitrariamente piccolo, allora
$f(a+epsilon)=(a+epsilon-a)(a+epsilon-b)g(a+epsilon)$
$f(a+epsilon)=epsilon(a-b+epsilon)g(a+epsilon)$
$f(b-epsilon)=(b-epsilon-a)(b-epsilon-b)g(b-epsilon)$
$f(b-epsilon)=-epsilon(b-a-epsilon)g(b-epsilon)$
Poichè $f(b-epsilon)$ e $f(a+epsilon)$ hanno lo stesso segno, allora anche $g(a+epsilon)$ e $g(b-espilon)$ avranno lo stesso segno per $epsilon to 0$.
PS: non mi convince molto.
Supponiamo che sia $a>b$.
Per l'inverso del teorema di esistenza degli zeri possiamo affermare che $f(x)$ ha lo stesso segno nell'intervallo aperto $(a, b)$.
Consideriamo un $epsilon$ positivo arbitrariamente piccolo, allora
$f(a+epsilon)=(a+epsilon-a)(a+epsilon-b)g(a+epsilon)$
$f(a+epsilon)=epsilon(a-b+epsilon)g(a+epsilon)$
$f(b-epsilon)=(b-epsilon-a)(b-epsilon-b)g(b-epsilon)$
$f(b-epsilon)=-epsilon(b-a-epsilon)g(b-epsilon)$
Poichè $f(b-epsilon)$ e $f(a+epsilon)$ hanno lo stesso segno, allora anche $g(a+epsilon)$ e $g(b-espilon)$ avranno lo stesso segno per $epsilon to 0$.
PS: non mi convince molto.
7) Ok (nell'ultimo passaggio hai sbahgliato a razionalizzare)
8)Non ho capito bene quello che hai fatto...
Comunque la funzione, mediante opportuni passaggi, può essere scritta come
$y=1/4(3+cos4x)$ e $T=2pi/4=pi/2$
10) Intendo i monomi di grado 3 del tipo
$a^3$, $a^2b$, $abc$...
Attenzione: non conta l'ordine ma solo...
3) Hai detto che f(x) ha lo stesso segno nell'intervallo aperto (b,a), però f(b-ε) e f(a+ε)
sono fuori dall'intervallo.
Se si ipotizza che $g(a)$ e $g(b)$ siano discordi, allora per il teorema di esistenza degli zeri, esisterà un $c$ su $(a,b)$ ($a
Tutti gli altri mi sembrano giusti.
8) Può essere risolto anche cosi':
se $x<1$ l'equazione diventa
$int_0^x(1-t)dt=1$ che porta ad un'equazione di secondo grado impossibile.
se $x>=1$ l'equazione diventa:
$int_0^1(1-t)dt+int_1^x(t-1)dt=1$ ...
Se non avete capito chiedete pure!
QUESITI SUPERSTITI: 9), 10), 11), 12)
8)Non ho capito bene quello che hai fatto...
Comunque la funzione, mediante opportuni passaggi, può essere scritta come
$y=1/4(3+cos4x)$ e $T=2pi/4=pi/2$
10) Intendo i monomi di grado 3 del tipo
$a^3$, $a^2b$, $abc$...
Attenzione: non conta l'ordine ma solo...
3) Hai detto che f(x) ha lo stesso segno nell'intervallo aperto (b,a), però f(b-ε) e f(a+ε)
sono fuori dall'intervallo.
Se si ipotizza che $g(a)$ e $g(b)$ siano discordi, allora per il teorema di esistenza degli zeri, esisterà un $c$ su $(a,b)$ ($a
Tutti gli altri mi sembrano giusti.
8) Può essere risolto anche cosi':
se $x<1$ l'equazione diventa
$int_0^x(1-t)dt=1$ che porta ad un'equazione di secondo grado impossibile.
se $x>=1$ l'equazione diventa:
$int_0^1(1-t)dt+int_1^x(t-1)dt=1$ ...
Se non avete capito chiedete pure!
