Scrivere l'equazione di una parabola
Buonasera,
scusate se disturbo ancora il Forum,
Potreste cortesemente aiutarmi?
Determina l'equazione di una parabola, con asse parallelo all'asse delle ascisse, tangente alla retta di equazione y=x+3 e passante per i punti A(-3;1) e B (-5;2).
Ho provato a fare i calcoli:
{a=-b-c-3
b+-3/2c-7/2
Non riesco a proseguire
Grazie infinite
scusate se disturbo ancora il Forum,
Potreste cortesemente aiutarmi?
Determina l'equazione di una parabola, con asse parallelo all'asse delle ascisse, tangente alla retta di equazione y=x+3 e passante per i punti A(-3;1) e B (-5;2).
Ho provato a fare i calcoli:
{a=-b-c-3
b+-3/2c-7/2
Non riesco a proseguire
Grazie infinite
Risposte
La prima equazione che hai trovato va bene, è la condizione di appartenenza del punto A alla parabola, la seconda cosa che hai scritto non so che cosa sia perché non è un'equazione ( non c'è =0), ma probabilmente ciò è dovuto a errori di digitazione.
Ti manca un'equazione che è la condizione di tangenza.
Per prima cosa devi mettere a sistema la parabola con la retta
$\{(x = a y^2 + by + c), (y=x+3):}$ poi sostituisci $\{(x = y-3), (a y^2 + by + c = y-3):}$ e ricavi l'equazione di secondo grado risolvente il sistema $a y^2 + (b-1)y + c +3 = 0$ nella quale imponi la condizione di tangenza $Delta=0$, quest'ultima equazione trovata va a sistema con le due condizioni di appartenenza dei punti alla parabola che avevi trovato in precedenza.
Ti manca un'equazione che è la condizione di tangenza.
Per prima cosa devi mettere a sistema la parabola con la retta
$\{(x = a y^2 + by + c), (y=x+3):}$ poi sostituisci $\{(x = y-3), (a y^2 + by + c = y-3):}$ e ricavi l'equazione di secondo grado risolvente il sistema $a y^2 + (b-1)y + c +3 = 0$ nella quale imponi la condizione di tangenza $Delta=0$, quest'ultima equazione trovata va a sistema con le due condizioni di appartenenza dei punti alla parabola che avevi trovato in precedenza.
Scusi, potrebbe dirmi dove sbaglio per favore?
{(b-1)^2-4a(c+3)
a=-b-c-3
c=-4a-2b-5
Grazie infinite
{(b-1)^2-4a(c+3)
a=-b-c-3
c=-4a-2b-5
Grazie infinite
Ti ricavi a in funzione di c e poi c in funzione di a, così diventa un circolo vizioso.
$\{(-3=a+b+c), (-5=4a+2b+c), ((b-1)^2-4a(c+3)=0):}$
dalla prima equazione ricava c e sostituiscilo nelle altre due
$\{(c= -3-a-b), (-5=4a+2b-3-a-b), ((b-1)^2-4a(-3-a-b+3)=0):}$ $\{(c= -3-a-b), (-2=3a+b), ((b-1)^2-4a(-a-b)=0):}$
ricopia la prima equazione, ricava b dalla seconda equazione e sostituiscilo nella terza
$\{(c= -3-a-b), (b= -2-3a), ((-2-3a-1)^2-4a(-a+2+3a)=0):}$
risolvi l'equazione di secondo grado e ottieni due valori di a, con i quali trovi i corrispondenti b e c.
$\{(-3=a+b+c), (-5=4a+2b+c), ((b-1)^2-4a(c+3)=0):}$
dalla prima equazione ricava c e sostituiscilo nelle altre due
$\{(c= -3-a-b), (-5=4a+2b-3-a-b), ((b-1)^2-4a(-3-a-b+3)=0):}$ $\{(c= -3-a-b), (-2=3a+b), ((b-1)^2-4a(-a-b)=0):}$
ricopia la prima equazione, ricava b dalla seconda equazione e sostituiscilo nella terza
$\{(c= -3-a-b), (b= -2-3a), ((-2-3a-1)^2-4a(-a+2+3a)=0):}$
risolvi l'equazione di secondo grado e ottieni due valori di a, con i quali trovi i corrispondenti b e c.
