SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
Salve amici , mi chiedevo una cosa, spero qualcuno di voi sia così gentile da aiutarmi.Spesso mi trovo a dover scomporre in fattori polinomi del tipo
2X^3-15X^2+36x+1,ed ogni volta mi viene un mal di testa terribile ,quindi mi chiedevo se esiste qualche escamotage che mi possa aiutare a risolvere più velocemete questo tipo di problema, scusate la mia ignoranza, grazie ciao.
2X^3-15X^2+36x+1,ed ogni volta mi viene un mal di testa terribile ,quindi mi chiedevo se esiste qualche escamotage che mi possa aiutare a risolvere più velocemete questo tipo di problema, scusate la mia ignoranza, grazie ciao.
Risposte
Visto che mi trovo a fare sfoggio della mia ignoranza volevo chiedervi un'altra cosa 
Quand'è che una funzione si dice lineare???
Quand'è che una funzione si dice lineare???
Il tuo polinomio non mi sembra scomponibile...
Comunque per scomporre polinomi di questo tipo, devi usare la regola di Ruffini.
Modificato da - fireball il 07/02/2004 18:33:05
Comunque per scomporre polinomi di questo tipo, devi usare la regola di Ruffini.
Modificato da - fireball il 07/02/2004 18:33:05
come dice fireball, solitamente si usa ruffini, ma in questo caso è inutile, in quanto ruffini ti trova solo le radici intere. ho provato con +-1/2 e +-1/4 ma neanche queste sono radici! quindi o provi sostituendo qualche altra frazione, oppure..niente! cmq se trovi qualche radice, sia a tale radice, allora fai la divisione tra il polinomio di partenza e x-a.
riguardo ala seconda domanda, una funzione è detta lineare se è del tipo y = mx + q; ovvero una retta. non ti confondere con il fatto che ax + by + c = 0 rappresenta anch'essa una retta, in quanto nel primo caso si è esclusa la possibilità che b sia zero, infatti in tal caso si ottiene una retta parallela all'asse delle ordinate, e tale retta non rappresenta una funzione poichè ad ogni valore del dominio vengono associati infiniti valori del codominio e una funzione è, per definizione, una legge che ad ogni valore del dominio associa uno ed un solo valore del codominio.
ciao ubermensch
riguardo ala seconda domanda, una funzione è detta lineare se è del tipo y = mx + q; ovvero una retta. non ti confondere con il fatto che ax + by + c = 0 rappresenta anch'essa una retta, in quanto nel primo caso si è esclusa la possibilità che b sia zero, infatti in tal caso si ottiene una retta parallela all'asse delle ordinate, e tale retta non rappresenta una funzione poichè ad ogni valore del dominio vengono associati infiniti valori del codominio e una funzione è, per definizione, una legge che ad ogni valore del dominio associa uno ed un solo valore del codominio.
ciao ubermensch
Le uniche possibili soluzioni razionali della
equazione proposta sono quelle che hanno per numeratore
un divisore del termine noto dell'equazione e per
denominatore un divisore del coefficiente del termine di grado massimo.
In questo caso le possibili soluzioni sono +1/2 e -1/2
ed e' inutile provare per altre.
(Nessuna delle due frazioni e' comunque radice).
karl.
equazione proposta sono quelle che hanno per numeratore
un divisore del termine noto dell'equazione e per
denominatore un divisore del coefficiente del termine di grado massimo.
In questo caso le possibili soluzioni sono +1/2 e -1/2
ed e' inutile provare per altre.
(Nessuna delle due frazioni e' comunque radice).
karl.
questa proprio non la sapevo, karl!!
ciao
ciao
Ragazzi vi ringrazio molto , soprattutto ho trovato molto utile l'osservazione di karl, ma anche ubermensch per la definizione di funzione lineare, ma avrei ancora una domanda , come faccio a risolvere la disequazione con questo polinomio , ad esempio per trovare valori > di zero se nn posso scomporla in fattori , esistono altri "strataggemmi", grazie ciao.
