Semplici integrali
Semplici si, ma non mi vengono 
Allora, cominciamo con il primo:
$\int_0^(pi/2) (senxcosx)/(1+cos^4x)dx$
Calcoliamo prima l' integrale indefinito
$\int(senxcosx)/(1+cos^4x)dx$
pongo $u=cosx$
e ottengo
$\int u/(1+u^4)du$
e poi non so come andare avanti!!
Invece con
$\int (x+2)/(sqrt(1-x^2))$
non so dove sbattere la testa, che oltretutto mi fa già male
Allora, cominciamo con il primo:
$\int_0^(pi/2) (senxcosx)/(1+cos^4x)dx$
Calcoliamo prima l' integrale indefinito
$\int(senxcosx)/(1+cos^4x)dx$
pongo $u=cosx$
e ottengo
$\int u/(1+u^4)du$
e poi non so come andare avanti!!
Invece con
$\int (x+2)/(sqrt(1-x^2))$
non so dove sbattere la testa, che oltretutto mi fa già male
Risposte
Scusami, ma fai il terzo anno di liceo e già ti diletti con gli integrali definiti?
Va beh, buon per te se hai capito bene tutto...
Comunque, il secondo non è malvagio da calcolare:
$int (x+2)/sqrt(1-x^2) dx = int x*(1-x^2)^(-1/2) dx + int 2/sqrt(1-x^2) dx =$
$=-1/2int (-2x*(1-x^2)^(-1/2))dx + 2arcsinx + C = -1/2*((1-x^2)^(1/2))/(1/2) + 2arcsinx + C = -sqrt(1-x^2) + 2arcsinx+C$
Salvo errori.
Va beh, buon per te se hai capito bene tutto...
Comunque, il secondo non è malvagio da calcolare:
$int (x+2)/sqrt(1-x^2) dx = int x*(1-x^2)^(-1/2) dx + int 2/sqrt(1-x^2) dx =$
$=-1/2int (-2x*(1-x^2)^(-1/2))dx + 2arcsinx + C = -1/2*((1-x^2)^(1/2))/(1/2) + 2arcsinx + C = -sqrt(1-x^2) + 2arcsinx+C$
Salvo errori.
Per il primo, ti faccio notare che $sinxcosx=-1/2d/dxcos^2x$, per cui:
$int (sinxcosx)/(1+cos^4x) dx = -1/2int (d(cos^2x))/(1+(cos^2x)^2) = -1/2arctg(cos^2x) + C$
Una primitiva di questa funzione è proprio un omaggio alla composizione di funzioni!
$int (sinxcosx)/(1+cos^4x) dx = -1/2int (d(cos^2x))/(1+(cos^2x)^2) = -1/2arctg(cos^2x) + C$
Una primitiva di questa funzione è proprio un omaggio alla composizione di funzioni!
"eafkuor":
pongo $u=cosx$
e ottengo
$\int u/(1+u^4)du$
e poi non so come andare avanti!!
Ti faccio anche notare che non puoi fare una cosa del genere!
Non puoi porre il coseno, che non è una funzione globalmente
invertibile, uguale a una funzione invertibile come u ... !
"fireball":
[quote="eafkuor"]
pongo $u=cosx$
e ottengo
$\int u/(1+u^4)du$
e poi non so come andare avanti!!
Ti faccio anche notare che non puoi fare una cosa del genere!
Non puoi porre il coseno, che non è una funzione globalmente
invertibile, uguale a una funzione invertibile come u ... ![/quote]
Bhè, io ho fatto così perchè quegli esercizi erano sulla formula
dell' integrazione per sostituzione ($\int f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int f(u)du$ con
$u=g(x)$).
Alcuni integrali più semplici mi vengono, come $\int cosx e^(2senx)dx$,
ma su altri come $\int logx/(x(1+logx))dx$ ad un certo punto mi blocco.
La teoria è quasi banale, la pratica è quella che ti frega
Comunque ora mi leggo per benino le tue risposte e poi ti dico
"fireball":
Per il primo, ti faccio notare che $sinxcosx=-1/2d/dxcos^2x$
Scusa, ma cosa è quel $d/dx$?
$d/dx$ è l'operatore di derivazione.
Quanto a $int (logx)/(x(1+logx)) dx$,
vai tranquillo con $logx=t$ !
Quanto a $int (logx)/(x(1+logx)) dx$,
vai tranquillo con $logx=t$ !
$\int logx/(x(1+logx))=\int t/(1+t)$ con $t=logx$
diventa
$\int ((t+1)/(t+1)-1/(t+1))dt=\int (t+1)/(t+1)dt - \int 1/(t+1)dt=x-\int1/(t+1)dt=t-log(t+1)=logx-log(logx+1)$
ok che casini ho combinato?
diventa
$\int ((t+1)/(t+1)-1/(t+1))dt=\int (t+1)/(t+1)dt - \int 1/(t+1)dt=x-\int1/(t+1)dt=t-log(t+1)=logx-log(logx+1)$
ok che casini ho combinato?
Solo uno: non capisco perché hai scritto C al posto di t !
"fireball":
Solo uno: non capisco perché hai scritto C al posto di t !
Perchè sono totalmente bevuto
Comunque fare integrali è più soddisfacente che risolvere problemi di massimo e minimo!
