Simulazione questionario maturità
Ne propongo anch'io alcuni, se qualcuno ha voglia posti pure la sua soluzione.
1) Determinare l’equazione della retta passante per l’origine degli assi, giacente nel primo e nel terzo quadrante, tangente alla funzione $f(x)=1/x^2-8/x^5$ (R. $y=x/(32)$)
2) Gli spigoli laterali di una piramide retta variabile a base quadrata hanno lunghezza costante $s$. Indicando con $x$ la comune ampiezza degli angoli al vertice delle facce laterali, si dimostri che il volume della piramide può esprimersi in funzione di $cosx$, come segue :
$V=2/3*s^3*(1-cosx)*sqrt(cosx)$; si determini quindi il massimo di $V$ (R. $4sqrt(3)/(27)*s^3$)
3) Supposto che $a$ e $b$ siano due zeri semplici consecutivi della funzione razionale intera ( polinomio) $y=f(x)$ per cui è possibile scrivere $f(x)=(x-a)(x-b)g(x)$, con $g(a) ne 0$ e $g(b) ne 0$, dimostrare che $g(a)$ e $g(b)$ sono concordi.
4) Risolvere l’equazione $int_0^x|t-1|dt = 1$ (R. 2)
5) Data la funzione $f(2x-1)=x^2+senx$, determinare $y=f(x)$.
(R. $f(x)=1/2(x+1)^2+sen(1/2(x+1))$)
6) Risolvere l’equazione $arcsenx+arcosx=k$ al variare di $k$ reale.
7) Le diagonali di un trapezio lo dividono in quattro triangoli. Se 2 e 3 sono le aree dei due triangoli adiacenti alle basi, si determini l’area del trapezio.
8) Il periodo della funzione $y=sen^4x+cos^4x$ è
1. $pi/4$ 2. $pi/2$ 3. $pi$ 4. $2pi$
9) Determinare numero e segno delle ascisse dei punti di intersezione delle funzioni
$y=x^3-k$, $y=3x$ al variare di $k$ reale.
10) Si dica:
1. quanti sono, al più, i monomi dissimili di grado 3 nelle indeterminate $a,b,c,d$;
2. quanti ,al più, i monomi dissimili di grado non superiore a 3 nelle indeterminate $a,b,c,d$.
11) Determinare l'equazione della tangente alla funzione $f(x)=e^x$ passante per l'origine degli assi.
12)Sia $f(x)$ continua definita su $RR$ tale che
$int_0^(x^2)f(t)dt=x^2(1+x)$ per $x>=0$, determinare $f(2)$.
1) Determinare l’equazione della retta passante per l’origine degli assi, giacente nel primo e nel terzo quadrante, tangente alla funzione $f(x)=1/x^2-8/x^5$ (R. $y=x/(32)$)
2) Gli spigoli laterali di una piramide retta variabile a base quadrata hanno lunghezza costante $s$. Indicando con $x$ la comune ampiezza degli angoli al vertice delle facce laterali, si dimostri che il volume della piramide può esprimersi in funzione di $cosx$, come segue :
$V=2/3*s^3*(1-cosx)*sqrt(cosx)$; si determini quindi il massimo di $V$ (R. $4sqrt(3)/(27)*s^3$)
3) Supposto che $a$ e $b$ siano due zeri semplici consecutivi della funzione razionale intera ( polinomio) $y=f(x)$ per cui è possibile scrivere $f(x)=(x-a)(x-b)g(x)$, con $g(a) ne 0$ e $g(b) ne 0$, dimostrare che $g(a)$ e $g(b)$ sono concordi.
4) Risolvere l’equazione $int_0^x|t-1|dt = 1$ (R. 2)
5) Data la funzione $f(2x-1)=x^2+senx$, determinare $y=f(x)$.
(R. $f(x)=1/2(x+1)^2+sen(1/2(x+1))$)
6) Risolvere l’equazione $arcsenx+arcosx=k$ al variare di $k$ reale.
7) Le diagonali di un trapezio lo dividono in quattro triangoli. Se 2 e 3 sono le aree dei due triangoli adiacenti alle basi, si determini l’area del trapezio.
8) Il periodo della funzione $y=sen^4x+cos^4x$ è
1. $pi/4$ 2. $pi/2$ 3. $pi$ 4. $2pi$
9) Determinare numero e segno delle ascisse dei punti di intersezione delle funzioni
$y=x^3-k$, $y=3x$ al variare di $k$ reale.
10) Si dica:
1. quanti sono, al più, i monomi dissimili di grado 3 nelle indeterminate $a,b,c,d$;
2. quanti ,al più, i monomi dissimili di grado non superiore a 3 nelle indeterminate $a,b,c,d$.
11) Determinare l'equazione della tangente alla funzione $f(x)=e^x$ passante per l'origine degli assi.
12)Sia $f(x)$ continua definita su $RR$ tale che
$int_0^(x^2)f(t)dt=x^2(1+x)$ per $x>=0$, determinare $f(2)$.
Risposte
"fireball":
12) Sappiamo, per il Teorema Fondamentale, che l'integrale tra 0 e $x^2$ di $f(t)$ in $dt$
è pari, detta $F(t)$ una primitiva di $f(t)$, a: $F(x^2)-F(0)$. Sappiamo che tale
espressione è uguale a: $x^2(1+x)$, perciò:
$F(x^2)=x^2(1+x)+F(0)$ per $x >=0$
Deriviamo usando la regola di derivazione delle f. composte:
$2xf(x^2)=2x(1+x)+x^2$
Ora poniamo: $x^2=t=>x=sqrtt$, poiché è $x>=0$ possiamo
fare questa sostituzione in tutta tranquillità.
Allora si ottiene:
$2sqrtt*f(t)=2sqrtt(1+sqrtt)+t$
da cui si ricava:
$f(t)=(2sqrtt(1+sqrtt)+t)/(2sqrtt)=1+3/2sqrtt$
$f(2)=1+3/2sqrt2$
Regola di derivazione delle funzioni composte
.Si vede ad occhio che le primitive sono della forma: $F(t)=t(sqrt t+1)+c$
Buon per te se lo vedi a occhio...
"Piera":
11) La retta tangente passante per O(0,0) esiste.
Secondo me un esercizio di questo tipo prima o poi uscirà agli esami di maturità.
Sia $P(t,e^t)$ un generico punto di $f(x)=e^x$,
una retta passante per P e tangente alla funzione suddetta avrà equazione
$y-e^t=f'(t)(x-t)$, ma $f'(t)=e^t$, quindi la retta diventa
$y-e^t=e^t(x-t)$ (1)
imponendo il passaggio per O(0,0) si ha
$0-e^t=e^t(0-t)$, ovvero
$e^t(t-1)=0$ $=>t=1$
Sostituendo il valore trovato nella (1) si ha la retta richiesta:
$y-e=e(x-1)$
$y=ex$.
$P(x_0;e^(x_0))$ è il punto di tangenza e $y=mx$ è il fascio di rette passante per O.
Abbiamo:
$m=y'(x_0)=e^(x_0)$
$m=y_0/x_0=e^(x_0)/x_0$
Per confronto $x_0=1$ e quindi $m=e$
Praticamente è quasi uguale alla tua...
Si,fireball alla fine anche se lo vedi ad occhio non cambia niente,tanto bisogna fare lo stesso la derivata...Chiedo umilmente scusa! 
Ehi, non c'è il minimo bisogno che tu chieda scusa...!!! 
:-D:-D
:-D:-D
Mi è venuta in mente una soluzione alternativa per l'11.
Dunque $y=mx$ è l'equazione generica del fascio di rette passante per l'origine.
Abbiamo che $mx=e^x$ cioè $x=e^x/m$
Il coefficiente angolare della retta $y=x$ è $1$ dunque possiamo porre $1=e^(x_(0))/m$ da cui otteniamo $x_(0)=logm$
Quindi $mlogm=e^logm$ cioè $logm=1$ da cui $m=e$.
Dunque $y=mx$ è l'equazione generica del fascio di rette passante per l'origine.
Abbiamo che $mx=e^x$ cioè $x=e^x/m$
Il coefficiente angolare della retta $y=x$ è $1$ dunque possiamo porre $1=e^(x_(0))/m$ da cui otteniamo $x_(0)=logm$
Quindi $mlogm=e^logm$ cioè $logm=1$ da cui $m=e$.
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