Si appropinqua!!!!

[Piera4]

L'esame di maturità è ormai vicino!
Quella che segue è una simulazione dell'esame di maturità.
Ho paura che non ci siano utenti che devono sostenerla. Comunque, essendo mezzo influenzato e non avendo niente di meglio da fare, propongo le seguenti questioni.

Il candidato risolva 1 dei due problemi e 5 dei dieci quesiti in cui si articola il questionario.

[size=150]Problema 1[/size]
Si consideri la funzione $f(x)=x|1-x|-2$ .
1) Dire, motivando la risposta, se la funzione verifica le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo $[-1,2]$ .
2) Determinare i valori che soddisfano il teorema della media integrale per la sopracitata funzione relativamente all’intervallo $[0,2]$ .
3) Calcolare $int_0^1(f(x))/(x+3)dx .
4) Studiare e tracciare il grafico della funzione $y=(f(x))/(x+1)-x$ .
5) Infine, determinare $f'(g(x))$ dove
$g(x)=2x^2-2$ se $x<1$
$g(x)=lnx$ se $x>=1$.

[size=150]Problema 2[/size]
Su di un piano di assi cartesiani ortogonali OXY, si consideri il triangolo di vertici O(0,0) , A(4,0) e B(0,2).
1) Dimostrare che se si divide una superficie piana di area S in due parti x, y , allora il prodotto $x*y$ è massimo quando $x=y=S/2$ .
2) Sfruttando il precedente risultato, determinare l’equazione della retta r , passante per O , che divide il triangolo OAB in due parti le cui aree hanno prodotto massimo.
3) Indicata con M l’intersezione della retta r con il lato AB, determinare sul segmento OM le coordinate di un punto P in modo tale che le rette OP, AP e BP dividano il triangolo OAB in sei triangoli equivalenti.
4) Trovare l’equazione della parabola p ,$x=ay^2+by+c$ , di vertice O e passante per il punto medio del lato AB.
5) Determinare la misura delle aree in cui la parabola p divide il triangolo OAB.

[size=150]Questionario[/size]
1) Fra le curve di equazioni del tipo $y=int(ax+b)dx$ determinare quella che è simmetrica rispetto all’asse $y$, presenta per $x=0$ un massimo o un minimo uguale ad 1 e intercetta sull’asse $x$ una corda di lunghezza 4.
2) Dimostrare geometricamente che un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo dei segmenti che il punto di contatto del cerchio inscritto determina sull’ipotenusa.
3) Il periodo della funzione $y=cosx *cos(x+pi/3)$ è
a) $pi/2$ b) $pi$ c) $3/2pi$ d) $2pi$
4) Dimostrare che $int_0^1x^m(1-x)^ndx=int_0^1x^n(1-x)^mdx$
con $m,n$ interi positivi.
5)Determinare l’equazione della retta tangente alla funzione $y=e^x$ passante per il punto (1,0).
6) Calcolare $lim_(x->0^+)log_xsenx$
7) Dopo aver enunciato il teorema di Lagrange, dimostrare che
$|senx-seny|<|x-y|$ , $x,y$ reali qualsiasi.
8) Dire se esiste una funzione $f(x)$ continua su $[1,3]$ e derivabile su $(1,3)$ tale che $f(1)=-1$, $f(3)=2$, $f'(x)<=1/2$ per ogni $x in (1,3)$
9) Sia $f$ una funzione definita e continua per ogni $x$ reale tale che
$int_0^xf(t)dt=int_x^1t^2*f(t)dt+x^16/8+x^18/9+c$.
Determinare $f$ e il valore della costante $c$.
10) Sia $f: RR-{0}->RR$ tale che $2*f(x)+3*f(1/x)=5$, determinare $f(2)$.

[Chevtchenko]

"Piera":10) Sia $f: RR->RR$ tale che $2*f(x)+3*f(1/x)=5$, determinare $f(2)$.

direi che la funzione costante a 1 dovrebbe andar bene, no?

[Piera4]

Devi dire quanto vale la funzione in $x=2$, giustificando la risposta.

[Chevtchenko]

"Piera":Devi dire quanto vale la funzione in $x=2$, giustificando la risposta.

Come quanto vale? La funzione costante a 1 soddisfa la tua uguaglianza, no? Quindi $f(2) = 1$. Non dico mica che questa sia l'unica risposta possibile...

[Piera4]

Devi considerare una $f$ generica.

[Chevtchenko]

"Piera":Devi considerare una $f$ generica.

E come si fa? Comunque il dominio non può essere $RR$, no?, altrimenti non ha senso $f(1/x)$.