sempre in questo sito, alla pagina iniziale, vai su "formula più bella" e da là vai a "formula di cardano"; ti spiega un procedimento, ma è tutt'altro che semplice; altrimenti puoi utilizzare il metodo di bisezione, ma anche questo non è semplicissimo; un altro metodo, che però ti dà solo una soluzione molto approssimata è il seguente;
consideri l'equazione:
2x^3 - 15x^2 + 36x + 1 = 0 e te la scrivi:
2x^3 = 15 x^2 - 36x - 1 da cui ottieni il seguente sistema:
y = 2x^3
y = 15x^2 - 36x - 1
le cui soluzioni (ovvero le intersezioni tra le due curve) sono le radici dell'equazione di partenza.
quindi ti disegni le due curve, che sono entrambe molto semplici e non necessitano delle conoscenze dell'analisi (qualora non le avessi) e trovi approssimativamente le ascisse dei punti d'intersezione.
per trovare il maggiore (o minore di zero) puoi fare il seguente ragionamento:
siano, ad esempio, A e B le ascisse di due punti d'intersezione tra le curve. consideriamo l'intervallo (A,B); supponiamo che il grafico della cubica stia sopra a quello della parabola, allora deduci che nell'intervallo (A,B) 2x^3 > 15x^2 - 36x - 1, ovvero che 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1 > 0. e fai un discorso analogo per tutti gli intervalli che trovi.
spero di essere stato chiaro e d'aiuto.
p.s. se conosci l'analisi ti conviene disegnarti direttamente la funzione di partenza e trovare dal suo grafico, sempre approssimativamente, i punti d'intersezione con l'asse delle ascisse, i quali rappresentano le radici del polinomio di partenza.
ciao, ubermensch
consideri l'equazione:
2x^3 - 15x^2 + 36x + 1 = 0 e te la scrivi:
2x^3 = 15 x^2 - 36x - 1 da cui ottieni il seguente sistema:
y = 2x^3
y = 15x^2 - 36x - 1
le cui soluzioni (ovvero le intersezioni tra le due curve) sono le radici dell'equazione di partenza.
quindi ti disegni le due curve, che sono entrambe molto semplici e non necessitano delle conoscenze dell'analisi (qualora non le avessi) e trovi approssimativamente le ascisse dei punti d'intersezione.
per trovare il maggiore (o minore di zero) puoi fare il seguente ragionamento:
siano, ad esempio, A e B le ascisse di due punti d'intersezione tra le curve. consideriamo l'intervallo (A,B); supponiamo che il grafico della cubica stia sopra a quello della parabola, allora deduci che nell'intervallo (A,B) 2x^3 > 15x^2 - 36x - 1, ovvero che 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1 > 0. e fai un discorso analogo per tutti gli intervalli che trovi.
spero di essere stato chiaro e d'aiuto.
p.s. se conosci l'analisi ti conviene disegnarti direttamente la funzione di partenza e trovare dal suo grafico, sempre approssimativamente, i punti d'intersezione con l'asse delle ascisse, i quali rappresentano le radici del polinomio di partenza.
ciao, ubermensch
Ho capito , quindi l'unico metodo di risoluzione per questa equazione è quello grafico , grazie per la disponibilità ,ciao
Modificato da - peppic il 08/02/2004 17:34:45
Modificato da - peppic il 08/02/2004 17:34:45
Chiedo scusa agli amici del forum ma temo che forse mi sia sfuggito qualcosa riguardo al quesito posto da peppic…
In sostanza si chiede di fattorializzare un polinomio di terzo grado, nella fattispecie il seguente…
P(x) = 2x^3-15x^2+36x+1 (1)
Per prima cosa conviene isolare il coefficiente del termine di grado più elevato riscrivendo il polinomio come…
P(x) = 2*(x^3-7.5x^2+18x+.5) (2)
Il teorema fondamentale dell’algebra afferma che se an, an-1, …, a1, ao sono i coefficienti di un polinomio di grado n [an quindi è diversa da zero] e x1, x2, …, xn sono le sue radici [le soluzioni, reali o complesse, dell’equazione P(x)=0], allora è …
P(x) = an*(x-x1)*(x-x2)*…*(x-xn) (3)
Appare ora evidente dalla (3) che ogni polinomio può essere fattorializzato, purchè si sia in grado di risolvere [con metodi algebrici o numerici] l’equazione P(x)=0. Nel caso presente le tre radici sono…
x1= -.02746 , x2= 3.7637 – j*2.0102, x3=3.7637 + j*2.0102
