SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO
Buongiorno...sono di 1 superiore (liceo scientifico biotecnologico) e ho da poco imparato a scomporre i polinomi...avrei bisogno di capire come si può scomporre il polinomio... $(a+b)^6-(a-b)^6$ ....non riesco a scomporlo ed ottenere il risultato datomi dal libro...
Risultato del libro : $[4ab(3a^2+b^2)(a^2+3b^2)$
I miei passaggi utilizzando la somma o differenza di 2 cubi sono :
$(a+b)^6-(a-b)^6$
$[(a+b)^3(a+b)^2]-[(a+b)^3(a-b)^2]$
Scomponendolo :
$[(a+b)(a^2-ab+b^2)(a+b)^2]-[(a+b)(a^2-ab+b^2)(a+b)(a-b)]$
da qui inizia il mio dubbio...non capisco come,il libro, arrivi al risultato che ho scritto all'inizio...se c'è qualcuno che riesce cortesemente a scomporlo e farmi capire come si arrivi alla concusione mi farebbe un grande piacere...
NB : NON è x un compito di matematica...è per semplice esercizio casalingo(matematico)...
Grazie mille dell'attenzione
Risultato del libro : $[4ab(3a^2+b^2)(a^2+3b^2)$
I miei passaggi utilizzando la somma o differenza di 2 cubi sono :
$(a+b)^6-(a-b)^6$
$[(a+b)^3(a+b)^2]-[(a+b)^3(a-b)^2]$
Scomponendolo :
$[(a+b)(a^2-ab+b^2)(a+b)^2]-[(a+b)(a^2-ab+b^2)(a+b)(a-b)]$
da qui inizia il mio dubbio...non capisco come,il libro, arrivi al risultato che ho scritto all'inizio...se c'è qualcuno che riesce cortesemente a scomporlo e farmi capire come si arrivi alla concusione mi farebbe un grande piacere...
NB : NON è x un compito di matematica...è per semplice esercizio casalingo(matematico)...
Grazie mille dell'attenzione
Risposte
Il tuo esercizio è, prima di tutto una differenza di quadrati, in quanto $(a+b)^6$ è il quadrato di $(a+b)^3$ e $(a-b)^6$ è il quadrato di $(a-b)^3$ perciò dalla prima parte della scomposizine si ottiene
$(a+b)^6-(a-b)^6=[(a+b)^3+(a-b)^3]*[(a+b)^3-(a-b)^3]$
a questo punto credo che sia più semplice svolgere i cubi piuttosto che scomporre somme e differenze, perciò
$=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)*(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-a^3+3a^2b-3ab^2+b^3)=(2a^3+6ab^2)*(6a^2b+2b^3)$
adesso dal primo fattore si può raccogliere $2a$ e dal secondo $2b$, l'esercizio diventa
$=2a(a^2+3b^2)*2b (3a^2+b^2)= 4ab(a^2+3b^2)(3a^2+b^2) $, che per la proprietà commutativa della moltiplicazione è uguale al risultato del testo.
Ciao Aronuccio, e benvenuto in questo forum!
$(a+b)^6-(a-b)^6=[(a+b)^3+(a-b)^3]*[(a+b)^3-(a-b)^3]$
a questo punto credo che sia più semplice svolgere i cubi piuttosto che scomporre somme e differenze, perciò
$=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)*(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-a^3+3a^2b-3ab^2+b^3)=(2a^3+6ab^2)*(6a^2b+2b^3)$
adesso dal primo fattore si può raccogliere $2a$ e dal secondo $2b$, l'esercizio diventa
$=2a(a^2+3b^2)*2b (3a^2+b^2)= 4ab(a^2+3b^2)(3a^2+b^2) $, che per la proprietà commutativa della moltiplicazione è uguale al risultato del testo.
Ciao Aronuccio, e benvenuto in questo forum!
Ciao!
Amelia ti ha risposto ottimamente. Aggiungo solo una cosa: purtroppo non riesco a ricostruire quello che vuoi dire. Secondo me stai confondendo
(1) $(x+y)^3$
con
(2) $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$
Attenzione: (1) e (2) non sono la stessa cosa. Cioè, $(x+y)^3 ne (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Inoltre $(a+b)^6$ non è uguale a $(a+b)^3(a+b)^2$, perché quest'ultimo è uguale a $(a+b)^5$.
Inoltre $(a-b)^6$ non è uguale a $(a+b)^3(a-b)^2$.
