Sfera inscritta in una piramide

[poppilop]

Nella piramide $ABCV$ la faccia $ABC$ è un triangolo rettangolo ove $AB=$, $AC=4$ e $BC=AV$ con $AV$ perpendicolare alla faccia $ABC$. Determinare il raggio della sfera inscritta nella piramide.

Io ho pensato di proiettare la sfera sulla base della piramide e di usare la formula $Rsfera=A/P$ Tuttavia il problema non viene, cosa avrei sbagliato?

[chiaraotta1]

Per favore puoi indicare quale sarebbe il risultato?

[giammaria2]

@ poppilop. Quando la sfera viene proiettata (ortogonalmente) sul piano di base si ottiene una circonferenza che è tangente ad $AB,AC$ ma non a $BC$ e quindi non si può usare quella formula. Ragionare su proiezioni ed intersezioni con piani è complicato ma per fortuna c'è anche un'altra strada.
Se il centro della sfera viene congiunto con gli spigoli della piramide, quest'ultima risulta suddivisa in quattro piramidine, ognuna delle quali ha come base una faccia della piramide e come altezza il raggio della sfera. Sommandone i volumi ottieni la formula
$V=1/3rS$
dove
$V$ = volume della piramide,
$r$ = raggio della sfera inscritta,
$S$ = superficie totale della piramide.
Ti basta quindi calcolare $V,S$ e ne deduci $r$. Attento: nel calcolo di $S$ ricorda che la tua piramide non è retta e quindi devi calcolare l'area delle singole facce.

[Sk_Anonymous]

Penso che la scrittura $ "AB=,AC=4"$ vada intesa come $ "AB=AC=4"$
Se è così allora la risposta dovrebbe essere :
$r={4\sqrt2}/{1+2\sqrt2+\sqrt5}$
C'è anche una seconda soluzione che però ritengo non accettabile.