Per cui l’espressione (3) diviene…
P(x) = 2*(x+.02746)*(x^2-7.5274x+18.2067) (4)
Questo in generale. Certo se si intende verificare l’eventuale esistenza di radici ‘intere’ o ‘razionali’ la cosa cambia…
Cordiali saluti!…
lupo grigio
In sostanza si chiede di fattorializzare un polinomio di terzo grado, nella fattispecie il seguente…
P(x) = 2x^3-15x^2+36x+1 (1)
Per prima cosa conviene isolare il coefficiente del termine di grado più elevato riscrivendo il polinomio come…
P(x) = 2*(x^3-7.5x^2+18x+.5) (2)
Il teorema fondamentale dell’algebra afferma che se an, an-1, …, a1, ao sono i coefficienti di un polinomio di grado n [an quindi è diversa da zero] e x1, x2, …, xn sono le sue radici [le soluzioni, reali o complesse, dell’equazione P(x)=0], allora è …
P(x) = an*(x-x1)*(x-x2)*…*(x-xn) (3)
Appare ora evidente dalla (3) che ogni polinomio può essere fattorializzato, purchè si sia in grado di risolvere [con metodi algebrici o numerici] l’equazione P(x)=0. Nel caso presente le tre radici sono…
x1= -.02746 , x2= 3.7637 – j*2.0102, x3=3.7637 + j*2.0102
Per cui l’espressione (3) diviene…
P(x) = 2*(x+.02746)*(x^2-7.5274x+18.2067) (4)
Questo in generale. Certo se si intende verificare l’eventuale esistenza di radici ‘intere’ o ‘razionali’ la cosa cambia…
Cordiali saluti!…
lupo grigio
emm scusa l'ignoranza Lupo ma come hai fatto a risolvere la cubica?? conoscevo la formula da te citata ma non sono capace a trovare gli zeri della funzione!!! per le funzioni più "complesse" infatti solitamente cercavo sempre di scomporre in fattori il polinomio e poi risolvevo...ma in questo caso è un circolo vizioso!!!
inoltre mi sovviene una domanda...(non ho controllato però), se esiste uno zero razionale reale...perchè Karl non riesce a scomporlo con Ruffini???
insomma il mio problema resta quello di trovare le soluzioni di una cubica completa...
grazie
il vecchio
inoltre mi sovviene una domanda...(non ho controllato però), se esiste uno zero razionale reale...perchè Karl non riesce a scomporlo con Ruffini???
citazione:
karl. Le uniche possibili soluzioni razionali della
equazione proposta sono quelle che hanno per numeratore
un divisore del termine noto dell'equazione e per
denominatore un divisore del coefficiente del termine di grado massimo
insomma il mio problema resta quello di trovare le soluzioni di una cubica completa...
grazie
il vecchio
caro vecchio
la formula risolvente dell'equazione di terzo grado fù scoperta nel XVI° secolo dai matematici italiani Scipione dal Ferro, Nicolò Fontana [detto Tartaglia] e Gerolamo Cardano [a chi spetti la parternità della scoperta è questione tuttora controversa...]. Il suo impiego è possibile ma alquanto ferraginoso, ragione per la quale è consigliabile il ricorso a metodi numerici. Da tempo [quanti anni sono onestamante non lo ricordo...] mi sono fabbricato una routine per la risoluzione di un'equazione algebrica che utilizza l'algoritmo di Bayrstov. Tale algoritmo in pratica ricerca ed isola i fattori quadratici [più un fattore lineare se n è dispari...] del polinomio P(x) uno dopo l'altro, proprio come illustrato nel mio precedente postato...
Se volessi saperne di più sarò lieto di fornirti altri ragguagli...
cordiali saluti!...
lupo grigio
la formula risolvente dell'equazione di terzo grado fù scoperta nel XVI° secolo dai matematici italiani Scipione dal Ferro, Nicolò Fontana [detto Tartaglia] e Gerolamo Cardano [a chi spetti la parternità della scoperta è questione tuttora controversa...]. Il suo impiego è possibile ma alquanto ferraginoso, ragione per la quale è consigliabile il ricorso a metodi numerici. Da tempo [quanti anni sono onestamante non lo ricordo...] mi sono fabbricato una routine per la risoluzione di un'equazione algebrica che utilizza l'algoritmo di Bayrstov. Tale algoritmo in pratica ricerca ed isola i fattori quadratici [più un fattore lineare se n è dispari...] del polinomio P(x) uno dopo l'altro, proprio come illustrato nel mio precedente postato...