QUESITI SUPERSTITI: 9), 10), 11), 12)
non esiste la tangente passante per (0,0). quando dice passante per l'origine degli assi se si intende per x=0 tutto OK l'equazione è y=x+1, altrimenti l'equazione della tangente non esiste
intatti il coefficiente anfgolare è f'(0)=e^0=1 da cui
y-1==m(x-0) da cui y=x+1
intatti il coefficiente anfgolare è f'(0)=e^0=1 da cui
y-1==m(x-0) da cui y=x+1
Vorrei fare alcune considerazioni sul 2° esercizio.
La ricerca del massimo si accorcia (e in certi casi
anche di parecchio) se si tiene conto della regola
seguente.
Siano x ed y due variabili positive di somma costante:
x+y=C
Allora il massimo di una espressione del tipo $x^p*y^q$,
con p e q razionali,si ottiene quando vale la relazione:
$x/p=y/q$ ovvero quando le basi del prodotto in questione
sono proporzionali ai rispettivi esponenti.
Il sistema $x+y=C,x/p=y/q$ restituisce la soluzione richiesta.
La dimostrazione di tale risultato scaturisce dalle proprieta' delle
medie ed e' stato gia' trattato su questo forum .
Ne caso nostro la funzione da massimizzare,a meno di un fattore
costante, e':
$f(x)=(1-cosx)sqrt(cosx),0
Ora i fattori 1-cosx e cosx sono positivi ed hanno somma =1 (queste
condizioni sono indispensabili !!) e pertanto il massimo si ha quando:
$(1-cosx)/1=cosx/(1//2)$ da cui si trae $cosx=1/3$ che sostituito
nel volume della piramide porta al risultato indicato .
karl
La ricerca del massimo si accorcia (e in certi casi
anche di parecchio) se si tiene conto della regola
seguente.
Siano x ed y due variabili positive di somma costante:
x+y=C
Allora il massimo di una espressione del tipo $x^p*y^q$,
con p e q razionali,si ottiene quando vale la relazione:
$x/p=y/q$ ovvero quando le basi del prodotto in questione
sono proporzionali ai rispettivi esponenti.
Il sistema $x+y=C,x/p=y/q$ restituisce la soluzione richiesta.
La dimostrazione di tale risultato scaturisce dalle proprieta' delle
medie ed e' stato gia' trattato su questo forum .
Ne caso nostro la funzione da massimizzare,a meno di un fattore
costante, e':
$f(x)=(1-cosx)sqrt(cosx),0
Ora i fattori 1-cosx e cosx sono positivi ed hanno somma =1 (queste
condizioni sono indispensabili !!) e pertanto il massimo si ha quando:
$(1-cosx)/1=cosx/(1//2)$ da cui si trae $cosx=1/3$ che sostituito
nel volume della piramide porta al risultato indicato .
karl
"Piera":
3) Hai detto che f(x) ha lo stesso segno nell'intervallo aperto (b,a), però f(b-ε) e f(a+ε)
sono fuori dall'intervallo.
Scusa volevo scrivere $a
Potresti postare il risultato del quesito n° 12?
12) Sappiamo, per il Teorema Fondamentale, che l'integrale tra 0 e $x^2$ di $f(t)$ in $dt$
è pari, detta $F(t)$ una primitiva di $f(t)$, a: $F(x^2)-F(0)$. Sappiamo che tale
espressione è uguale a: $x^2(1+x)$, perciò:
$F(x^2)=x^2(1+x)+F(0)$ per $x >=0$
Deriviamo usando la regola di derivazione delle f. composte:
$2xf(x^2)=2x(1+x)+x^2$
Ora poniamo: $x^2=t=>x=sqrtt$, poiché è $x>=0$ possiamo
fare questa sostituzione in tutta tranquillità.
Allora si ottiene:
$2sqrtt*f(t)=2sqrtt(1+sqrtt)+t$
da cui si ricava:
$f(t)=(2sqrtt(1+sqrtt)+t)/(2sqrtt)=1+3/2sqrtt$
$f(2)=1+3/2sqrt2$
è pari, detta $F(t)$ una primitiva di $f(t)$, a: $F(x^2)-F(0)$. Sappiamo che tale
espressione è uguale a: $x^2(1+x)$, perciò:
$F(x^2)=x^2(1+x)+F(0)$ per $x >=0$
Deriviamo usando la regola di derivazione delle f. composte:
$2xf(x^2)=2x(1+x)+x^2$
Ora poniamo: $x^2=t=>x=sqrtt$, poiché è $x>=0$ possiamo
fare questa sostituzione in tutta tranquillità.
