Scomposizione polinomi (51182)

[frakky]

cosa significa Ax^2+Bx+C scomposto= A(x-x1)(x-x2)

[ciampax]

E' la regola per scomporre un polinomio di secondo grado. Supponiamo di voler scomporre il polinomio

[math]ax^2+bx+c[/math]

Una tale decomposizione esiste se e solo se l'equazione

[math]ax^2+bx+c=0[/math]

ammette due soluzioni reali: quindi solo quando il discriminante

[math]b^2-4ac\geq 0[/math]

.
Dette

[math]x_1,\ x_2[/math]

tali soluzioni, che si ricavano dalla formula

[math]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]

dal momento che valgono le relazioni

[math]x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad c=\frac{c}{a}[/math]

segue

[math]ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)=\\
a\left(x^2-x_1 x-x_2 x+x_1 x_2\right)=a\left[x(x-x_1)-x_2(x-x_1)\right]=\\
a(x-x_1)(x-x_2)[/math]

e quindi la decomposizione richiesta.