Se volessi saperne di più sarò lieto di fornirti altri ragguagli...
cordiali saluti!...
lupo grigio
Per trovare le radici dell'equazione cubica( cioè gli zeri del
polinomio di terzo grado) si deve applicare la formula di Cardano
dopo aver raccolto il coefficiente del termine di terzo grado e
trasformato l'equazione in una priva del termine di secondo grado :
questo lo si ottiene operando la sostituzione : x= y-a/3(essendo a il
coefficiente del termine di secondo grado).
Si arriva così, dopo un po' di calcoli, all'equazione in forma
normale :
y^3+py+q=0 e da qui alle soluzioni che possono essere :
* N.3 radici reali
*N.1 radice reale e N.2 radici complesse coniugate.
Si dimostra infatti che :
* Teorema fondamentale dell'Algebra : un'equazione algebrica di grado
n possiede n radici, purchè si conti ciascuna radice tante volte
quant'è il suo ordine di molteplicità.
Nel nostro caso : n=3 ; quindi l'ordine di molteplicità può essere :
1 -radice semplice
2 - radice doppia
3 - radice tripla ; es. (x-1)^3 = 0 , x= 1 è radice tripla.
* Se poi l'equazione è a coefficienti reali ( come nell'esempio )
allora se ammette una radice complessa , ad es. . a+jb , allora
ammette anche la radice complessa coniugata, cioè : a-jb.
Quindi nel nostro caso ( n=3) non possono esserci 3 radici complesse(
perchè ad una di esse verrebbe "a mancare la sua coniugata").
Non posono neanche esserci 2 radici reali e 1 complessa , perchè le
verrebbe a mancare la sua coniugata.
Quindi :
*N.3 radici reali
oppure
*N.1 radice reale e N.2 radici complesse coniugate.
Nel caso specifico si era nell'ultimo caso ed esattamnete le radici
calcolate da lupo grigio erano :
x1 = -0.2746
x2= 3.7637+j*2.0102
x3= 3.7637 -j*2.0102
Quindi il polinomio iniziale si poteva fattorizzare :
2*(x+0.2746)*[x-(3.7637+j*2.0102)] *[ x-(3.7637 - j*2.0102)] che si
può trasformare in :
2*(x+0.2746)*[(x-3.7637)-j*2.0102]* [(x-3.7637)+j*2.0102 ] =
2*(x+0.2746)*[(x-3.7637)^2 -(j^2)*2.0102]=
2*(x+0.2746)*[(x-3.7637)^2+(2.0102)^2] essendo : j^2 = -1.
Il secondo fattore è quindi la somma di due quadrati e quindi sempre
positivo : nel caso si debba risolvere la disequazione di 3° grado è
allora sufficiente studiare il segno del primo fattore : (x+0.2746).
In questo caso il polinomio iniziale è quindi > 0 per : x > - 0.2746.
Il fatto che il prodotto di : (x-x1)*(x-x2) , essendo x1 ed x2 numeri
complessi coniugati , sia la somma di due quadrati , è del tutto
generale e si dimostra facilmente.
Analogamente , a^2 +b^2 che non è fattorizzabile nel campo dei numeri
reali , lo è invece nel campo complesso :
a^2+b^2 = ( a+j*b)*(a-j*b)
polinomio di terzo grado) si deve applicare la formula di Cardano
dopo aver raccolto il coefficiente del termine di terzo grado e
trasformato l'equazione in una priva del termine di secondo grado :
questo lo si ottiene operando la sostituzione : x= y-a/3(essendo a il
coefficiente del termine di secondo grado).
Si arriva così, dopo un po' di calcoli, all'equazione in forma
normale :
y^3+py+q=0 e da qui alle soluzioni che possono essere :
* N.3 radici reali
*N.1 radice reale e N.2 radici complesse coniugate.
Si dimostra infatti che :
* Teorema fondamentale dell'Algebra : un'equazione algebrica di grado
n possiede n radici, purchè si conti ciascuna radice tante volte
quant'è il suo ordine di molteplicità.
