Simmetria assiale
Esercizio 1
Per la seguente retta, data attraverso l'equazione, trovare le equazioni delle rette simmetriche ad essa rispetto all'asse $ x $ , rispetto all'asse $ y $ e rispetto all'origine degli assi coordinati.
$ 3x+2y+3=0 $
Non ho trovato nessun problema nel trovare la retta simmetrica all'asse $ x $ ed $ y $, ho utilizzato per ogni singolo punto i seguenti sistemi:
Simmetria rispetto all'asse $ x $
$ { ( x'=x ),( y'=-y ):} $
Simmetria rispetto all'asse $ y $
$ { ( x'=-x ),( y'=y ):} $
Dopo aver trovato i punti $ A'^^B' $(per la simmetria rispetto ad x) e $ A''^^B'' $(per la simmetria rispetto ad y), mi sono calcolato le due equazione delle rette passante per due punti, rispetto all'asse $ x $ ed $ y $, $ (y-y_1)/(y_2-y_1)=(x-x_1)/(x_2-x_1) $ e fin qui nessun problema!
Ma non sto capendo il punto che mi dice di calcolare lo stesso ma rispetto all'origine degli assi coordinati!?!?
Per la seguente retta, data attraverso l'equazione, trovare le equazioni delle rette simmetriche ad essa rispetto all'asse $ x $ , rispetto all'asse $ y $ e rispetto all'origine degli assi coordinati.
$ 3x+2y+3=0 $
Non ho trovato nessun problema nel trovare la retta simmetrica all'asse $ x $ ed $ y $, ho utilizzato per ogni singolo punto i seguenti sistemi:
Simmetria rispetto all'asse $ x $
$ { ( x'=x ),( y'=-y ):} $
Simmetria rispetto all'asse $ y $
$ { ( x'=-x ),( y'=y ):} $
Dopo aver trovato i punti $ A'^^B' $(per la simmetria rispetto ad x) e $ A''^^B'' $(per la simmetria rispetto ad y), mi sono calcolato le due equazione delle rette passante per due punti, rispetto all'asse $ x $ ed $ y $, $ (y-y_1)/(y_2-y_1)=(x-x_1)/(x_2-x_1) $ e fin qui nessun problema!
Ma non sto capendo il punto che mi dice di calcolare lo stesso ma rispetto all'origine degli assi coordinati!?!?
Risposte
L'equazione della simmetria rispetto all'origine è
$ { ( x'= -x ),( y'= -y ):} $
Il metodo che hai usato è corretto, ma molto lungo rispetto a quello che avrei utilizzato io: applicare le formule di trasformazione direttamente alle rette.
Data la retta $ 3x+2y+3=0 $
la simmetrica di rispetto all'asse x si ottiene lasciando invariata la x e cambiando segno alla y: $ 3x-2y+3=0 $
la simmetrica di rispetto all'asse y si ottiene lasciando invariata la y e cambiando segno alla x: $ -3x+2y+3=0 $, che può anche essere scritta $ 3x-2y-3=0 $
la simmetrica di rispetto all'origine si ottiene cambiando segno sia x che y: $ -3x-2y+3=0 $, cioè $ 3x+2y-3=0 $
$ { ( x'= -x ),( y'= -y ):} $
Il metodo che hai usato è corretto, ma molto lungo rispetto a quello che avrei utilizzato io: applicare le formule di trasformazione direttamente alle rette.
Data la retta $ 3x+2y+3=0 $
la simmetrica di rispetto all'asse x si ottiene lasciando invariata la x e cambiando segno alla y: $ 3x-2y+3=0 $
la simmetrica di rispetto all'asse y si ottiene lasciando invariata la y e cambiando segno alla x: $ -3x+2y+3=0 $, che può anche essere scritta $ 3x-2y-3=0 $
la simmetrica di rispetto all'origine si ottiene cambiando segno sia x che y: $ -3x-2y+3=0 $, cioè $ 3x+2y-3=0 $
Ciao melia, ti ringrazio per avermi detto questi metodi rapidi, il mio testo non mi dice questi trucchetti che li trovo facilissimi da ricordare! 
Grazie mille.
Grazie mille.
Esercizio 2
Ma se mi trovo a risolvere questa equazione, $ x=y $ con le stesse richieste dell'Esercizio 1, avrò quattro bisettrici, identiche a coppie!
Non penso di aver sbagliato, ho fatto anche il grafico e mi sembra di aver detto bene!
Ma se mi trovo a risolvere questa equazione, $ x=y $ con le stesse richieste dell'Esercizio 1, avrò quattro bisettrici, identiche a coppie!
Non penso di aver sbagliato, ho fatto anche il grafico e mi sembra di aver detto bene!
Esercizio 3
E se mi trovo con una equazione $ x=0 $
Come devo fare?
Grazie mille!
