Simulazione questionario maturità 2 - The revenge
1) Dimostrare che in un triangolo ABC, rettangolo in A, il piede dell’altezza AH, il vertice A e i punti medi dei lati del triangolo stanno su una stessa circonferenza. Trovare il centro e il raggio di questa circonferenza.
2) Dimostrare che, in una piramide quadrangolare retta, la somma di due facce laterali non consecutive è equivalente alla somma delle altre due.
3) Tracciare la curva di equazione $y=sen(x+pi/2) , -pi/2<=x<=pi/2$ (1) e la sua simmetrica rispetto all’asse x, indicando con B ed A i punti della (1) di ascisse rispettive 0 e $pi/2$ e con B’ il simmetrico di B rispetto all’origine. Nella regione finita di piano limitata dal semiasse positivo delle x, dall’asse y e dagli archi BA e B’A, si inscriva il rettangolo di perimetro massimo,avente un lato sull’asse y. (R. perimetro max = $pi/3+2sqrt(3)$)
4) In un piano cartesiano ortogonale Oxy si consideri il punto $A(2x,0)$. Si trovi il luogo L dei punti $B(x,y)$ tale che il triangolo OAB abbia perimetro $2p$ e si determini l’area della regione finita di piano delimitata dal luogo stesso. (R. Area =$4/3p^2$)
5) Dopo aver enunciato il teorema della media, dimostrare che
$2m
6) Determinare $a$ e $b$ reali tali che $y=ln(a*e^x+b)$ abbia per $x->+infty$ l'asintoto obliquo $y=x+1$ e per $x->-infty$ l'asintoto orizzontale $y=2$.
7) Dire, motivando la risposta, se la seguente funzione è pari o dispari:
$f(x)=int_0^xsen(t^2)dt$
8) Calcolare $lim_(x->+infty)2^(lnx)/(1+x^2)$. Il limite può essere calcolato con Hopital? Motivare la risposta.
2) Dimostrare che, in una piramide quadrangolare retta, la somma di due facce laterali non consecutive è equivalente alla somma delle altre due.
3) Tracciare la curva di equazione $y=sen(x+pi/2) , -pi/2<=x<=pi/2$ (1) e la sua simmetrica rispetto all’asse x, indicando con B ed A i punti della (1) di ascisse rispettive 0 e $pi/2$ e con B’ il simmetrico di B rispetto all’origine. Nella regione finita di piano limitata dal semiasse positivo delle x, dall’asse y e dagli archi BA e B’A, si inscriva il rettangolo di perimetro massimo,avente un lato sull’asse y. (R. perimetro max = $pi/3+2sqrt(3)$)
4) In un piano cartesiano ortogonale Oxy si consideri il punto $A(2x,0)$. Si trovi il luogo L dei punti $B(x,y)$ tale che il triangolo OAB abbia perimetro $2p$ e si determini l’area della regione finita di piano delimitata dal luogo stesso. (R. Area =$4/3p^2$)
5) Dopo aver enunciato il teorema della media, dimostrare che
$2m
6) Determinare $a$ e $b$ reali tali che $y=ln(a*e^x+b)$ abbia per $x->+infty$ l'asintoto obliquo $y=x+1$ e per $x->-infty$ l'asintoto orizzontale $y=2$.
7) Dire, motivando la risposta, se la seguente funzione è pari o dispari:
$f(x)=int_0^xsen(t^2)dt$
8) Calcolare $lim_(x->+infty)2^(lnx)/(1+x^2)$. Il limite può essere calcolato con Hopital? Motivare la risposta.
Risposte
"Piera":
7) Eseguendo la sostituzione $t=-z$ si ha
$f(x)=int_0^xsen(t^2)dt=-int_0^(-x)sen((-z)^2)dz=-int_0^(-x)sen(z^2)dz=-f(-x)$
Non capisco perchè l'estremo superiore di integrazione diventa -x ...per favore puoi spiegarmelo?
@Fireball: Non avevo capito che era un errore di battitura....evidentemente non sono "chiunque"
Per il problema dell'integrale non avevo letto bene, lo avevo inteso come $intsen^2x$ che è di semplice risoluzione
Ciao
"matematicoestinto":
[quote="Piera"]
7) Eseguendo la sostituzione $t=-z$ si ha
$f(x)=int_0^xsen(t^2)dt=-int_0^(-x)sen((-z)^2)dz=-int_0^(-x)sen(z^2)dz=-f(-x)$
Non capisco perchè l'estremo superiore di integrazione diventa -x ...per favore puoi spiegarmelo?
[/quote]
Perché cambia il segno dell'integrale.
Ma il segno dell'integrale non cambia perchè dt=-dz?
Lo so ke sarà una cretinata... ma nn la capisco... se hai un po' di tempo x favore spiegamelo con più passaggi...GRAZIE
Lo so ke sarà una cretinata... ma nn la capisco... se hai un po' di tempo x favore spiegamelo con più passaggi...GRAZIE
Effettivamente l'integrale cambia segno perche' dt=-dz ma
l'etremo superiore diventa -x in quanto con la sostituzione
t=-z cambiano i limiti d'integrazione.
Precisamente per t=0 si ha z=0 e per t=x si ha z=-x.
karl
P.S.
Volevo avvertirti che non e' a Fireball che ti dovevi rivolgere per
la questione del diametro MP ma a karl !
C'e' chi fa errori di battitura e chi sbaglia persona....
l'etremo superiore diventa -x in quanto con la sostituzione
t=-z cambiano i limiti d'integrazione.
Precisamente per t=0 si ha z=0 e per t=x si ha z=-x.
karl
P.S.
Volevo avvertirti che non e' a Fireball che ti dovevi rivolgere per
la questione del diametro MP ma a karl !
C'e' chi fa errori di battitura e chi sbaglia persona....
"karl":
Effettivamente l'integrale cambia segno perche' dt=-dz ma
l'etremo superiore diventa -x in quanto con la sostituzione
t=-z cambiano i limiti d'integrazione.
Precisamente per t=0 si ha z=0 e per t=x si ha z=-x.
karl
P.S.
Volevo avvertirti che non e' a Fireball che ti dovevi rivolgere per
la questione del diametro MP ma a karl !
C'e' chi fa errori di battitura e chi sbaglia persona....
Grazie.... adesso ho capito... dimentico spesso di cambiare gli estremi di integrazione quando si fa una sostituzione!
Ah...già.... eri tu.. Kissà come mi è venuto in mente di infilarci Karl.... Cmq non era mia intenzione sollevare una questione... Grazie ancora
Ciao
1
il modo piu' rapido per risolvere il problema e' notare che l'angolo MHN (dove M e N sono i punti medi dei cateti) e' un angolo retto (la dimostrazione e' banale).
Questo comporta che H si trova sulla circonferenza di diametro MN. Siccome l'angolo MAN e' retto per ipotesi, il punto A si trova sulla circonferenza di diametro MN
FINE
il modo piu' rapido per risolvere il problema e' notare che l'angolo MHN (dove M e N sono i punti medi dei cateti) e' un angolo retto (la dimostrazione e' banale).
Questo comporta che H si trova sulla circonferenza di diametro MN. Siccome l'angolo MAN e' retto per ipotesi, il punto A si trova sulla circonferenza di diametro MN
FINE
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