Semplici integrali

[eafkuor1]

Semplici si, ma non mi vengono

Allora, cominciamo con il primo:

$\int_0^(pi/2) (senxcosx)/(1+cos^4x)dx$

Calcoliamo prima l' integrale indefinito

$\int(senxcosx)/(1+cos^4x)dx$

pongo $u=cosx$

e ottengo

$\int u/(1+u^4)du$

e poi non so come andare avanti!!

Invece con

$\int (x+2)/(sqrt(1-x^2))$

non so dove sbattere la testa, che oltretutto mi fa già male

[eafkuor1]

Va bene, sta di fatto che per adesso non ne parla

[fireball1]

Vai a pagina 342, paragrafo 9.9 ...

[eafkuor1]

Infatti lì non ci sono ancora arrivato
Sono arrivato a pag. 331, ma non ho iniziato il paragrafo 9.7

E poi che motivo c'è di spazientirsi?

[fireball1]

Non mi sono affatto spazientito...
Ma il fatto che questa condizione sul
metodo di sostituzione non venga spiegata
sin da subito potrebbe indurti a fare
errori come quello di porre $x^2=t$
o $cosx=t$ nel calcolo di integrali indefiniti!
Ricordati che questi tipi di sostituzione li
puoi fare SOLO quando gli integrali
sono definiti su un qualche intervallo,
e SOLO se la funzione che poni uguale a t ($sinx$, $x^2$ etc.)
è invertibile nell'intervallo di integrazione.

[eafkuor1]

Ok, ti ringrazio

[Thomas16]

"fireball":[quote="eafkuor"]
(ho fatto la sostituzione $u=x^2$)

Ma NON lo puoi fare!!! Stiamo parlando di primitive,
non di integrali definiti su un intervallo (ammesso
che questi ultimi consentano di fare questa sostituzione)!
La funzione che poni uguale a u dev'essere GLOBALMENTE
invertibile, e $x^2$ è invertibile SOLO per $x>=0$ !
Per fortuna che la teoria era quasi banale...

Sostituzioni di questo tipo le puoi fare magari nel caso
di integrali definiti in un intervallo, nel quale
la funzione che vuoi porre uguale a u sia invertibile,
ma non in altri casi! Ok?[/quote]

Vorrei provare a dire la mia, che è alquanto diversa dalla versione sopra (in particolare mi sembra che quanto ha fatto eafkuor sia corretto, quindi riportatemi sulla retta via... per favore )... ora che sto studiando queste cose... Per quanto ho capito stamattina la tesi del teorema di cambiamento di variabile è (copio da un libro):

[FORMA 1]
$\int_u^(v) f(\phi (x)) \phi'(x) dx$ =$\int_(\phi(u))^(\phi(v)) f(t)dt$

ma, ancora più importanti sono le ipotesi:

- $\phi$ derivabile (ed in particolare continua, ed in particolare definita su dove stiamo lavorando);
- $f$ continua;

La formula del teorema si può anche riscrivere in casi particolari (vedi esempio 2):

[FORMA 2]
$\int_(p)^(q) f(x)dx=\int_(\phi^(-1)(p))^(\phi^(-1)(q)) f(\phi(t)) \phi'(t) dx$

che vale PER OGNI $\phi^(-1)(q)$ e per ogni $\phi^(-1)(p)$, se nel caso se ne trovasse più di uno....

[esempio FORMA 1] [x è la variabile (muta) di integrazione]
Per esempio nel caso di $u=x^2$ (uscito nei post sopra) si ha $\phi(x)=x^2$, che è derivabile. Poi se la x varia da -2 a 3, i nuovi estremi saranno
4 e 9, senza problemi, no? ed anche $u=cosx$, ed in generale tutte le sostituzione $h(x)=u$ sono lecite

[esempio FORMA 2]
Se invece volessimo fare sostituzioni del tipo $x=sen(t)$, generalizzando $x=h(t)$, (x è la variabile di integrazione), si deve stare attenti al fatto che esista almeno un t che possa essere trovato per ogni x], ovvero x può variare tra 0 ed 1 nell'esempio ed i nuovi estremi potranno essere 0 e $(\pi)/2$, oppure $\pi$ e $4/3\pi$. Poi il controllo per continuità può essere fatto solo sugli estremi degli intervalli.

Nel caso di integrali indefiniti, non credo cambi nulla.... basta che le condizioni siano verificate per ogni coppia di estremi...

Ok.... lascio il tutto così.... rileggo in seguito quanto ho scritto.... così lo capisco anche