Scomposizioni (107463)

[Aitan7]

Mi potreste aiutare a fare queste scomposizioni? Le altre so farle, solo queste no.. :S

- Quando è possibile, scomponi in fattori, raccogliendo a fattore comune
http://oi37.tinypic.com/99l73n.jpg
http://oi33.tinypic.com/2mn2hae.jpg

- Scomponi in fattori, riconoscendo la differenza di due quadrati
http://oi38.tinypic.com/az6qg4.jpg
http://oi36.tinypic.com/ae17d2.jpg

Grazie mille! (Per domani)

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Lo sai che avresti fatto prima a scrivere quelle espressioni in LaTeX rispetto a fotografarle, caricarle e linkarle? E' sicuramente più semplice di quanto si possa pensare; cliccando su Cita in questa risposta, per esempio, puoi visionare come fare.

In ogni modo sono esercizi immediati in cui basta concentrarsi un pochino. Infatti se ti chiedessi di scomporre, ed esempio,

[math]x^4 + 2x^3 - x^2[/math]

non credo esiteresti molto a scrivere

[math]x^2\left(x^2+2x-1\right)[/math]

. Ecco, l'esercizio numero 29 in questo senso è praticamente suo fratello, solo che al posto di

[math]x[/math]

hai

[math]a^2-b[/math]

. Altro tipo di scomposizione è la cosiddetta differenza di quadrati, ossia

[math]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/math]

. L'esercizio 99 non è altro che una semplice applicazione di questo tipo di scomposizione, in cui al posto di

[math]a[/math]

c'è

[math]-3x-2[/math]

mentre al posto di

[math]b[/math]

si ha

[math]-5x+2\\[/math]

.

Dai, ora provaci da solo e nel caso riscontrassi altre difficoltà scrivi qui i tuoi passaggi (giusti o sbagliati che siano, non importa): così facendo, infatti, sarà molto più proficuo ;)

[Aitan7]

N.28 Non riesco a farla :no

N. 29 =

[math](a^2-b)^2[(a^2-b)^2 + 2(a^2-b) - 1)][/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

La prima di questo link: http://oi33.tinypic.com/2mn2hae.jpg

[math]2(x+y)[(a+b)+4][/math]

Aggiunto 4 minuti più tardi:

La seconda di questo link: http://oi33.tinypic.com/2mn2hae.jpg

[math](a+b)(2b-3)[(a+b) -2(2b-3)][/math]

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Quella di questo link: (n.99) http://oi38.tinypic.com/az6qg4.jpg

[math](-3x-2-5x+2)(-3x-2+5x-2)[/math]

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Questa: http://oi36.tinypic.com/ae17d2.jpg

[math][5(a-b)+4(a+b)][5(a+b)-4(a+b)][/math]

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Molto bene, perlomeno qualcuno dimostra di metterci ancora un po' di impegno :)
Diciamo che in generale il concetto l'hai afferrato, occorre solo sistemare qualcosina.
In particolare abbiamo che:

1.

[math].. (a+1)(a+2)+(-a-1)(a+3)\\[/math]

[math]= (a+1)(a+2)-(a+1)(a+3)\\[/math]

[math]= (a+1)\left[(a+2)-(a+3)\right]\\[/math]

[math]= -(a+1)\\[/math]

2.

[math].. \left(a^2-b\right)^4+2\left(a^2-b\right)^3-\left(a^2-b\right)^2\\[/math]

[math]= \left(a^2-b\right)^2\left[\left(a^2-b\right)^2 + 2\left(a^2-b\right) - 1\right]\\[/math]

3.

[math].. 2(x+y)(a+b)+\frac{1}{2}(x+y)\\[/math]

[math]= \frac{1}{2}(x+y)\left[4(a+b)+1\right]\\[/math]

[math]= \frac{1}{2}(x+y)(4a+4b+1)\\[/math]

4.

[math].. (a+b)^2(2b-3)-2(a+b)(2b-3)^2\\[/math]

[math]= (a+b)(2b-3)\left[(a+b) - 2(2b-3)\right]\\[/math]

[math]= (a+b)(2b-3)(a-3b+6)\\[/math]

5.

[math].. (-3x-2)^2-(-5x+2)^2\\[/math]

[math]= \left[(-3x-2)+(-5x+2)\right]\left[(-3x-2)-(-5x+2)\right]\\[/math]

[math]= -8x(2x-4)\\[/math]

[math]= -16x(x-2)\\[/math]

6.

[math].. 25(a-b)^2-16(a+b)^2\\[/math]

[math]= \left[5(a-b)+4(a+b)\right]\left[5(a-b)-4(a+b\right]\\[/math]

[math]= (9a-b)(a-9b)\\[/math]

Vedi se ti tornano ;)

P.S.: sapresti dire se nel secondo esercizio "si può fare di meglio"? Se no, perché non si può scomporre ulteriormente? Come faresti a convincertene se non avessi il risultato del libro sotto mano? :)

[Aitan7]

[math].. \left(a^2-b\right)^4+2\left(a^2-b\right)^3-\left(a^2-b\right)^2\\[/math]

[math]= \left(a^2-b\right)^2\left[\left(a^2-b\right)^2 + 2\left(a^2-b\right) - 1\right]\\[/math]

[math]= (a^2-b)(a^2-b)[(a^2-b)+2-1][/math]

Così? :con

Comunque grazie mille!:D :D

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Cosa mi combini?! Quasi quasi mi pento di aver fatto quella osservazione :D

Comunque, scherzi a parte, ti pare corretto quello che hai scritto? E' sufficiente sviluppare l'ultimo prodotto per far balzare all'occhio che è un'altra cosa!

In ogni modo, la risposta è che "meglio di così", perlomeno affinché non ti saranno forniti degli strumenti più potenti, non si può fare. Vediamo immediatamente come fare a capirlo. Allora, eravamo arrivati fino a:

[math]\left(a^2-b\right)^2\left[\left(a^2-b\right)^2 + 2\left(a^2-b\right) - 1\right]\\[/math]

e tu come io e come (credo) molti altri ci chiediamo se è mai possibile scomporre la quantità posta tra parentesi quadre. Seppur istintivamente venga la voglia di sviluppare i prodotti presenti tra parentesi quadre per sperare che si sommino i monomi simili e quindi "appaia" qualche polinomio noto, la strada più breve ed efficiente è un'altra.

In particolare è bene porre una sostituzione del tipo

[math]x=a^2-b[/math]

ed ottenere (lasciando perdere ciò che è fuori dalle quadre):

[math]x^2 + 2x - 1\\[/math]

che grazie al metodo di Ruffini si vede immediatamente non essere scomponibile facendo riferimento solamente ai numeri razionali (alle frazioni tanto per intenderci). Conclusione: anche il polinomio in

[math]a[/math]

e

[math]b[/math]

non è ulteriormente fattorizzabile tramite numeri razionali: si potrà rimodellare ciò che sta tra parentesi quadre ma certamente non c'è alcuna possibilità di fattorizzare sotto tali condizioni.


P.S.: qualora non avessi mai sentito parlare di Ruffini lascia perdere per ora, magari ti verrà comodo più avanti ;)