Grazie infinite
La disturbo ancora,mi perdoni.
Ma se avessi avuto tra i dati un solo punto(3;2) e la retta tangente in un punto(es. Y=4x-4) nel punto di ascissa x(x=1), come avrei dovuto procedere?
Grazie ancora, siete un Forum straordinariamente eccezionale
La disturbo ancora,mi perdoni.
Ma se avessi avuto tra i dati un solo punto(3;2) e la retta tangente in un punto(es. Y=4x-4) nel punto di ascissa x(x=1), come avrei dovuto procedere?
Grazie ancora, siete un Forum straordinariamente eccezionale
Con questo problema colgo l'occasione per segnalare lo scarso uso che si fa del metodo dei fasci da applicare specialmente in quesiti sulle coniche. Mi rendo conto che occorrono mezzi più elevati ma un cenno (appena) nelle scuole secondarie sulle coordinate proiettive non sarebbe proprio la fine del mondo... Nel nostro caso il fascio di coniche ha 4 punti base: i due assegnati ed il punto improprio dell'asse x contato due volte:
$A(-3,1,1),B(-5,2,1),C(1,0,0),D(1,0,0)$
Pertanto l'equazione del fascio di coniche passanti per tali punti è (con la scrittura (X,Y) indico la retta passante per X ed Y) :
$k(AB)(CD)+(AC)(BD)=0$XY
Con qualche facile calcolo si ha :
$k(x+2y+1)+(y-1)(y-2)=0$
Imponendo la tangenza alla retta $x=y-3$ risulta $k=\frac{1}{9}$ e quindi sostituendo ne viene la richiesta equazione :
$x=-9y^2+25y-19$
$A(-3,1,1),B(-5,2,1),C(1,0,0),D(1,0,0)$
Pertanto l'equazione del fascio di coniche passanti per tali punti è (con la scrittura (X,Y) indico la retta passante per X ed Y) :
$k(AB)(CD)+(AC)(BD)=0$XY
Con qualche facile calcolo si ha :
$k(x+2y+1)+(y-1)(y-2)=0$
Imponendo la tangenza alla retta $x=y-3$ risulta $k=\frac{1}{9}$ e quindi sostituendo ne viene la richiesta equazione :
$x=-9y^2+25y-19$
scuola1234,
riguardo alla tua ultima domanda Ciromario ti ha dato una esauriente e molto competente risposta.
Io ti do la mia: avrei imposto che
1) la parabola passa per $P(3,2)$ e quindi hai $2=9a+3b+c$
2) la parabola è tangente alla retta in quel punto che dici tu... quindi... ci passa anche!!! allora il passaggio per $Q(1,0)$ ti porta ad avere $0=a+b+c$
3) la parabola e la retta devono essere tangenti quindi eguagli le due equazioni, ottieni una equazione di secondo grado in $x$ e imponi il discriminante nullo ottenendo una terza equazione
4) fai il sistema e ottieni a,b,c
ciao!
riguardo alla tua ultima domanda Ciromario ti ha dato una esauriente e molto competente risposta.
Io ti do la mia: avrei imposto che
1) la parabola passa per $P(3,2)$ e quindi hai $2=9a+3b+c$
2) la parabola è tangente alla retta in quel punto che dici tu... quindi... ci passa anche!!! allora il passaggio per $Q(1,0)$ ti porta ad avere $0=a+b+c$
3) la parabola e la retta devono essere tangenti quindi eguagli le due equazioni, ottieni una equazione di secondo grado in $x$ e imponi il discriminante nullo ottenendo una terza equazione
4) fai il sistema e ottieni a,b,c
ciao!
Grazie a tutti per la grandissima disponibilità
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