Allora si ottiene:
$2sqrtt*f(t)=2sqrtt(1+sqrtt)+t$
da cui si ricava:
$f(t)=(2sqrtt(1+sqrtt)+t)/(2sqrtt)=1+3/2sqrtt$
$f(2)=1+3/2sqrt2$
3) se $a
10) Se ci si pensa bene i monomi di grado tre, cioè del tipo $a^3$ ,$c^2d$ ,$bcd$,..., differiscono l'uno dall'altro per la natura delle indeterminate $a,b,c,d$ e per la ripetizione delle stesse, pertanto si devono utilizzare combinazioni con ripetizione:
$C'_(4,3)$.
11) La retta tangente passante per O(0,0) esiste.
Secondo me un esercizio di questo tipo prima o poi uscirà agli esami di maturità.
Sia $P(t,e^t)$ un generico punto di $f(x)=e^x$,
una retta passante per P e tangente alla funzione suddetta avrà equazione
$y-e^t=f'(t)(x-t)$, ma $f'(t)=e^t$, quindi la retta diventa
$y-e^t=e^t(x-t)$ (1)
imponendo il passaggio per O(0,0) si ha
$0-e^t=e^t(0-t)$, ovvero
$e^t(t-1)=0$ $=>t=1$
Sostituendo il valore trovato nella (1) si ha la retta richiesta:
$y-e=e(x-1)$
$y=ex$.
12) Ti ha già risposto egregiamente Francesco.
10) Se ci si pensa bene i monomi di grado tre, cioè del tipo $a^3$ ,$c^2d$ ,$bcd$,..., differiscono l'uno dall'altro per la natura delle indeterminate $a,b,c,d$ e per la ripetizione delle stesse, pertanto si devono utilizzare combinazioni con ripetizione:
$C'_(4,3)$.
11) La retta tangente passante per O(0,0) esiste.
Secondo me un esercizio di questo tipo prima o poi uscirà agli esami di maturità.
Sia $P(t,e^t)$ un generico punto di $f(x)=e^x$,
una retta passante per P e tangente alla funzione suddetta avrà equazione
$y-e^t=f'(t)(x-t)$, ma $f'(t)=e^t$, quindi la retta diventa
$y-e^t=e^t(x-t)$ (1)
imponendo il passaggio per O(0,0) si ha
$0-e^t=e^t(0-t)$, ovvero
$e^t(t-1)=0$ $=>t=1$
Sostituendo il valore trovato nella (1) si ha la retta richiesta:
$y-e=e(x-1)$
$y=ex$.
12) Ti ha già risposto egregiamente Francesco.
Si ma io volevo solo il risultato per verificare il mio procedimento 
No, Francesco, andava bene come avevi fatto all'inizio:
$f(2)=1+3/2sqrt(2)$
Giuseppe, ti ho risposto un messaggio sopra!
$f(2)=1+3/2sqrt(2)$
Giuseppe, ti ho risposto un messaggio sopra!
Si appunto ho visto però volevo solo il risultato, non l'intero procedimento! Va bè fa niente ormai l'ha risolto Francesco.
Volevo dire che sopra ho risposto all'esercizio 3), 4) e 11) e forse non te ne sei accorto.
"Piera":
No, Francesco, andava bene come avevi fatto all'inizio:
$f(2)=1+3/2sqrt(2)$
Giuseppe, ti ho risposto un messaggio sopra!
Sì, hai ragione Alessandro, ora che ci penso avevo
scritto bene prima, poi ho modificato il post...
Scusami Giuseppe ma quando hai menzionato
il quesito 12 mi è venuta la curiosità di andare
a vedere di cosa si trattasse e ho visto che
era un quesito davvero troppo bello!!!!
:D
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