Mi scuso se ho frainteso il tuo procedimento.
Cià
Amelia ti ha risposto ottimamente. Aggiungo solo una cosa: purtroppo non riesco a ricostruire quello che vuoi dire. Secondo me stai confondendo
(1) $(x+y)^3$
con
(2) $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$
Attenzione: (1) e (2) non sono la stessa cosa. Cioè, $(x+y)^3 ne (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Inoltre $(a+b)^6$ non è uguale a $(a+b)^3(a+b)^2$, perché quest'ultimo è uguale a $(a+b)^5$.
Inoltre $(a-b)^6$ non è uguale a $(a+b)^3(a-b)^2$.
Mi scuso se ho frainteso il tuo procedimento.
Cià
Basta fare i passaggi:
$(a+b)^6\ -\ (a-b)^6$ applicando il triangolo di Tartaglia:
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
fino al sesto grado; si ha:
$a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6-(a^6-6a^5b+15a^4b^2-20a^3b^3+15a^2b^4-6ab^5+b^6)=$
$=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6-a^6+6a^5b-15a^4b^2+20a^3b^3-15a^2b^4+6ab^5-b^6$ eliminando i termini opposti:
$12a^5b+40a^3b^3+12ab^5$, mettendo in evidenza $4ab$
$4ab(3a^4+10a^2b^2+3b^4)$ e con un artificio sul polinomio tra parentesi:
$4ab(3a^4+9a^2b^2+a^2b^2+3b^4)=4ab(3a^2+b^2)(a^2+3b^2)$
$(a+b)^6\ -\ (a-b)^6$ applicando il triangolo di Tartaglia:
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
fino al sesto grado; si ha:
$a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6-(a^6-6a^5b+15a^4b^2-20a^3b^3+15a^2b^4-6ab^5+b^6)=$
$=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6-a^6+6a^5b-15a^4b^2+20a^3b^3-15a^2b^4+6ab^5-b^6$ eliminando i termini opposti:
$12a^5b+40a^3b^3+12ab^5$, mettendo in evidenza $4ab$
$4ab(3a^4+10a^2b^2+3b^4)$ e con un artificio sul polinomio tra parentesi:
$4ab(3a^4+9a^2b^2+a^2b^2+3b^4)=4ab(3a^2+b^2)(a^2+3b^2)$
Prima di tutto grazie mille AMELIA....faccio ancora fatica a distinguere i segni...comunque rispondendo a MARTINO : hai ragione non capisco la differenza tra $(x+y)^3$ da $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ a mio parere sembrano uguali.....quale è la differenza ? Grazie...ciao
"Aronuccio":
rispondendo a MARTINO : hai ragione non capisco la differenza tra $(x+y)^3$ da $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ a mio parere sembrano uguali.....quale è la differenza ? Grazie...ciao
Beh, sono due polinomi diversi. Prova a sviluppare $(x+y)^3$ (cioè a fare il prodotto $(x+y)(x+y)(x+y)$). Ti risulta
$(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$
E sarai d'accordo che $x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ è ben diverso da $x^3+y^3$.
Un altro modo per vederlo è questo: quando due polinomi sono uguali, sostituendo alle variabili dei numeri ottieni ancora delle uguaglianze. Se per assurdo $(x+y)^3 = x^3+y^3$ allora prendendo x=1 e y=1 ottieni $(1+1)^3=1^3+1^3$, cioè 8=2, e ciò non è vero. Sei d'accordo?
"Aronuccio":
hai ragione non capisco la differenza tra $(x+y)^3$ da $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ a mio parere sembrano uguali.....quale è la differenza ? Grazie...ciao
ok allora tu mi dai $(1+1)^3$ euri e io te ne restituisco $1^3+1^3$ siamo d'accordo ...
"codino75":
[quote="Aronuccio"]hai ragione non capisco la differenza tra $(x+y)^3$ da $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ a mio parere sembrano uguali.....quale è la differenza ? Grazie...ciao
ok allora tu mi dai $(1+1)^3$ euri e io te ne restituisco $1^3+1^3$ siamo d'accordo ...[/quote]
Ciò dimostra che se l'elevamento alla terza fosse lineare l'economia andrebbe in frantumi
Ora clicco "Invia" e ammiro l'utilità della frase che ho appena scritto.
Vi ringrazio tutti quanti....gentilissimi....CiAoOo..
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