Semplice quesito
ho un semplicissimo quesito da porvi, del quale però per qualche strana ragione (probabilmente perchè mi manca un po' di esercizio dopo la lunga estate e non riesco a ritrovare il ragionamento logico per arrivare ad una soluzione che mi sembri corretta) non riesco a trovare risposta:
Sia S la famiglia di curve di equazione $(1-a)x^2+(3a-1)y^2+2ax+8a-4=0$
per quali valori di $ a $ tale equazione rappresenta:
-una retta;
-un'iperbole;
-un'ellisse;
-una parabola.
e perchè?
qualcuno mi può illuminare?
grazie!
Sia S la famiglia di curve di equazione $(1-a)x^2+(3a-1)y^2+2ax+8a-4=0$
per quali valori di $ a $ tale equazione rappresenta:
-una retta;
-un'iperbole;
-un'ellisse;
-una parabola.
e perchè?
qualcuno mi può illuminare?
grazie!
Risposte
"claudia f.":
ho un semplicissimo quesito da porvi, del quale però per qualche strana ragione (probabilmente perchè mi manca un po' di esercizio dopo la lunga estate e non riesco a ritrovare il ragionamento logico per arrivare ad una soluzione che mi sembri corretta) non riesco a trovare risposta:
Sia S la famiglia di curve di equazione $(1-a)x^2+(3a-1)y^2+2ax+8a-4=0$
per quali valori di $ a $ tale equazione rappresenta:
-una retta;
-un'iperbole;
-un'ellisse;
-una parabola.
e perchè?
qualcuno mi può illuminare?
grazie!
1)Per essere una retta i coefficienti in $x^2,y^2$ non devono esserci e deve essere presente il fattore $2ax$ per cui $a!=0$, per cui va imposto il sistema ${(1-a=0),(3a-1=0),(a!=0):}$ che non fornisce alcuna soluzione perchè $a=1$ non soddisfa $3a-1=0$ ed $a=1/3$ non soddisfa $1-a=0$. Quindi non esistono valori di $a$ per cui si ha una retta
per essere una prabola deve essere del tipo:
$y=kx^2+wx+z$
oppure
$x=my^2+ny+p$
$y=kx^2+wx+z$
oppure
$x=my^2+ny+p$
"nicola de rosa":
1)Per essere una retta i coefficienti in $x^2,y^2$ non devono esserci e deve essere presente il fattore $2ax$ per cui $a!=0$, per cui va imposto il sistema ${(1-a=0),(3a-1=0),(a!=0):}$ che non fornisce alcuna soluzione perchè $a=1$ non soddisfa $3a-1=0$ ed $a=1/3$ non soddisfa $1-a=0$. Quindi non esistono valori di $a$ per cui si ha una retta
Esatto. Stesso ragionamento che avevo fatto io; ma mi ero detta: come la mettiamo con le curve degeneri??
Per l'ellisse e l'iperbole invece vuoto totale anche avendo accanto la loro equazione canonica.
Per la parabola invece una mezza idea ce l'ho già.
allora fatti una tabellina dove riporti, per ogni intervallo significativo di a, l'espressione corrispondenteche trovi sostituendo quella a nella equa. generale del problema.
"codino75":
allora fatti una tabellina dove riporti, per ogni intervallo significativo di a, l'espressione corrispondenteche trovi sostituendo quella a nella equa. generale del problema.
Mi sembra alquanto lungo e laborioso come metodo...
Dici che è l'unico?
allora per la parabola
unica equazione generale che in questo caso posso utilizzare: $x=ay^2+by+c$
quindi il termine che contiene $x^2$ nell'equazione generale deve annullarsi
per cui $1-a=0$
da cui si ricava semplicemente $a=1$
ora mi rimangono solamente l'iperbole e l'ellisse che hanno equazione molto simile, per cui risolta una lo è anche l'altra...
unica equazione generale che in questo caso posso utilizzare: $x=ay^2+by+c$
quindi il termine che contiene $x^2$ nell'equazione generale deve annullarsi
per cui $1-a=0$
da cui si ricava semplicemente $a=1$
ora mi rimangono solamente l'iperbole e l'ellisse che hanno equazione molto simile, per cui risolta una lo è anche l'altra...
"claudia f.":
[quote="codino75"]allora fatti una tabellina dove riporti, per ogni intervallo significativo di a, l'espressione corrispondenteche trovi sostituendo quella a nella equa. generale del problema.
Mi sembra alquanto lungo e laborioso come metodo...
Dici che è l'unico?[/quote]
non mi sembra ne' lungo ne' laborioso...
"codino75":
[quote="claudia f."][quote="codino75"]allora fatti una tabellina dove riporti, per ogni intervallo significativo di a, l'espressione corrispondenteche trovi sostituendo quella a nella equa. generale del problema.
Mi sembra alquanto lungo e laborioso come metodo...
Dici che è l'unico?[/quote]
non mi sembra ne' lungo ne' laborioso...
