Serie
Scusate la domanda idiota (forse è meglio se aprissi un topic a parte come Sana) ma coem si fa a capire verso quale valore converge (se converge) una serie numerica? Che procedimento si usa?
Ad esempio verso ke valore converge la serie $1/2+1/4+1/8+1/16....$
GRAZIE CIAO
Ad esempio verso ke valore converge la serie $1/2+1/4+1/8+1/16....$
GRAZIE CIAO
Risposte
e' una serie geometrica di ragione 1/2. Poiche' 1/2<1, la serie converge.
se infatti q e' la ragione geometrica e il primo termine e' k, si ha
S_n=k*(1-q^(n-1)/(1-q))
da cui si vede che se q<1 la serie converge a
S=k*(1/(1-q))
in questo caso
k=1 e q=1/2
quindi la serie converge a 2
ti torna?
se infatti q e' la ragione geometrica e il primo termine e' k, si ha
S_n=k*(1-q^(n-1)/(1-q))
da cui si vede che se q<1 la serie converge a
S=k*(1/(1-q))
in questo caso
k=1 e q=1/2
quindi la serie converge a 2
ti torna?
ooops!
mi era parso che la serie cominciasse da 1...
cominciando da 1/2, devi sottrarre 1
la serie dunque converge a 1
ciao
mi era parso che la serie cominciasse da 1...
cominciando da 1/2, devi sottrarre 1
la serie dunque converge a 1
ciao
Trattasi di una semplice progressione geometrica di ragione $1/2$.
Dunque, ci proponiamo di trovare $sum_(k=1)^infty1/2^k$
Osserviamo che:
$S=1/2+1/4+1/8+...+1/n^2$
$1/2S=1/4+1/8+1/16+...+1/(2n^2)$
Sottraendo membro a membro notiamo che la serie telescopizza. In particolare:
$S(1-1/2)=1/2+1/(2n^2)$
$S=(1/2+1/(2n^2))/(1/2)$ che, per $n to oo$ fa da come risultato $1$.
Dunque, ci proponiamo di trovare $sum_(k=1)^infty1/2^k$
Osserviamo che:
$S=1/2+1/4+1/8+...+1/n^2$
$1/2S=1/4+1/8+1/16+...+1/(2n^2)$
Sottraendo membro a membro notiamo che la serie telescopizza. In particolare:
$S(1-1/2)=1/2+1/(2n^2)$
$S=(1/2+1/(2n^2))/(1/2)$ che, per $n to oo$ fa da come risultato $1$.
grazie a tutti... ho capito
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