E se mi trovo con una equazione $ x=0 $
Come devo fare?
Grazie mille!
Esercizio 4
Determinare la retta simmetrica alla retta di equazione:
$ y=3x-1 $ rispetto all'asse $ y=2 $
Come devo impostare l'equazione? Cosa devo fare?
Grazie mille!
Determinare la retta simmetrica alla retta di equazione:
$ y=3x-1 $ rispetto all'asse $ y=2 $
Come devo impostare l'equazione?
Cosa devo fare? Grazie mille!
Non sto capendo un passaggio algebrico.....
Se ho questo:
$ sqrt((xp+n/m)^2+(mxp+n)^2) $
come si fa ad arrivare alla seguente?
$ sqrt((xp+n/m)^2+m^2(xp+n/m)^2) $
Come ha fatto a tirare fuori $ m $ e metterlo al denominatore in $ n $ ?
Grazie mille!
Se ho questo:
$ sqrt((xp+n/m)^2+(mxp+n)^2) $
come si fa ad arrivare alla seguente?
$ sqrt((xp+n/m)^2+m^2(xp+n/m)^2) $
Come ha fatto a tirare fuori $ m $ e metterlo al denominatore in $ n $ ?
Grazie mille!
$sqrt((xp+n/m)^2+(mxp+n)^2)= sqrt((xp+n/m)^2+[m(xp+n/n)]^2)=$
$sqrt((xp+n/m)^2+m^2(xp+n/n)^2)$
$sqrt((xp+n/m)^2+m^2(xp+n/n)^2)$
Dato un punto $P(x, y)$, il suo simmetrico $P'(x', y')$ rispetto a $y=2$ (parallela all'asse $x$) ha la proprietà che $PP'$ è parallelo all'asse $y$ (quindi $P'$ ha la stessa ascissa di $P$) e che il punto medio di $PP'$ sta sulla retta $y=2$ (quindi ha ordinata $=2$).
Perciò ${(x=x'),((y+y')/2=2):}->{(x=x'),(y=4-y'):}$.
Allora la retta simmetrica di $y=3x-1$ rispetto all'asse $y=2$ ha equazione $4-y'=3x'-1->y'=-3x'+5->y=-3x+5$.
Perciò ${(x=x'),((y+y')/2=2):}->{(x=x'),(y=4-y'):}$.
Allora la retta simmetrica di $y=3x-1$ rispetto all'asse $y=2$ ha equazione $4-y'=3x'-1->y'=-3x'+5->y=-3x+5$.
"chiaraotta":
$sqrt((xp+n/m)^2+(mxp+n)^2)= sqrt((xp+n/m)^2+[m(xp+n/n)]^2)=$
$sqrt((xp+n/m)^2+m^2(xp+n/n)^2)$
Scusami ma non sto capendo i passaggi che bisogna fare!
Poiché
$(mxp+n)=m(xp+n/m)$,
allora
$(mxp+n)^2=[m(xp+n/m)]^2=m^2(xp+n/m)^2$
$(mxp+n)=m(xp+n/m)$,
allora
$(mxp+n)^2=[m(xp+n/m)]^2=m^2(xp+n/m)^2$
"chiaraotta":
Poiché
$(mxp+n)=m(xp+n/m)$,
Ma come hai fatto?
E' solo questo punto che non sto capendo!
Sulla base di cosa si puo'tirar fuori $ m $ ?
Alla base c'e' qualche formula inversa?
$ mxp+n=0 $
e poi come devo continuare?
Grazie mille.
"chiaraotta":
Dato un punto $P(x, y)$, il suo simmetrico $P'(x', y')$ rispetto a $y=2$ (parallela all'asse $x$) ha la proprietà che $PP'$ è parallelo all'asse $y$ (quindi $P'$ ha la stessa ascissa di $P$) e che il punto medio di $PP'$ sta sulla retta $y=2$ (quindi ha ordinata $=2$).
Perciò ${(x=x'),((y+y')/2=2):}->{(x=x'),(y=4-y'):}$.
Allora la retta simmetrica di $y=3x-1$ rispetto all'asse $y=2$ ha equazione $4-y'=3x'-1->y'=-3x'+5->y=-3x+5$.
Finalmente ho capito!
Dopo un pomeriggio della giornata di ieri e un mal di testa, non so come ringraziarti!
$(mxp+n)=m(xp+n/m)$
Raccoglimento a fattor comune .....
$3*4+5=3*(4+5/3)$ ....
Raccoglimento a fattor comune .....
$3*4+5=3*(4+5/3)$ ....
Quindi e' una regola per raccogliere a fattor comune da utilizzare in circostanze simili!
Grazie mille per avermi evitato un altro mal di testa anche oggi!
Grazie mille per avermi evitato un altro mal di testa anche oggi!