[Piera4]

Hai ragione correggo!
Per quanto riguarda come si fa, per ora aspettiamo.

[desko]

10) 2f(x)+3f(x)=5 => 5f(x)=5 => f(x)=1 => f(2)=1

[ilincasebastian]

x->1/x
2f(1/x)+3f(x)=5
2f(x)+3f(1/x)=5
5[f(x)+f(1/x)]=10
f(x)+f(1/x)=2

per x=2
abiamo f(2)+f(1/2)=2
2 f(2)+3f(1/2)=5
-f(2)=-1
f(2)=1

[ermes*11]

Poiché $2f(x) + 3f(1/x) = 5$, risulta $f(x) = f(1/x)=1$, e quindi $x = 1/x$, da cui $x = 1$. Quindi $2f(2) +3f(1/2) = 2f(2) + 3f(2) = 5$; $5f(2) = 5$; $f(2) = 1$.

P.S. Sono un maturando. Va bene questa risposta?

[Piera4]

L'esercizio era già stato risolto da ilincasebastian.
C'è qualcosa che non va nella tua risposta.
Riporto la seguente soluzione, sostanzialmente è quella di ilincansebastian.
Per $x=2$ la relazione $2f(x)+3f(1/x)=5$ diventa:
$2f(2)+3f(1/2)=5$ (1).
Per $x=1/2$ si ottiene invece:
$2f(1/2)+3f(2)=5$, ovvero $f(1/2)=5/2-3/2f(2)$.
Sostituendo questa espressione nella (1) si ha
$2f(2)+15/2-9/2f(2)=5$
$4f(2)+15-9f(2)=10$
$-5f(2)=-5$
$f(2)=1$.
Se c'è qualcosa che non ti è chiaro, chiedi pure.

Mi è venuto in mente che potrei postare le soluzioni del questionario con lo spoiler; in questo modo, se qualcuno prova a fare qualche quesito può controllare le sue soluzioni con le mie. Anche qui, se qualche maturando non devesse capire la mia soluzione è pregato di dirmelo! ermes*, visto che fai la maturità, se sei interessato a questi problemi non esitare a chiedere qualsiasi cosa.
Per il momento riporto le seguenti soluzioni.

6) Calcolare $lim_(x->0^(+))log_xsenx$.

Occorre ricordare la seguente proprietà dei logaritmi:
$log_ab=(lnb)/(lna)$, $ln$ è il solito logaritmo in base $e$.
Nel nostro caso, essendo $a=x$ e $b=senx$, si ha:
$lim_(x->0^(+))log_xsenx=lim_(x->0^(+))(lnsenx)/(lnx)$.
Siamo nella forma indeterminata $(-infty)/(-infty)$, applicando la regola di de L'Hopital si ha
$lim_(x->0^(+))(lnsenx)/(lnx)=lim_(x->0^(+))((cosx)/(senx))/(1/x)=lim_(x->0^(+))cosx*x/(senx)=1$.
Dunque il limite richiesto è 1.

3) Il periodo della funzione $y=cosx*cos(x+pi/3)$ è
a) $pi/2$ b) $pi$ c) $3/2pi$ d) $2pi$

La risposta giusta è la b).
La funzione può essere riscritta come segue:
$y=cosx*cos(x+pi/3)=cosx*(cosx*1/2-senx*sqrt3/2)=cos^2x*1/2-senx*cosx*sqrt3/2=$
$=(1+cos2x)/2*1/2-(sen2x)/2sqrt3/2=(cos2x)/4-sen2x*sqrt3/4+1/4$.
Adesso occorre ricordare che le funzioni del tipo
$y=senkx$ ,
$y=coskx$
sono periodiche con periodo $T=(2pi)/k$.
Nella funzione $y=(cos2x)/4-sen2x*sqrt3/2+1/4$
$k=2$, quindi $T=(2pi)/2=pi$.

5) Determinare l’equazione della retta tangente alla funzione $y=e^x$ passante per il punto (1,0).

Un esercizio di questo tipo, seconde me, prima o poi uscirà agli esami di maturità.
La tangente di una funzione in un suo punto è data dalla relazione:
$y-f(x_0)=f'(x_0)*(x-x_0)$.
Sia $P(t,e^t)$ un generico punto della funzione $f(x)=e^x$.
La tangente della funzione in $P$, tenendo conto che adesso $x_0=t$, è
$y-e^t=e^t*(x-t)$. (1)
La retta trovata deve passare per (1,0), imponendo il passaggio per detto punto si ha
$0-e^t=e^t*(1-t)$
$-e^t-e^t*(1-t)=0$
$e^t*(-2+t)=0$
$t=2$.
Sostituendo $t=2$ nella (1) si ottiene la retta richiesta:
$y-e^2=e^2(x-2)$
$y=e^2(x-1)$.

