Semplificazione di una frazione algebrica
Salve, ho difficoltà a semplificare questa frazione algebrica. Ho bisogno di un aiuto, intanto vi faccio vedere come procedo.
$ ((x+y)^7-x^7-y^7)/((x+y)^5-x^5-y^5) $
$ (x^7+7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y^5+7xy^6+y^7-x^7-y^7)/(x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5-x^5-y^5) $
$ (7xy(x^5+3x^4y+5x^3y^2+5x^2y^3+3xy^4+y^5))/(5xy(x^3+2x^2+2xy^2+y^3)) $
$ (7(x^5+3x^4y+5x^3y^2+5x^2y^3+3xy^4+y^5))/(5(x^3+2x^2+2xy^2+y^3)) $
Da qui in poi sono bloccato
Il risultato che indica il libro è:
$ (7(x^2+xy+y^2))/5 $
$ ((x+y)^7-x^7-y^7)/((x+y)^5-x^5-y^5) $
$ (x^7+7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y^5+7xy^6+y^7-x^7-y^7)/(x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5-x^5-y^5) $
$ (7xy(x^5+3x^4y+5x^3y^2+5x^2y^3+3xy^4+y^5))/(5xy(x^3+2x^2+2xy^2+y^3)) $
$ (7(x^5+3x^4y+5x^3y^2+5x^2y^3+3xy^4+y^5))/(5(x^3+2x^2+2xy^2+y^3)) $
Da qui in poi sono bloccato
Il risultato che indica il libro è:
$ (7(x^2+xy+y^2))/5 $
Risposte
Procedendo in modo brutale.
1) Hai sbagliato a raccogliere il denominatore. Controlla meglio: hai perso una $y$ per strada.
2) Corretto l'errore, procedi con la normale divisione fra due polinomi e vedrai una magia
1) Hai sbagliato a raccogliere il denominatore. Controlla meglio: hai perso una $y$ per strada.
2) Corretto l'errore, procedi con la normale divisione fra due polinomi e vedrai una magia
"Vidocq":
Procedendo in modo brutale.
1) Hai sbagliato a raccogliere il denominatore. Controlla meglio: hai perso una $ y $ per strada.
2) Corretto l'errore, procedi con la normale divisione fra due polinomi e vedrai una magia
Si, hai ragione. Me la sono persa per distrazione.
$ (7xy(x^5+3x^4y+5x^3y^2+5x^2y^3+3xy^4+y^5))/(5xy(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3)) $
$ (7(x^5+3x^4y+5x^3y^2+5x^2y^3+3xy^4+y^5))/(5(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3)) $
Mi dispiace ma arrivato fin qui non riesco ad andare avanti.
Dopo questo consiglio:
e' abbastanza grave leggere questa risposta:
Ad ogni modo, leggi qui.
"Vidocq":
2) Corretto l'errore, procedi con la normale divisione fra due polinomi e vedrai una magia
e' abbastanza grave leggere questa risposta:
"MuadDibb":
Mi dispiace ma arrivato fin qui non riesco ad andare avanti.
Ad ogni modo, leggi qui.
Giusto! Il risultato della divisione tra polinomi è $ x^2+xy+y^2 $
Non ci avevo proprio pensato, ero concentrato a raccogliere i fattori comuni o a trovare prodotti notevoli.
Grazie
Per caso sai come posso scrivere una divisione tra polinomi con l'editor? Ho cercato di farlo, ma non ci sono riuscito.
Non ci avevo proprio pensato, ero concentrato a raccogliere i fattori comuni o a trovare prodotti notevoli.
Grazie
Per caso sai come posso scrivere una divisione tra polinomi con l'editor? Ho cercato di farlo, ma non ci sono riuscito.
No.
