Simulazione problema 2

[@melia]

 
PROBLEMA 2
Una carica elettrica puntiforme $Q_1=4q $ (con q positivo) è fissata nell’origine O di un sistema di riferimento nel piano Oxy (dove x e y sono espressi in m). Una seconda carica elettrica puntiforme $Q_2=q $ è vincolata a rimanere sulla retta r di equazione $y=1$.

1. Supponendo che la carica $ Q_2 $ sia collocata nel punto $A(0,1)$, provare che esiste un unico punto P del piano nel quale il campo elettrostatico generato dalle cariche $Q_1$ e $ Q_2$ è nullo. Individuare la posizione del punto P e discutere se una terza carica collocata in P si trova in equilibrio elettrostatico stabile oppure instabile.

2. Verificare che, se la carica $Q_2$ si trova nel punto della retta r avente ascissa x, l’energia potenziale elettrostatica del sistema costituito da $Q_1$ e $Q_2$ è data da
$U(x)=k (4q^2)/sqrt(1+x^2 )$
dove $k$ è una costante positiva (unità di misura: $N*m^2/C^2$).

3. Studiare la funzione $U(x)$ per $xinRR$, specificandone eventuali simmetrie, asintoti, massimi o minimi, flessi. Quali sono i coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso?

4. A partire dal grafico della funzione U, tracciare il grafico della funzione U^', specificandone le eventuali proprietà di simmetria. Determinare il valore di $int_(-m)^m U'(x) dx$ (dove $m>0$ indica l’ascissa del punto di minimo di $U'$).

[Indrjo Dedej]

Ecco come ho risposto stamattina... Per ora metto la soluzione della 1.

1. Sia \(P=(x,y)\) il punto in questione. Siano \(\mathbf{E}_1\) e \(\mathbf{E}_2\) rispettivamente i campi elettrici in \(P\) generati rispettivamente da \(Q_1\) e \(Q_2\). Dovrà essere \[\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2=\mathbf{0}\,.\] Ora se \(x \ne 0\) sicuramente \(\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2\ne\mathbf{0}\), quindi \(x=0\). Inoltre se \(y > 1\) oppure \(y<0\), in \(P\) ci sarebbero due campi non nulli con lo stesso verso, quindi \(\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2\ne\mathbf{0}\) ancora. Deve essere perciò, \(0 \le y \le 1\). In definitiva \(P=(0,y)\), con \(y \in [0,1]\). Considerando i moduli dei due campi si ha \[4kq\frac1{y^2}=kq\frac1{(1-y)^2}\,,\] che risolta da come soluzioni (vado a memoria) \(y=2\) e \(y=\frac23\), delle quali prendo quella che soddisfa la condizione \(0 \le y \le 1\). L'unico punto cercato è \(P=\big(0,\frac23\big)\). (Non mi chiedete la discussione della stabilità o dell'instabilità dell'equilibrio perché non so cosa siano... )

[razor1911]

Proseguendo la risposta di @Indrjo Dedej, la carica nel punto \(\displaystyle P(0;\frac{2}{3}) \) è in equilibrio elettrostatico, poiché la risultante delle forze elettriche in quel punto è nulla.

2. Il punto Q2 ha per coordinate: \(\displaystyle Q_{2}(x;1) \); la distanza dall'origine dove è collocata la carica Q1 sarà: \(\displaystyle d=r=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(x-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{x^2+1} \).
L'energia potenziale elettrostatica è data dalla relazione: \(\displaystyle {U}(x)=k\frac{q_1q_2}{r} \). La relazione è dunque verificata: \(\displaystyle {U}(x)=k\frac{4q\cdot q}{\sqrt{x^2+1}} \)

3. Simmetrie: la funzione è PARI, cioè simmetrica rispetto all'asse y, poiché \(\displaystyle {U}(-x)= {U}(x) \).
Il dominio della funzione è: \(\displaystyle \mathscr{D}(f):\mathbb{R} \).
Intersezioni con gli assi:
con asse x: \(\displaystyle {U}(0)=0 \Rightarrow k\frac{4q^2}{\sqrt{x^2+1}}=0 \Rightarrow \nexists x \in \mathbb{R} \)
con asse y: \(\displaystyle {U}(0)=k\frac{4q^2}{\sqrt{0^2+1}}=4kq^2\)
Passiamo allo studio dei limiti: \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}{U}(x)=\lim_{x \to -\infty}{U}(x)=0 \rightarrow \) l'asse x è asintoto orizzontale della funzione.

Derivata prima: \(\displaystyle {U}'(x)=\frac{-4kq^2 \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{-4kq^2x}{\sqrt{(x^2+1)^3}} \); essa si annulla solo in per x=0.
Lo studio del segno della derivata prima ci dà: \(\displaystyle {U}'(x)>0 \Rightarrow x<0 \rightarrow \) c'è un punto di massimo in x=0: \(\displaystyle M(0;4kq^2) \); non vi è minimo. Passiamo ora allo studio della derivata seconda e dei punti di flesso (a tangente obliqua).

Derivata seconda: \(\displaystyle {U}''(x)=\frac{4kq^2(2x^2-1)}{\sqrt{(x^2+1)^5}} \); per trovare i punti di flesso la imponiamo uguale a 0: \(\displaystyle {U}''(x)=0 \Rightarrow {4kq^2(2x^2-1)}=0 \Rightarrow (2x^2-1)=0 \Rightarrow x=-\frac{\sqrt2}{2} \vee x=\frac{\sqrt2}{2} \).
I punti di flesso saranno quindi: \(\displaystyle F_1(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{4\sqrt6}{3}q^2) \) \(\displaystyle F_2(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{4\sqrt6}{3}q^2) \)
Punto di minimo derivata seconda: \(\displaystyle m: \frac{\sqrt{2}}{2} \)
I coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso si calcolano sostituendo tali punti all'equazione della derivata prima: \(\displaystyle {U}'(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{8kq^2}{3\sqrt3} \), \(\displaystyle {U}'(\frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{8kq^2}{3\sqrt3} \)

4. Poiché la funzione \(\displaystyle {U}'(x) \) è dispari, l'integrale risulta nullo.
Tenendo presente che $ m=\frac{\sqrt{2}}{2} $, integrale sarà: $int_(-\frac{\sqrt{2}}{2})^(\frac{\sqrt{2}}{2}) U'(x) dx = U(-\frac{\sqrt{2}}{2})-U(\frac{\sqrt{2}}{2})=0$