Nel nostro caso : n=3 ; quindi l'ordine di molteplicità può essere :
1 -radice semplice
2 - radice doppia
3 - radice tripla ; es. (x-1)^3 = 0 , x= 1 è radice tripla.
* Se poi l'equazione è a coefficienti reali ( come nell'esempio )
allora se ammette una radice complessa , ad es. . a+jb , allora
ammette anche la radice complessa coniugata, cioè : a-jb.
Quindi nel nostro caso ( n=3) non possono esserci 3 radici complesse(
perchè ad una di esse verrebbe "a mancare la sua coniugata").
Non posono neanche esserci 2 radici reali e 1 complessa , perchè le
verrebbe a mancare la sua coniugata.
Quindi :
*N.3 radici reali
oppure
*N.1 radice reale e N.2 radici complesse coniugate.
Nel caso specifico si era nell'ultimo caso ed esattamnete le radici
calcolate da lupo grigio erano :
x1 = -0.2746
x2= 3.7637+j*2.0102
x3= 3.7637 -j*2.0102
Quindi il polinomio iniziale si poteva fattorizzare :
2*(x+0.2746)*[x-(3.7637+j*2.0102)] *[ x-(3.7637 - j*2.0102)] che si
può trasformare in :
2*(x+0.2746)*[(x-3.7637)-j*2.0102]* [(x-3.7637)+j*2.0102 ] =
2*(x+0.2746)*[(x-3.7637)^2 -(j^2)*2.0102]=
2*(x+0.2746)*[(x-3.7637)^2+(2.0102)^2] essendo : j^2 = -1.
Il secondo fattore è quindi la somma di due quadrati e quindi sempre
positivo : nel caso si debba risolvere la disequazione di 3° grado è
allora sufficiente studiare il segno del primo fattore : (x+0.2746).
In questo caso il polinomio iniziale è quindi > 0 per : x > - 0.2746.
Il fatto che il prodotto di : (x-x1)*(x-x2) , essendo x1 ed x2 numeri
complessi coniugati , sia la somma di due quadrati , è del tutto
generale e si dimostra facilmente.
Analogamente , a^2 +b^2 che non è fattorizzabile nel campo dei numeri
reali , lo è invece nel campo complesso :
a^2+b^2 = ( a+j*b)*(a-j*b)
Ho progettato un piccolo software che restituisce
tutte le radici,reali od immaginarie,di una equazione
di terzo grado a coefficienti reali qualunque (anche irrazionali
ad es. sqrt(3)x^3-3x^2+(2sqrt(2)-5))=0).
Non e' una grossa cosa rispetto ai giganti del software commerciale
ma puo' essere utile.
Chi lo volesse me lo puo' richiedere tramite il Forum :glielo inviero' in allegato ad una e-mail di risposta.Inutile dire che e' del tutto gratuito.
Avverto che il file e' circa mezzo mega.
karl.
tutte le radici,reali od immaginarie,di una equazione
di terzo grado a coefficienti reali qualunque (anche irrazionali
ad es. sqrt(3)x^3-3x^2+(2sqrt(2)-5))=0).
Non e' una grossa cosa rispetto ai giganti del software commerciale
ma puo' essere utile.
Chi lo volesse me lo puo' richiedere tramite il Forum :glielo inviero' in allegato ad una e-mail di risposta.Inutile dire che e' del tutto gratuito.
Avverto che il file e' circa mezzo mega.
karl.
citazione:
mi sono fabbricato una routine per la risoluzione di un'equazione algebrica che utilizza l'algoritmo di Bayrstov. Tale algoritmo in pratica ricerca ed isola i fattori quadratici [più un fattore lineare se n è dispari...] del polinomio P(x) uno dopo l'altro,
chiedo scusa...ma ignoro totalmente chi sia Bayrstov...
Camillo poi diceva...
citazione:
trasformato l'equazione in una priva del termine di secondo grado :
questo lo si ottiene operando la sostituzione : x= y-a/3(essendo a il
coefficiente del termine di secondo grado).
quel valore di y vale per tutte le cubiche o soloin questo caso?? e poi è (y-a)/3 oppure y-(a/3)??
in entrambi i casi comunque ho fatto fare i conti a Derive e mi ridà sempre una cubica completa...l'unica differenza è che ora l'incognita e la y...dove sbaglio??
grazie
il vecchio
Quella sostituzione vale per tutte le cubiche .