Anche a me i problemi di massimo e minimo piacciono tantissimo. Tutta l'Analisi Matematica è bellissima!
Comunque gli svolgimenti degli integrali che non avevo risolto mi sono chiari, anche se io non li avrei mai fatti
In particolare stavo cercando di risolverli per sostituzione..
Ah, GRAZIE
In particolare stavo cercando di risolverli per sostituzione..
Ah, GRAZIE
Di nulla figurati! 
Ho fatto tutti gli esercizi che stanno sul libro e mi vengono, tranne il primo di quelli risolti da te! In particolare, dove è che ho dimenticato il meno? 
$\int (x+2)/(sqrt(1-x^2))=\int x/(sqrt(1-x^2)) + \int 2/(sqrt(1-x^2))=\int ((1/2)(2)(x))/(sqrt(1-x^2)) + 2arcsenx = 1/2\int du(1-u)^(-1/2) + 2arcsenx=sqrt(1-u)+2arcsenx=sqrt(1-x^2)+2arcsenx$
(ho fatto la sostituzione $u=x^2$)
$\int (x+2)/(sqrt(1-x^2))=\int x/(sqrt(1-x^2)) + \int 2/(sqrt(1-x^2))=\int ((1/2)(2)(x))/(sqrt(1-x^2)) + 2arcsenx = 1/2\int du(1-u)^(-1/2) + 2arcsenx=sqrt(1-u)+2arcsenx=sqrt(1-x^2)+2arcsenx$
(ho fatto la sostituzione $u=x^2$)
Suggerimento: prova a derivare $sqrt(1-u)$...
"eafkuor":
(ho fatto la sostituzione $u=x^2$)
Ma NON lo puoi fare!!! Stiamo parlando di primitive,
non di integrali definiti su un intervallo (ammesso
che questi ultimi consentano di fare questa sostituzione)!
La funzione che poni uguale a u dev'essere GLOBALMENTE
invertibile, e $x^2$ è invertibile SOLO per $x>=0$ !
Per fortuna che la teoria era quasi banale...
Sostituzioni di questo tipo le puoi fare magari nel caso
di integrali definiti in un intervallo, nel quale
la funzione che vuoi porre uguale a u sia invertibile,
ma non in altri casi! Ok?
"fireball":
[quote="eafkuor"]
(ho fatto la sostituzione $u=x^2$)
Ma NON lo puoi fare!!! Stiamo parlando di primitive,
non di integrali definiti su un intervallo (ammesso
che questi ultimi consentano di fare questa sostituzione)!
La funzione che poni uguale a u dev'essere GLOBALMENTE
invertibile, e $x^2$ è invertibile SOLO per $x>=0$ !
Per fortuna che la teoria era quasi banale...
Sostituzioni di questo tipo le puoi fare magari nel caso
di integrali definiti in un intervallo, nel quale
la funzione che vuoi porre uguale a u sia invertibile,
ma non in altri casi! Ok?[/quote]
Fireball a noi al corso di calcolo integrale del primo anno universitario ce la fanno passare questa imperfezione perchè alla fine noti che il risultato torna ugualmente... forse questo vale anche per loro.
"lore":
Suggerimento: prova a derivare $sqrt(1-u)$...
per lore: si hai ragione, viene $-(1/(2sqrt(1-u)))$, ora mi torna
per fireball: forse mi era sfuggito il fatto che la funzione dovesse essere globalmente invertibile, comunque mi sembra di non averlo letto sul libro. In ogni caso non ci avevo neanche pensato
"lore":
Fireball a noi al corso di calcolo integrale del primo anno universitario ce la fanno passare questa imperfezione perchè alla fine noti che il risultato torna ugualmente... forse questo vale anche per loro.
A quanto ho capito eafkuor fa il terzo liceo e sta studiando Analisi per conto suo (sul Giusti, vero?).
Resta comunque il fatto che non è corretto... Poi se vi hanno fatto passare
questa "imperfezione", buon per voi...
Comunque è proprio l'invertibilità la condizione più pesante sul metodo
di sostituzione, e mi sembra impossibile che il Giusti non ne parli.
"fireball":
[quote="lore"]
Fireball a noi al corso di calcolo integrale del primo anno universitario ce la fanno passare questa imperfezione perchè alla fine noti che il risultato torna ugualmente... forse questo vale anche per loro.
A quanto ho capito eafkuor fa il terzo liceo e sta studiando Analisi per conto suo (sul Giusti, vero?).
Resta comunque il fatto che non è corretto... Poi se vi hanno fatto passare
questa "imperfezione", buon per voi...
Comunque è proprio l'invertibilità la condizione più pesante sul metodo
di sostituzione, e mi sembra impossibile che il Giusti non ne parli.[/quote]
Esattamente, sto studiando sul Giusti, che è molto chiaro e semplice.
Per ora non ha parlato dell' invertibilità della funzione, ma non ho ancora finito il capitolo sugli integrali, magari lo dirà dopo
Addirittura nel risolvere l' esempio $\int_0^(pi/4) (senx)/(cos^3x)dx$ pone $u=cosx$
Certo, infatti in questo caso la sostituzione $u=cosx$ è lecita,
dato che l'integrale è definito su $[0,pi/4]$ e in tale
intervallo il coseno è invertibilissimo!
dato che l'integrale è definito su $[0,pi/4]$ e in tale
intervallo il coseno è invertibilissimo!
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