[/quote]..allora forse ho immaginato male
Ma mettiamo il caso che non esista alcun valore di $a$ per il quale l'equazione generale rappresenti o un'ellisse o un'iperbole come faccio ad accorgermene?
C'è un metodo generale per stabilire la natura di una conica, non so se lo conosci, comunque per "amor di conoscenza" te lo espongo 
Se hai una equazione di secondo grado in x e y del tipo $ax^2+by^2+2cxy+2dx+2ey+f=0$ costruisci la seguente matrice simmetrica:
$((f,d,e),(d,a,c),(e,c,b))$
La conica è degenere se e solo se il determinante di questa matrice è zero, ovvero se e solo se
$fab+2dce-e^2a-d^2b-fc^2=0$
In caso contrario, la conica è una parabola se e solo se $c^2=ab$, è un'iperbole se e solo se $ab-c^2<0$, è un'ellisse se e solo se $ab-c^2>0$.
Nel tuo caso, chiamando k il tuo parametro a, hai $(1-k)x^2+(3k-1)y^2+2kx+8k-4=0$. Quindi $a=1-k$, $b=3k-1$, $c=0$, $d=k$, $e=0$, $f=8k-4$.
Il determinante risulta $-(3k-2)^2(3k-1)$, quindi la conica è degenere se e solo se $k=1/3$ oppure $k=2/3$.
Se $k \ne 1/3$ e $k \ne 2/3$ allora:
- La conica è una parabola se e solo se $(1-k)(3k-1)=0$, ovvero $k=1$ (avendo escluso il valore $1/3$)
- La conica è una iperbole se e solo se $(1-k)(3k-1)<0$, ovvero $k<1/3$ oppure $k>1$,
- la conica è una ellisse se e solo se $(1-k)(3k-1)>0$, ovvero $1/3 < k < 1$, tolto il valore $k=2/3$ che genera una curva degenere.
Chiusa parentesi
Se hai una equazione di secondo grado in x e y del tipo $ax^2+by^2+2cxy+2dx+2ey+f=0$ costruisci la seguente matrice simmetrica:
$((f,d,e),(d,a,c),(e,c,b))$
La conica è degenere se e solo se il determinante di questa matrice è zero, ovvero se e solo se
$fab+2dce-e^2a-d^2b-fc^2=0$
In caso contrario, la conica è una parabola se e solo se $c^2=ab$, è un'iperbole se e solo se $ab-c^2<0$, è un'ellisse se e solo se $ab-c^2>0$.
Nel tuo caso, chiamando k il tuo parametro a, hai $(1-k)x^2+(3k-1)y^2+2kx+8k-4=0$. Quindi $a=1-k$, $b=3k-1$, $c=0$, $d=k$, $e=0$, $f=8k-4$.
Il determinante risulta $-(3k-2)^2(3k-1)$, quindi la conica è degenere se e solo se $k=1/3$ oppure $k=2/3$.
Se $k \ne 1/3$ e $k \ne 2/3$ allora:
- La conica è una parabola se e solo se $(1-k)(3k-1)=0$, ovvero $k=1$ (avendo escluso il valore $1/3$)
- La conica è una iperbole se e solo se $(1-k)(3k-1)<0$, ovvero $k<1/3$ oppure $k>1$,
- la conica è una ellisse se e solo se $(1-k)(3k-1)>0$, ovvero $1/3 < k < 1$, tolto il valore $k=2/3$ che genera una curva degenere.
Chiusa parentesi
l'equazione dell'iperbole non mi sovviene...
martino..che dire..grazie davvero 
non mi hanno mai insegnato a lavorare con le matrici, ma ora mi do da fare, apro il libro e imparo da sola perchè questo metodo mi incuriosisce e altrimenti non vedo altra soluzione per risolvere il mio problema.
E poi..se non capisco come funzionano anche la tua spiegazione non la comprendo del tutto!
L'equazione generale di un'iperbole è $x^2/a-y^2/b=1$
non mi hanno mai insegnato a lavorare con le matrici, ma ora mi do da fare, apro il libro e imparo da sola perchè questo metodo mi incuriosisce e altrimenti non vedo altra soluzione per risolvere il mio problema.
E poi..se non capisco come funzionano anche la tua spiegazione non la comprendo del tutto!
L'equazione generale di un'iperbole è $x^2/a-y^2/b=1$
"claudia f.":
martino..che dire..grazie davvero
non mi hanno mai insegnato a lavorare con le matrici, ma ora mi do da fare, apro il libro e imparo da sola perchè questo metodo mi incuriosisce e altrimenti non vedo altra soluzione per risolvere il mio problema.
E poi..se non capisco come funzionano anche la tua spiegazione non servirebbe a molto!
Il problema è che alle superiori questo metodo non lo conoscevo... e in effetti io sarei restio ad applicarlo se non sapessi da dove viene...
