Significato geometrico di derivata

[fe_licia]

mi potete spiegare il significato geometrico di derivata per favore?

[carlogiannini]

La derivata prima (calcolata in un punto) ci da la retta che approssima meglio la curva in quel punto perché ci da il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto.
Praticamente la derivata prima ci dice DOVE la funzione "sale" e DOVE invece "scende".
Infatti, nei punti di Massimo e di Minimo la derivata prima è ZERO.
Immagina che il grafico della funzione sia una strada di montagna. Di notte guardi da lontano una macchina che percorre quella strada: al buio non vedi la strada ma vedi il fascio dei fari. Se il fascio di luce "punta" in alto, sai che la macchina sta percorrendo un tratto in salita, se invece i fari "puntano" in basso, vuol dire che l'auto sta scendendo.
Ecco, la derivata prima fa esattamente questo: ci dice "sale" o "aceto".
NO, STO SCHERZANDO: ci dice "la funzione sale" o "la funzione scende", o meglio "la funzione è crescente" oppure "la funzione è decrescente".
Concludendo:
derivata prima > 0 -----> funzione crescente
derivata prima < 0 -----> funzione decrescente
derivata prima = 0 -----> funzione stazionaria (Max o Min relativo o Flesso orizzontale)
Ci dice anche QUANTO è "ripida" la salita o la discesa in quel tratto di strada in quanto:
Maggiore è il valore della derivata prima, maggiore è l'inclinazione (verso l'alto) della tangente.
Come esempio prendiamo una funzione semplice e conosciuta:

[math]y=f(x)=x^2[/math]

.
La derivata prima è:

[math]f'(x) = 2x[/math]

.
Nel punto
x = +1

[math]f'(+1) = 2(+1) = +2[/math]

.
in effetti la funzione in quel punto è crescente.
Nel punto
x = -1

[math]f'(-1) = 2(-1) = -2[/math]

.

e infatti la funzione è decrescente.
Nel punto
x = 0
dove c'è il Minimo della funzione

[math]f'(x) = f'(0) = 0[/math]

.
Come Volevasi Dimostrare
--------.

La derivata seconda ci da la parabola che approssima meglio la curva in un dato punto, quindi ci dice se il grafico della funzione è concavo o convesso.
Praticamente
derivata seconda POSITIVA -----> parabola rivolta verso l'alto
derivata seconda NEGATIVA -----> parabola rivolta verso il basso
Se la derivata seconda (calcolata in un certo punto) è ZERO, rimaniamo nel dubbio e dobbiamo fare ulteriori accertamenti per poter sapere cosa fa la funzione:
normalmente si continua a derivare.
derivata terza POSITIVA -----> flesso ascendente
derivata terza NEGATIVA -----> flesso discendente
derivata terza ZERO -------> continuare a derivare
derivata quarta POSITIVA -----> parabola rivolta verso l'alto
derivata quarta NEGATIVA -----> parabola rivolta verso il basso
eccetera.
Se in un certo punto sono ZERO tutte le derivate fino a quella ennesima che è diversa da ZERO, allora:
se "n" è PARI -----------> parabola
se "n" è DISPARI --------> flesso.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Fammi sapere.
Carlo

[fe_licia]

grazie :) sei stato chiarissimo

Aggiunto più tardi:

grazie :) sei stato chiarissimo