1) Fra le curve di equazioni del tipo y=∫(ax+b)dx determinare quella che è simmetrica rispetto all’asse y, presenta per x=0 un massimo o un minimo uguale ad 1 e intercetta sull’asse x una corda di lunghezza 4.

$f(x)=int(ax+b)dx=(ax^2)/2+bx+c$.
La funzione è simmetrica rispetto all'asse y quando $f(x)=f(-x)$, cioè quando
$(ax^2)/2+bx+c=(ax^2)/2-bx+c$.
Da questo si deduce che $b=0$.
$f(x)=(ax^2)/2+c$ presenta per x=0 un massimo e un minimo uguale ad 1 quando
(i) $f'(0)=0$
(ii) $f(0)=1$
La condizione (i) è sempre verificata:
$f'(x)=ax$, quindi $f'(0)=0$ per ogni $a$.
La condizione (ii) è verificata per $c=1$.
La funzione $f(x)=(ax^2)/2+1$ (b=0 e c=1) deve intercettare sull'asse x una corda di lunghezza 4.
Per fare questo troviamo le intersezioni di f con l'asse x:
$(ax^2)/2+1=0$
$x=+-sqrt((-2)/a)$.
La corda avrà lunghezza $sqrt((-2)/a)-(-sqrt((-2)/a))=2sqrt((-2)/a)$.
Per soddisfare la condizione richiesta occorre che $2sqrt((-2)/a)=4$,
elevando al quadrato, con facili calcoli si ottiene $a=-1/2$.
La curva ha dunque equazione
$y=-x^2/4+1$.

7) Dopo aver enunciato il teorema di Lagrange, dimostrare che
$|senx-seny|<=|x-y|$.

Teorema di Lagrange
Sia f una funzione continua nell'intervallo $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$,
allora esiste $c in (a,b)$ tale che $(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)$.

Torniamo alla nostra disuguaglianza.
Se $x=y$ non vi è niente da dimostrare.
Sia $y il teorema di Lagrange nell'intervallo $[y,x]$. Si ha
$(senx-seny)/(x-y)=cosc$ con $c in (y,x)$, da cui, eseguendo il valore assoluto su entrambi i membri:
$(|senx-seny|)/(|x-y|)=|cosc|$
$|senx-seny|=|cosc|*|x-y|$.
Essendo $|cosc|<=1$ si ricava
$|senx-seny|<=1*|x-y|$.

Le altre soluzioni prossimamente su questi schermi, anzi su questi spoiler.

[fu^2]

ehi ehi di maturandi ce ne sono qui dentro

di quando è questa maturità? non l'ho mai vista, però i problemi mi piacciono assai...

grazie di aver postato il testo, vediam di farli

[ermes*11]

Giuro che se la seconda prova assomiglierà alla simulazione postata da Piera maledirò il giorno in cui ho scelto di prendere il liceo scientifico.

[Sk_Anonymous]

Dimostrare geometricamente che un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo dei segmenti che il punto di contatto del cerchio inscritto determina sull’ipotenusa

Per il quesito n°2 del questionario (da risolvere per pura via geometrica) propongo la
seguente dimostrazione.
Siano:
ABC il triangolo;M,N,P i punti di contatto dei lati con la circonf.inscritta
ed O il centro di quest'ultima.Si costruisca ,poi,il rettangolo ABDC e si prolunghino
ON e OP i modo da individuare altri punti come indicato in figura.
Esaminando la fig., risulta:
(1) OH=BP=BM;OF=CN=CM
(2) I triangoli BHE ed EMO sono congruenti (facile da dimostrare) e quindi anche equiestesi
Analogamente per i triangoli OMG e CFG
Cio' posto,indicando con le parentesi tonde l'estensione di una figura piana ,si ha:
(ABC)=(APON)+[(BPOE)+(EMO)]+[(OGCN)+(OMG)]
E per le (2):
(ABC)=(APON)+[(BPOE)+(BHE)]+[(OGCN)+(CFG)]
Ovvero:
(3) (ABC)=(APON)+(BHOP)+(OFCN)
Ora e' :
(4) (ABDC)=[(APON)+(BHOP)+(OFCN)]+(HDFO)
Tenuto conto della (3) e del fatto che (ABDC)=2(ABC) ,la (4) si puo' anche scrivere così:
2(ABC)=(ABC)+(HDFO) da cui
(ABC)=(HDFO),oppure:
(ABC) =OH*OF e quindi per le (1):
(ABC)=BM*CM
C.V.D.
karl

[Piera4]

Bene Karl! Hai risolto il problema più difficile!
Nel libro delle scuole superiori dove l'ho preso,
viene detto, come suggerimento, di costruire proprio la tua figura.