D'altra parte, è l'unico metodo serio che conosco. Gli altri che conosco sono di natura empirica.
"Martino":
[quote="claudia f."]martino..che dire..grazie davvero
non mi hanno mai insegnato a lavorare con le matrici, ma ora mi do da fare, apro il libro e imparo da sola perchè questo metodo mi incuriosisce e altrimenti non vedo altra soluzione per risolvere il mio problema.
E poi..se non capisco come funzionano anche la tua spiegazione non servirebbe a molto!
Il problema è che alle superiori questo metodo non lo conoscevo... e in effetti io sarei restio ad applicarlo se non sapessi da dove viene...
D'altra parte, è l'unico metodo serio che conosco. Gli altri che conosco sono di natura empirica.[/quote]
E oltre che serio mi sembra anche semplice e veloce.
Visto che hai detto che non lo applicheresti se non sapessi da dove viene, hai tempo e voglia per dirmi in due parole la sua origine?
Sì certo, ma proprio due parole (non c'è abbastanza spazio per parlarne approfonditamente 
)
Io l'ho studiato nel corso di geometria proiettiva. Sarebbe troppo difficile entrare nei dettagli "sul serio", comunque il procedimento è questo: si pensa il piano cartesiano usuale immerso in qualcosa di più generale, il piano proiettivo. Qui si fa corrispondere una conica ad una "forma quadratica" omogeneizzando le coordinate, e una forma quadratica a una "forma bilineare simmetrica" vedendo così i punti della conica come "vettori isotropi". La forma bilineare simmetrica si può scrivere con una opportuna matrice (quella che ti ho scritto prima nel tuo caso) e questa matrice contiene diverse informazioni sulla conica in questione (quelle che ti ho scritto prima nel tuo caso
).
Scusa, ma oltre questo si entra nel tecnico (come se non ci fossi già entrato con tutti quei termini a te, credo, sconosciuti
).
Ciao ciao.
)Io l'ho studiato nel corso di geometria proiettiva. Sarebbe troppo difficile entrare nei dettagli "sul serio", comunque il procedimento è questo: si pensa il piano cartesiano usuale immerso in qualcosa di più generale, il piano proiettivo. Qui si fa corrispondere una conica ad una "forma quadratica" omogeneizzando le coordinate, e una forma quadratica a una "forma bilineare simmetrica" vedendo così i punti della conica come "vettori isotropi". La forma bilineare simmetrica si può scrivere con una opportuna matrice (quella che ti ho scritto prima nel tuo caso) e questa matrice contiene diverse informazioni sulla conica in questione (quelle che ti ho scritto prima nel tuo caso
).Scusa, ma oltre questo si entra nel tecnico (come se non ci fossi già entrato con tutti quei termini a te, credo, sconosciuti
). Ciao ciao.
si , in effetti faccio un pò di fatica ad immaginare tutto ciò, però qualcosa di più ho capito e ti ringrazio di nuovo.
Nel caso volessi esercitarti su esercizi simili a quello da te proposto, qui nel sito ne ce ne sono alcuni con la soluzione passo passo.
E' utile se vuoi cimentarti e all'inizio non riesci. Giusto per uscire dal torpore estivo.
https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... index.html
E' utile se vuoi cimentarti e all'inizio non riesci. Giusto per uscire dal torpore estivo.
https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... index.html
Mi sono accorto di aver scambiato qualche lettera nell'intervento in cui ho scritto la matrice.
Ora ho corretto.
Ciao
Ora ho corretto.
Ciao
"+Steven+":
Nel caso volessi esercitarti su esercizi simili a quello da te proposto, qui nel sito ne ce ne sono alcuni con la soluzione passo passo.
E' utile se vuoi cimentarti e all'inizio non riesci. Giusto per uscire dal torpore estivo.
https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... index.html
grazie ! e' proprio quello di cui avevo bisogno!
..peccato che l'esercizio riguardante lo studio di un fascio di curve manchi proprio dei casi dell'iperbole e dell'ellisse, ovvero quelli sui quali avevo problemi io...vabbè,fa niente...
"Martino":
Mi sono accorto di aver scambiato qualche lettera nell'intervento in cui ho scritto la matrice.
Ora ho corretto.
Ciao
Infatti rileggendolo mi sembrava ci fosse qualcosa di strano, ovvero non riuscivo a seguire tutti i passaggi; ora va meglio!
Non vorrei dire scemenze, ma credo che nell'ellisse i coefficienti dei termini al quadrato siano concordi tra di loro.
Il contrario nell'iperbole.
Perciò, se quanto dico è vero, la condizione da imporre per ottenere un'ellisse è
${(1-a>0),(3a-1>0):}$
Ea anche il caso in cui entrambi sono negativi.
Il contrario nell'iperbole.
Perciò, se quanto dico è vero, la condizione da imporre per ottenere un'ellisse è
${(1-a>0),(3a-1>0):}$
Ea anche il caso in cui entrambi sono negativi.
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