Esercizio 5
Nella simmetria di asse $ y=4 $ , trovare la retta simmetrica alla retta $ y=x-1 $ .
Di questo esercizio non ho il risultato, ma utilizzando il metodo risolutivo consigliato, penso di aver fatto bene tutti gli step risolutivi
!
Se si ha come asse di simmetria l'asse $ y=0 $ allora varrebbe questo sistema:
$ { ( x'=x ),( y'=-y ):} $
Ma nel caso in cui si ha un asse avente ordinata $ y=4 $ , bisogna tenerne conto nei calcoli che il riferimento della simmetria è $ y=4 $ , quindi potrò dire che:
$ { ( x=x' ),( (y+y')/2=4 ):} $
Questo $ (y+y')/2=4 $, vuol dire che un possibile punto che è simmetrico, equivale al punto mediano del possibile segmento $ A A' $ , quindi le nuove origini sulla quale riferirsi, sono date $ (y+y')/2$, che a sua volta corrisponde a $ =4 $, quindi avrò:
$ { ( x=x' ),( y=8-y' ):} $
Sostituendo nell'equazione della retta simmetrica alla retta di partenza, avrò
$ y=x-1=>8-y'=x-1=>x+y-9=0 $
Nella simmetria di asse $ y=4 $ , trovare la retta simmetrica alla retta $ y=x-1 $ .
Di questo esercizio non ho il risultato, ma utilizzando il metodo risolutivo consigliato, penso di aver fatto bene tutti gli step risolutivi
! Se si ha come asse di simmetria l'asse $ y=0 $ allora varrebbe questo sistema:
$ { ( x'=x ),( y'=-y ):} $
Ma nel caso in cui si ha un asse avente ordinata $ y=4 $ , bisogna tenerne conto nei calcoli che il riferimento della simmetria è $ y=4 $ , quindi potrò dire che:
$ { ( x=x' ),( (y+y')/2=4 ):} $
Questo $ (y+y')/2=4 $, vuol dire che un possibile punto che è simmetrico, equivale al punto mediano del possibile segmento $ A A' $ , quindi le nuove origini sulla quale riferirsi, sono date $ (y+y')/2$, che a sua volta corrisponde a $ =4 $, quindi avrò:
$ { ( x=x' ),( y=8-y' ):} $
Sostituendo nell'equazione della retta simmetrica alla retta di partenza, avrò
$ y=x-1=>8-y'=x-1=>x+y-9=0 $
"Bad90":
Esercizio 5
....
Sostituendo nell'equazione della retta simmetrica alla retta di partenza, avrò
$ y=x-1=>8-y'=x-1=>x+y-9=0 $
...
Sostituendo le
${(x=x'), (y=8-y'):}$
nell'equazione della retta di partenza
$y=x-1$
avrò
$y=x-1=>8-y'=x'-1=>x'+y'-9=0=>x+y-9=0$.
$x+y-9=0$ è la retta simmetrica cercata.
Devo diventare rapido, meno discorsivo e preciso come chiaraotta !
Grazie mille!
Grazie mille!
"@melia":
L'equazione della simmetria rispetto all'origine è
$ { ( x'= -x ),( y'= -y ):} $
Scusami, ma se ho la simmetria rispetto alla bisettrice $ y=-x $ , ho trovato sul mio testo che è rappresentata sempre dal sistema
$ { ( x'= -x ),( y'= -y ):} $
Cosa vuol dire? E' lo stesso di quando si ha una simmetria rispetto all'origine?
Insomma, $ y=-x $ vuol dire che ho $ y=0 $ e $ x=-1 $, perchè è lo stesso di quando si ha $ y=0^^x=0 $
Grazie mille!
"Bad90":
.... la simmetria rispetto alla bisettrice $ y=-x $ , ...
$ { ( x'= -x ),( y'= -y ):} $
...
No: è così...
$ { ( x'= -y ),( y'= -x ):} -> { (y=- x' ),(x=- y'):}$ .
Quindi, per es., per trovare l'equazione della simmetrica, rispetto alla bisettrice $y=-x$, della retta $y=2x-1$....
Sostituendo ${ (y=- x' ),(x=- y'):}$ in $y=2x-1$ si ottiene:
$y=2x-1->-x'=2(-y')-1->x'=2y'+1->y=1/2x-1/2$.
Perdonatemi, 
, leggendo non ho fatto caso che ci fosse scritto $ { ( x'= -y ),( y'= -x ):} $ invece di $ { (x'=- x ),(y'=- y):}$.
La stanchezza ed il caldo fanno brutti scherzi!
Grazie!
, leggendo non ho fatto caso che ci fosse scritto $ { ( x'= -y ),( y'= -x ):} $ invece di $ { (x'=- x ),(y'=- y):}$. La stanchezza ed il caldo fanno brutti scherzi!
Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo