Rotazione con centro qualsiasi
Stavo riflettendo su come ottenere le equazioni di una rotazione con centro qualsiasi. Si sa che una rotazione in senso antiorario è descritta da: $\{(x'=xcos(alpha) - ysen(alpha)), (y'=xsen(alpha) + ycos(alpha)) :}$. Ottenere le equazioni con centro di rotazione qualsiasi non credo sia fondamentale, siccome si possono sempre spostare gli assi cartesiani in modo che il centro coincida con l'origine, ma ogni tanto credo possa essere utile conoscerle.
Ho ragionato come segue: il centro di una rotazione è l'unico punto fisso, ovvero il suo trasformato coincide con se stesso; pertanto, posso ricavarmi le coordinate del centro così:
$ \{(x=xcos(alpha) - ysen(alpha)), (y=xsen(alpha)+ycos(alpha)) :} => C((y*sen(alpha))/(cos(alpha)-1), (x*sen(alpha))/(1-cos(alpha)))$, dove $C$ è ovviamente il centro della rotazione e $alpha != 2kpi$. Ora, come faccio a passare da queste alle equazioni di una generica rotazione, in senso antiorario, con centro in un punto qualsiasi?
Ho ragionato come segue: il centro di una rotazione è l'unico punto fisso, ovvero il suo trasformato coincide con se stesso; pertanto, posso ricavarmi le coordinate del centro così:
$ \{(x=xcos(alpha) - ysen(alpha)), (y=xsen(alpha)+ycos(alpha)) :} => C((y*sen(alpha))/(cos(alpha)-1), (x*sen(alpha))/(1-cos(alpha)))$, dove $C$ è ovviamente il centro della rotazione e $alpha != 2kpi$. Ora, come faccio a passare da queste alle equazioni di una generica rotazione, in senso antiorario, con centro in un punto qualsiasi?
Risposte
.
Non so bene come si faccia ad applicare una trasformazione geometrica ad un intero piano. Non sarebbe più semplice traslare solo un punto (il centro) da $(0,0)$ ad $(a,b)$?
.
"sellacollesella":
Traslando \(Oxy\) di vettore \(\overline{O'-O}=(a,b)\) otteniamo \(O'x'y'\) relazionati da:
\begin{cases}
x' = x - a \\
y' = y - b \\
\end{cases}.
Con questa trasli il piano "in profondità" (penso sia la terza dimensione)
"sellacollesella":
Ruotando \(O'x'y'\) di \(\alpha \in [0,2\pi)\) attorno ad \(O'\) otteniamo \(O''x''y''\) relazionati da:
\begin{cases}
x'' = x'\cos\alpha - y'\sin\alpha \\
y'' = x'\sin\alpha + y'\cos\alpha \\
\end{cases}.
Ruoti il piano da dove lo hai traslato in precedenza.
"sellacollesella":
Traslando \(O''x''y''\) di vettore \(\overline{O'''-O''}=(-a,-b)\) otteniamo \(O'''x'''y'''\) relazionati da:
\begin{cases}
x''' = x'' + a \\
y''' = y'' + b \\
\end{cases}.
Riporti il piano "al suo posto" con il centro di rotazione spostato di $(a,b)$ da $(0,0)$. Lo scrivo per capire se la mia interpretazione sia giusta.
"sellacollesella":
\] Non rimane che procedere a ritroso per determinare la trasformazione geometrica piana desiderata: \[
\begin{cases}
x''' = (x-a)\cos\alpha - (y-b)\sin\alpha + a \\
y''' = (x-a)\sin\alpha + (y-b)\cos\alpha + b \\
\end{cases}.
\]
Ovviamente se componessi la trasformazione così: $R°T°T$ (cioè prima applico le due traslazioni), è come se applicassi solo la rotazione $R$ con centro l'origine, giusto? Però mi verrebbe da pensare che se prima trasli il piano in profondità, poi lo fai ruotare attorno ad $O'$ e poi trasli il piano riportandolo dov'era prima, il centro di rotazione non sia cambiato (cioè sia sempre $(0,0)$), ma sicuramente sto sbagliando qualcosa io. Almeno questo è quello che penso a livello astratto, perché applicando le formule a ritroso mi ritrovo col tuo ragionamento.
Forse ho capito: la prima volta che trasli il piano, $O$ non coincide più con $O'$ ($O$ e $O'$ non sono collegati da una retta perpendicolare ai due piani $Oxy$ e $O'x'y'$, intendo questo per "coincidenza"), e quindi se fai ruotare il piano $O'x'y'$ fai ruotare anche $O$. Procedendo a ritroso porti il piano dov'era prima ma il punto $O$ non starà più dov'era prima ma sarà spostato di $(a,b)$.
.
Quindi sono gli assi cartesiani che traslano (nella prima e ultima trasformazione), non è il piano che si sposta in profondità. Ok, ora è più chiaro. Quindi, se io voglio trasformare un punto $P$ con una rotazione di centro $(a,b)$, traslo prima gli assi in modo che il centro coincida con $(a,b)$, da qui faccio la rotazione e poi non traslo $P'$, trasformato di $P$ con la rotazione di cui sopra, del vettore opposto $(-a,-b)$, giusto? Traslo nuovamente solo gli assi cartesiani (riporto l'origine dov'era prima). Perché se traslassi anche $P'$ la trasformazione risultante sarebbe una rotazione con centro $(0,0)$, che non era quello che volevo ottenere.
"sellacollesella":
Traslando \(Oxy\) di vettore \(\overline{O'-O}=(a,b)\) otteniamo \(O'x'y'\) relazionati da: \[
\begin{cases}
x' = x - a \\
y' = y - b \\
\end{cases}.
Comunque qui credo sia il contrario: le equazioni dovrebbero essere $\{(x'=x+a), (y'=y+b) :}$
"sellacollesella":
Traslando \(O''x''y''\) di vettore \(\overline{O'''-O''}=(-a,-b)\) otteniamo \(O'''x'''y'''\) relazionati da: \[
\begin{cases}
x''' = x'' + a \\
y''' = y'' + b \\
\end{cases}.
e qui $\{(x'''=x''-a), (y'''=y''-b) :}$
.
Quindi è il punto $O'=(a,b)$ che fai coincidere con l'origine (io pensavo fosse il contrario, cioè che facessi sovrapporre l'origine $O$ con $(a,b)$ e poi riportassi indietro $O$)
.
Ho sviluppato un esempio su un foglio e in effetti componendo le tue trasformazioni la cosa funziona: sono partito da un riferimento $Oxy$, ho preso un punto $(a,b)$, centro della mia rotazione e un punto $P$ del piano da far ruotare con rotazione di centro $(a,b)$. Però se $a$ e $b$ sono due numeri positivi, se faccio $\{(x'=x-a), (y'=y-b) :}$ io sto traslando tutti i punti del piano di $(-a,-b)$, non di $(a,b)$. Detto questo, con il ragionamento mi trovo: dopo aver traslato $P$ di $(-a,-b)$, lo faccio ruotare con un rotazione di centro $O'=(0,0)$, ottenendo $P''$, e infine traslo $P''$ di $(a,b)$, ottenendo $P'''$, che risulta ruotato di una rotazione con centro in $(a,b)$.
"sellacollesella":
Quindi, trasli tale sistema di riferimento di vettore \((a,b)\),
Sì ma puoi anche ruotare la scrivania
Ad esempio, se traslo, $y=x^2$ di $(2,3)$, le equazioni sono $\{(x'=x+2), (y'=y+3) :}$ e non $\{(x'=x-2), (y'=y-3) :}$. Per questo ho fatto confusione.
.
Comunque credo di aver capito il tuo punto di vista: io quando traslo una curva penso sempre che gli assi cartesiani siano fissi, trasla solo la curva (nel caso di prima di $(2,3)$. Tu invece è come se facessi allontanare gli assi di $(-2,-3)$, e in effetti ottieni un risultato equivalente. Secondo me stiamo dicendo la stessa cosa ma probabilmente tu la dici in modo più corretto.
Però almeno sono d'accordo sul fatto che le equazioni di una rotazione di angolo $alpha$ e centro $(a,b)$ siano quelle; se poi quando devi traslare un punto di un vettore con componenti $(a,b)$ mi dici che fai traslare $Oxy$ di $(-a,-b)$, oppure che prendi $P(x,y)$ e fai $P'(x+a, y+b)$, penso siano modi equivalenti di vedere la cosa. Io trovo più intuitivo il secondo comunque.
Ti ringrazio per la pazienza e per la disponibilità!
Ti ringrazio per la pazienza e per la disponibilità!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo