Simulazione questionario maturità 2 - The revenge
1) Dimostrare che in un triangolo ABC, rettangolo in A, il piede dell’altezza AH, il vertice A e i punti medi dei lati del triangolo stanno su una stessa circonferenza. Trovare il centro e il raggio di questa circonferenza.
2) Dimostrare che, in una piramide quadrangolare retta, la somma di due facce laterali non consecutive è equivalente alla somma delle altre due.
3) Tracciare la curva di equazione $y=sen(x+pi/2) , -pi/2<=x<=pi/2$ (1) e la sua simmetrica rispetto all’asse x, indicando con B ed A i punti della (1) di ascisse rispettive 0 e $pi/2$ e con B’ il simmetrico di B rispetto all’origine. Nella regione finita di piano limitata dal semiasse positivo delle x, dall’asse y e dagli archi BA e B’A, si inscriva il rettangolo di perimetro massimo,avente un lato sull’asse y. (R. perimetro max = $pi/3+2sqrt(3)$)
4) In un piano cartesiano ortogonale Oxy si consideri il punto $A(2x,0)$. Si trovi il luogo L dei punti $B(x,y)$ tale che il triangolo OAB abbia perimetro $2p$ e si determini l’area della regione finita di piano delimitata dal luogo stesso. (R. Area =$4/3p^2$)
5) Dopo aver enunciato il teorema della media, dimostrare che
$2m
6) Determinare $a$ e $b$ reali tali che $y=ln(a*e^x+b)$ abbia per $x->+infty$ l'asintoto obliquo $y=x+1$ e per $x->-infty$ l'asintoto orizzontale $y=2$.
7) Dire, motivando la risposta, se la seguente funzione è pari o dispari:
$f(x)=int_0^xsen(t^2)dt$
8) Calcolare $lim_(x->+infty)2^(lnx)/(1+x^2)$. Il limite può essere calcolato con Hopital? Motivare la risposta.
2) Dimostrare che, in una piramide quadrangolare retta, la somma di due facce laterali non consecutive è equivalente alla somma delle altre due.
3) Tracciare la curva di equazione $y=sen(x+pi/2) , -pi/2<=x<=pi/2$ (1) e la sua simmetrica rispetto all’asse x, indicando con B ed A i punti della (1) di ascisse rispettive 0 e $pi/2$ e con B’ il simmetrico di B rispetto all’origine. Nella regione finita di piano limitata dal semiasse positivo delle x, dall’asse y e dagli archi BA e B’A, si inscriva il rettangolo di perimetro massimo,avente un lato sull’asse y. (R. perimetro max = $pi/3+2sqrt(3)$)
4) In un piano cartesiano ortogonale Oxy si consideri il punto $A(2x,0)$. Si trovi il luogo L dei punti $B(x,y)$ tale che il triangolo OAB abbia perimetro $2p$ e si determini l’area della regione finita di piano delimitata dal luogo stesso. (R. Area =$4/3p^2$)
5) Dopo aver enunciato il teorema della media, dimostrare che
$2m
6) Determinare $a$ e $b$ reali tali che $y=ln(a*e^x+b)$ abbia per $x->+infty$ l'asintoto obliquo $y=x+1$ e per $x->-infty$ l'asintoto orizzontale $y=2$.
7) Dire, motivando la risposta, se la seguente funzione è pari o dispari:
$f(x)=int_0^xsen(t^2)dt$
8) Calcolare $lim_(x->+infty)2^(lnx)/(1+x^2)$. Il limite può essere calcolato con Hopital? Motivare la risposta.
Risposte
8) Osserviamo che $2^(lnx)=(2^(log_2x))^(ln2)=x^ln2$
ed essendo il grado del denominatore maggiore
di quello del numeratore, il limite è 0.
Con De L'Hopital si può calcolare, perché
si tratta di una forma indeterminata $oo/oo$.
Dopo due applicazioni consecutive di
De L'Hopital si arriva a:
$lim_(x->+oo) ((ln2)(ln2-1)x^(ln2-2))/2=0$
in quanto $ln2-2$ è negativo.
ed essendo il grado del denominatore maggiore
di quello del numeratore, il limite è 0.
Con De L'Hopital si può calcolare, perché
si tratta di una forma indeterminata $oo/oo$.
Dopo due applicazioni consecutive di
De L'Hopital si arriva a:
$lim_(x->+oo) ((ln2)(ln2-1)x^(ln2-2))/2=0$
in quanto $ln2-2$ è negativo.
6) Svolgendo l'integrale si giunge a una funzione dispari perchè f(x)=-f(-x)
5) Il teorema della media integrale afferma che data una funzione continua nell'intevallo chiuso [a,b], il valor medio che essa assume in tale intervallo è dato da:
$(int_a^bf(x))/(b-a)$
Per il teorema di Weistrass in un intervallo chiuso uan unzione continua assume tutti i valori compresi fra il minimo e il massimo. Fra questi valori vi è il valore medio che nel nostro caso è dato da: $(int_-1^1f(x))/(1-(-1))
da cui il risultato desiterato
$(int_a^bf(x))/(b-a)$
Per il teorema di Weistrass in un intervallo chiuso uan unzione continua assume tutti i valori compresi fra il minimo e il massimo. Fra questi valori vi è il valore medio che nel nostro caso è dato da: $(int_-1^1f(x))/(1-(-1))
da cui il risultato desiterato
1) Molto bello... bisogna fare un accurato disegno e cercare le relazioni fra gli angoli...
6) Ho trovato b (credo) ma non so continuare.... Potreste darmi una mano in tempi rapidi o, ancora meglio, postare la soluzione?
GRAZIE
Gli altri ancira non li ho fatti ma mi sembrano abbastanza abbordabili a perte quello della piramide
GRAZIE
Gli altri ancira non li ho fatti ma mi sembrano abbastanza abbordabili a perte quello della piramide
6) Per $x->+oo$ si ha:
$ln(ae^x+b)=ln(e^x(a+b/e^x))=x+ln(a+b/e^x)=x+lna+o(1)$
dove, al solito, $o(1)$ denota un qualsiasi infinitesimo
per $x->+oo$. Dunque dev'essere $lna=1$ da cui $a=e$.
$b$ invece può assumere qualsiasi valore reale...
$ln(ae^x+b)=ln(e^x(a+b/e^x))=x+ln(a+b/e^x)=x+lna+o(1)$
dove, al solito, $o(1)$ denota un qualsiasi infinitesimo
per $x->+oo$. Dunque dev'essere $lna=1$ da cui $a=e$.
$b$ invece può assumere qualsiasi valore reale...
Grazie...
Cmq io b l'avevo trovato dalla seconda condizione, quella dell'asintoto orizzontalle e mi era venuto $b=e^2$
Non credevo che l'asintoto obliquo si potesse trovare anche nel modo che hia usato tu, ke mi sembra corretto. Io facevo:
y=mx+q è l'asintoto obliquo
dove $m=lim_(x->oo)(f(x))/x$ e $q=lim_(x->oo)f(x)-x$
Cmq io b l'avevo trovato dalla seconda condizione, quella dell'asintoto orizzontalle e mi era venuto $b=e^2$
Non credevo che l'asintoto obliquo si potesse trovare anche nel modo che hia usato tu, ke mi sembra corretto. Io facevo:
y=mx+q è l'asintoto obliquo
dove $m=lim_(x->oo)(f(x))/x$ e $q=lim_(x->oo)f(x)-x$
Io queste formule le ho cancellate dal mio cervello,
a mio parere complicano solo la vita...
a mio parere complicano solo la vita...
Comunque la definizione generale è questa:
se f è una funzione definita in un intorno di $+oo$
(o di $-oo$), e per x che tende a $+oo$ (o $-oo$)
si ha: $f(x)=ax+b+o(1)$ essendo $a in RR\\{0}$, $b in RR$,
allora la retta $y=ax+b$ è asintoto obliquo per il grafico di f.
Cioè, per x che tende all'infinito, la funzione ha un comportamento
lineare, si comporta come una funzione lineare (il cui grafico è appunto una retta).
Una notazione che non fa uso degli o piccoli è quella che utilizza
il simbolo di asintotico. In questo caso si scrive: $f(x)~~ax+b$ per $x->+oo$.
se f è una funzione definita in un intorno di $+oo$
(o di $-oo$), e per x che tende a $+oo$ (o $-oo$)
si ha: $f(x)=ax+b+o(1)$ essendo $a in RR\\{0}$, $b in RR$,
allora la retta $y=ax+b$ è asintoto obliquo per il grafico di f.
Cioè, per x che tende all'infinito, la funzione ha un comportamento
lineare, si comporta come una funzione lineare (il cui grafico è appunto una retta).
Una notazione che non fa uso degli o piccoli è quella che utilizza
il simbolo di asintotico. In questo caso si scrive: $f(x)~~ax+b$ per $x->+oo$.
@matematicoestinto
Siano M,N e P i punti medi di AB,BC,CA rispettivamente.
Il quadrilatero AMNP e' un rettangolo (dimostralo !!) e quindi esiste
la circonferenza ad esso circoscritta ed essa intersechi ulteriormente BC in H.
Poiche' AN (o NP) e' diametro, l'angolo AHN e' retto e quindi H non e'
altro che il piede dell'altezza relativa a BC.
La detta circonferenza passa quindi per A,M,N,H e P c.v.d
Il centro e' il punto medio di AN ed il raggio e' la meta' di AN (che si puo'
calcolare con Pitagora una volta noti ,ad esempio,i cateti AB e AC)
karl
fireball.. io ladcerei risolvere questi quesiti a quelli in 5 superiore. è ovvio che tu li sai fare.
Ti assicuro che è come se fossi ancora
studente di quinta liceo, per quanto riguarda
l'analisi, visto che non l'ho ancora studiata
e la darò a settembre, non sono molto
più preparato di quando andavo al liceo.
Campo di rendita!
studente di quinta liceo, per quanto riguarda
l'analisi, visto che non l'ho ancora studiata
e la darò a settembre, non sono molto
più preparato di quando andavo al liceo.
Campo di rendita!
hahaha
"karl":
@matematicoestinto
Siano M,N e P i punti medi di AB,BC,CA rispettivamente.
Il quadrilatero AMNP e' un rettangolo (dimostralo !!) e quindi esiste
la circonferenza ad esso circoscritta ed essa intersechi ulteriormente BC in H.
Poiche' AN (o NP) e' diametro, l'angolo AHN e' retto e quindi H non e'
altro che il piede dell'altezza relativa a BC.
La detta circonferenza passa quindi per A,M,N,H e P c.v.d
Il centro e' il punto medio di AN ed il raggio e' la meta' di AN (che si puo'
calcolare con Pitagora una volta noti ,ad esempio,i cateti AB e AC)
karl
NP non è diametro! Per il resto è come l'avevo risolto io... non l'ho postato solo xkè nn so come inserire un disegno e quindi sarebbe stato difficile spiegarlo
Fireball un quesito.... mi sai dire se il numero 6 l'ho risolto in modo corretto? C'è un altro modo da preferire a qst per esempiop quando l'integrale non è di immediata risoluzione?
2) Non è difficile.. basta ricordare la definizione di piramide retta che io avevo dimenticato......
La base di una piramide retta è circoscrittibile a uan circonferenza e la sua altezza cade nel centro di tale circonferenza
La base di una piramide retta è circoscrittibile a uan circonferenza e la sua altezza cade nel centro di tale circonferenza
Ah, dimenticavo la seconda parte del quesito 6) !
Si richiede anche che l'asintoto orizzontale sia $y=2$.
Per $x->-oo$ si ha: $y=lnb+o(1)$, dunque
$lnb=2$ da cui $b=e^2$. Quindi sono corretti
i tuoi risultati, matematicoestinto: ${(a=e),(b=e^2):}$
Non avevo proprio letto la seconda parte del quesito!
Si richiede anche che l'asintoto orizzontale sia $y=2$.
Per $x->-oo$ si ha: $y=lnb+o(1)$, dunque
$lnb=2$ da cui $b=e^2$. Quindi sono corretti
i tuoi risultati, matematicoestinto: ${(a=e),(b=e^2):}$
Non avevo proprio letto la seconda parte del quesito!
Per quanto riguarda il quesito sulla funzione integrale,
non credo proprio che l'integrale di $sint^2$ tra 0 e x
sia calcolabile, dunque bisogna cercare di fare qualche
ragionamento... Io ho ragionato così: c'è un teorema
che dice che la derivata di una funzione pari è dispari,
e la derivata di una funzione dispari è pari; se
derivi la funzione integrale ottieni $f(x)=sinx^2$
che è pari, dunque la funzione integrale è dispari.
non credo proprio che l'integrale di $sint^2$ tra 0 e x
sia calcolabile, dunque bisogna cercare di fare qualche
ragionamento... Io ho ragionato così: c'è un teorema
che dice che la derivata di una funzione pari è dispari,
e la derivata di una funzione dispari è pari; se
derivi la funzione integrale ottieni $f(x)=sinx^2$
che è pari, dunque la funzione integrale è dispari.
@matematicoestinto
Naturalmente il diametro e' MP e non NP .
E' stato un semplice errore di battitura.....chiunque
lo avrebbe capito
karl
Naturalmente il diametro e' MP e non NP .
E' stato un semplice errore di battitura.....chiunque
lo avrebbe capito
karl
Soluzioni alternative
6) $m=lim_(x->+infty)ln(ae^x+b)/x$
applico Hopital
$lim_(x->+infty)(ae^x)/(ae^x+b)=1$
$q=lim_(x->+infty)(ln(ae^x+b)-x)=lim_(x->+infty)ln(ae^x+b)-lne^x=lim_(x->+infty)ln((ae^x+b)/e^x)=lna$
$lna=1 => a=e$
$lnb=2 => b=e^2$.
7) Eseguendo la sostituzione $t=-z$ si ha
$f(x)=int_0^xsen(t^2)dt=-int_0^(-x)sen((-z)^2)dz=-int_0^(-x)sen(z^2)dz=-f(-x)$
6) $m=lim_(x->+infty)ln(ae^x+b)/x$
applico Hopital
$lim_(x->+infty)(ae^x)/(ae^x+b)=1$
$q=lim_(x->+infty)(ln(ae^x+b)-x)=lim_(x->+infty)ln(ae^x+b)-lne^x=lim_(x->+infty)ln((ae^x+b)/e^x)=lna$
$lna=1 => a=e$
$lnb=2 => b=e^2$.
7) Eseguendo la sostituzione $t=-z$ si ha
$f(x)=int_0^xsen(t^2)dt=-int_0^(-x)sen((-z)^2)dz=-int_0^(-x)sen(z^2)dz=-f(-x)$
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