La sostituzione è : x= y-(a/3); in effetti come l'ho scritto poteva dare adito a dubbi.
Così facendo e sostituendo nell'equazione generica :
x^3+a*x^2+b*x+c = 0 al posto di x : y-(a/3) è chiaro che ottengo, facendo i conti :-3*(a/3)*y^2 = -a*y^2 ( sviluppando il termine di terzo grado)che si annulla col termine +a*y^2(sviluppando il termine di secondo grado)e così non ci sono più termini di secondo grado.
La sostituzione è : x= y-(a/3); in effetti come l'ho scritto poteva dare adito a dubbi.
Così facendo e sostituendo nell'equazione generica :
x^3+a*x^2+b*x+c = 0 al posto di x : y-(a/3) è chiaro che ottengo, facendo i conti :-3*(a/3)*y^2 = -a*y^2 ( sviluppando il termine di terzo grado)che si annulla col termine +a*y^2(sviluppando il termine di secondo grado)e così non ci sono più termini di secondo grado.
Vecchio, è vero, anche con quella sostituzione hai sempre una equazione di terzo grado.
Mancando il termine di secondo grado si riesce a fare dei trucchetti che ne permettono la risoluzione .
Vai a La formula più bella poi formula di Cardano e lì troverai la soluzione.
Vedo se riesco a trovare qualcosa di più dettagliato sul procedimento e te lo mando per e-mail.
Camillo
Mancando il termine di secondo grado si riesce a fare dei trucchetti che ne permettono la risoluzione .
Vai a La formula più bella poi formula di Cardano e lì troverai la soluzione.
Vedo se riesco a trovare qualcosa di più dettagliato sul procedimento e te lo mando per e-mail.
Camillo
ok...ci sono...e adesso??
io (o meglio DErive) ho ottenuto questo
mo come la trovo la y?? credevo di essere in grado...invece non mi viene in mente nulla...dovrei saperlo fare vero??
un aiutino??...
grazie
il vecchio
io (o meglio DErive) ho ottenuto questo
3 3·y 57
y - ————— + ———— = 0
4 4
mo come la trovo la y?? credevo di essere in grado...invece non mi viene in mente nulla...dovrei saperlo fare vero??
un aiutino??...
grazie
il vecchio
*quote:
in entrambi i casi comunque ho fatto fare i conti a Derive e mi ridà sempre una cubica completa...l'unica differenza è che ora l'incognita e la y...dove sbaglio??
forse, vecchio, parti da un'equaz. in cui il coeff. del termine di grado massimo non è stato ridotto a "1" ?
tony
per vecchio:
vai a "la formula più bella" e poi a "formula di cardano" lì ti spiega cosa fare a quel punto.
ciao
vai a "la formula più bella" e poi a "formula di cardano" lì ti spiega cosa fare a quel punto.
ciao
caro vecchio
una descrizione abbastanza buona del metodo di Bairstow [e non Bayrstov come ho scritto in precedenza...] la puoi trovare in...
http://www.vialattea.net/esperti/mat/ba ... irstow.htm
... dove riporta ad un sito californiano dal quale si possono downloadare anche applicativi.
Il metodo ha il vantaggio di essere del tutto generale, ossia permette di trovare le soluzioni di un'equazione algebrica di qualsiasi grado mentre è noto che non esistono metodi di soluzione algebrici per equazioni di grado superiore al quarto...
cordiali saluti!...
lupo grigio
una descrizione abbastanza buona del metodo di Bairstow [e non Bayrstov come ho scritto in precedenza...] la puoi trovare in...
http://www.vialattea.net/esperti/mat/ba ... irstow.htm
... dove riporta ad un sito californiano dal quale si possono downloadare anche applicativi.
Il metodo ha il vantaggio di essere del tutto generale, ossia permette di trovare le soluzioni di un'equazione algebrica di qualsiasi grado mentre è noto che non esistono metodi di soluzione algebrici per equazioni di grado superiore al quarto...
cordiali saluti!...
lupo grigio
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