@MuadDibb
Perché dovresti scrivere la divisione qui? Il senso del post di Vidocq era quello di "farla" la divisione non di mostrarcela
L'importante è che ti sia venuta giusta. Basta quello …
Perché dovresti scrivere la divisione qui? Il senso del post di Vidocq era quello di "farla" la divisione non di mostrarcela
L'importante è che ti sia venuta giusta. Basta quello …
Io l'ho risolto senza fare la divisione.
A numeratore e a denominatore ho considerato la scomposizione della somma di due potenze dispari
$x^n+y^n = (x+y)(x^(n-1)-x^(n-2)*y+x^(n-3)*y^2- ... +y^(n-1))$, perciò
$ ((x+y)^7-x^7-y^7)/((x+y)^5-x^5-y^5) = $ dopo un paio di passaggi ottengo
$= (7xy(x+y)*(x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4))/(5xy(x+y)*(x^2+xy+y^2))=$ dopo aver semplificato
$= (7(x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4))/(5(x^2+xy+y^2))=$ osservo che il numeratore è un quadrato di trinomio, precisamente
$= (7(x^2+xy+y^2)^2)/(5(x^2+xy+y^2)) = (7(x^2+xy+y^2))/5$
A numeratore e a denominatore ho considerato la scomposizione della somma di due potenze dispari
$x^n+y^n = (x+y)(x^(n-1)-x^(n-2)*y+x^(n-3)*y^2- ... +y^(n-1))$, perciò
$ ((x+y)^7-x^7-y^7)/((x+y)^5-x^5-y^5) = $ dopo un paio di passaggi ottengo
$= (7xy(x+y)*(x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4))/(5xy(x+y)*(x^2+xy+y^2))=$ dopo aver semplificato
$= (7(x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4))/(5(x^2+xy+y^2))=$ osservo che il numeratore è un quadrato di trinomio, precisamente
$= (7(x^2+xy+y^2)^2)/(5(x^2+xy+y^2)) = (7(x^2+xy+y^2))/5$
Si', se ha studiato quel prodotto notevole potrebbe procedere anche in questo modo 
Con la divisione, in questo caso particolare, dovrebbe fare prima (in termini di passaggi).
Con la divisione, in questo caso particolare, dovrebbe fare prima (in termini di passaggi).
Grazie per avermi risposto @melia!
Non lo sapevo.
Perfetto, grazie mille!
"@melia":
Io l'ho risolto senza fare la divisione.
A numeratore e a denominatore ho considerato la scomposizione della somma di due potenze dispari
$ x^n+y^n = (x+y)(x^(n-1)-x^(n-2)*y+x^(n-3)*y^2- ... +y^(n-1)) $, perciò
Non lo sapevo.
$ ((x+y)^7-x^7-y^7)/((x+y)^5-x^5-y^5) = $ dopo un paio di passaggi ottengo
$ = (7xy(x+y)*(x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4))/(5xy(x+y)*(x^2+xy+y^2))= $ dopo aver semplificato
$ = (7(x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4))/(5(x^2+xy+y^2))= $ osservo che il numeratore è un quadrato di trinomio, precisamente
$ = (7(x^2+xy+y^2)^2)/(5(x^2+xy+y^2)) = (7(x^2+xy+y^2))/5 $
Perfetto, grazie mille!
"MuadDibb":
Grazie per avermi risposto @melia!
[quote="@melia"]Io l'ho risolto senza fare la divisione.
A numeratore e a denominatore ho considerato la scomposizione della somma di due potenze dispari
$ x^n+y^n = (x+y)(x^(n-1)-x^(n-2)*y+x^(n-3)*y^2- ... +y^(n-1)) $, perciò
Non lo sapevo.
[/quote]
Questa scomposizione, purtroppo, si fa dopo il teorema e la regola di Ruffini, che sono fondamentali per la dimostrazione, così si perde nei tecnicismi delle divisioni tra polinomi e gli studenti non la ricordano mai come una tecnica di scomposizione.
Io la scomposizione con Ruffini la so fare, però sinceramente non ci avevo pensato.
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