Adesso in carrellata arrivano gli ultimi tre quesiti.

[Piera4]

9) Sia f una funzione definita e continua per ogni x reale tale che
$int_0^xf(t)dt=int_x^1t^2*f(t)dt+x^16/8+x^18/9+c$
Determinare f e il valore della costante c.

Ricordiamo che per il teorema di Torricelli-Barrow
la derivata di $int_a^xg(t)dt$ è $g(x)$, in pratica basta sostituire alla funzione
integranda $t$ con $x$.
Inolltre, è bene ricordare che $int_a^bf(x)dx=-int_b^af(x)dx$.
Da qualt'ultima proprietà segue che $int_x^1t^2*f(t)dt=-int_1^xt^2*f(t)dt$.
Pertanto
$int_0^xf(t)dt=-int_1^xt^2*f(t)dt+x^16/8+x^18/9+c$,
derivando membro a membro, in virtù del teorema di Torricelli-Barrow si ha
$f(x)=-x^2f(x)+2x^15+2x^17$,
da cui si ricava
$f(x)=2x^15$.
Sostituendo tale valore nell'equazione iniziale si ha
$int_0^x2t^15dt=int_x^1t^2*2t^15dt+x^16/8+x^18/9+c$
e con facili calcoli si ricava $c=-1/9$.

8) Dire se esiste una funzione $f(x)$ continua su $[1,3]$ e derivabile su $(1,3)$ tale che $f(1)=-1$, $f(3)=2$, $f'(x)<=1/2$ per ogni $x in (1,3)$

La risposta è no.
La funzione verifica le ipotesi del teorema di Lagrange, quindi
esiste $c in (1,3)$ tale che
$f'(c)=(f(3)-f(1))/(3-1)=3/2$
contro il fatto che $f'(x)<=1/2$ su $(1,3)$.

4) Dimostrare che $int_0^1x^m(1-x)^ndx=int_0^1x^n(1-x)^mdx$
con $m,n$ interi positivi.

Eseguendo il cambiamento di variabile
$1-x=t$, ovvero $x=1-t$
$dx=-dt$
si ha
$int_0^1x^m(1-x)^ndx=-int_1^0(1-t)^m*t^ndt=int_0^1(1-t)^m*t^ndt=int_0^1(1-x)^m*x^ndx$
nell'ultimo passaggio ho semplicemente cambiato la $t$ con $x$.

[ermes*11]

Piera, quando chiedi di calcolare la f'(g(x)), intendi che bisogna calcolare la derivata completa di f(g(x)), tenendo conto che è anche una composta (per cui sarebbe f'(g(x)) * g'(x) ), oppure semplicemente f'(g(x))?

[Piera4]

$g(x)={(2x^2-2 if x<1),(lnx if x>=1):}$
$f'(x)={(-2x+1 if x<1),(2x-1 if x>1):}$
Quello che si deve fare è determinare la funzione composta
$f'(g(x))={(-2g(x)+1 if g(x)<1),(2g(x)-1 if g(x)>1):}$
Chi mi dice l'espressione che la funzione composta $f'(g(x))$ assume?

[fu^2]

"Piera":$g(x)={(2x^2-2 if x<1),(lnx if x>=1):}$
$f'(x)={(-2x+1 if x<1),(2x-1 if x>1):}$
Quello che si deve fare è determinare la funzione composta
$f'(g(x))={(-2g(x)+1 if g(x)<1),(2g(x)-1 if g(x)>1):}$
Chi mi dice l'espressione che la funzione composta $f'(g(x))$ assume?

$f'(g(x))={(-2(2x^2-2)+1 if g(x)<1),(2(lnx)-1 if g(x)>1):}$

giusto?

[Piera4]

Devi risolvere anche la disequazione $g(x)<1$.
Prova a tracciare il grafico di $g(x)$, dovresti vedere quando $g(x)<1$ e quando $g(x)>1$.
Dovrebbe venire:

$f'(g(x))={(2(2x^2-2)-1 if x<-sqrt6/2),(-2(2x^2-2)-1 if -sqrt6/2e):}$

[fu^2]

a ok nn avevo fatto caso al range da cambiare..
meno male che la vista l'ho fatta su interent e non all'esame