Significato geometrico della derivata seconda

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti. Ho letto sul libro che la derivata seconda esprime la concavità di f(x). Se > 0 si ha concavità rivolta verso l'alto. Se < 0 si ha concavità rivolta verso il basso. Se = 0 si devono fare ulteriori considerazioni con le derivate successive . Ed è qui che è scattato un mio dilemma: se la derivata prima esprime il coefficiente angolare della tg a un punto x0, la derivata seconda esprime il coefficiente angolare della derivata prima, e ,in generale, la derivata n-esima esprime il coefficiente angolare della derivata (n-1)-esima?

Mi riuscite a spiegare il significato di derivata di derivata n-esima geometricamente? Grazie a tutti.

[giammaria2]

Se l'unico grafico che osservi è quello di $y=f(x)$, le derivate di ordine maggiore di due non hanno un vero significato geometrico; puoi convincertene facendo il grafico di $y=x^4-1$, che assomiglia a quello di una parabola. In prossimità di $x=0$ la principale differenza è che la curva approssima la sua tangente più di quanto fa la parabola: ha infatti con essa quattro intersezioni coincidenti al posto delle solite due.

[Sk_Anonymous]

"giammaria":Se l'unico grafico che osservi è quello di $y=f(x)$, le derivate di ordine maggiore di due non hanno un vero significato geometrico; puoi convincertene facendo il grafico di $y=x^4-1$, che assomiglia a quello di una parabola. In prossimità di $x=0$ la principale differenza è che la curva approssima la sua tangente più di quanto fa la parabola: ha infatti con essa quattro intersezioni coincidenti al posto delle solite due.

Quindi l'immagine che ho messo è ricavate puramente da formule matematiche (a partire dalla derivata seconda)? Geometricamente, oltre la derivata prima, non vi è nessun significato?

[giammaria2]

Come giustamente hai detto nel tuo primo post, geometricamente ha significato anche la derivata seconda, che indica la concavità. Per questo ho scritto che non lo hanno "le derivate di ordine maggiore di due".

[Sk_Anonymous]

Ho capito. Ma quindi nella figura hanno semplicemente raffigurato graficamente la f'''(x),f''''(x),... ?

[giammaria2]

Credo proprio di sì.

[Sk_Anonymous]

va bene,grazie!