Ritorno ...alla geometria
La retta generica r,passante per il centroide G del triangolo ABC,taglia
i lati AB ed AC nei punti M ed N rispettivamente.
Dimostrare che e' :
$bar(AM)*bar(NC)+bar(AN)*bar(MB)=bar(AM)*bar(AN)
karl
Risposte
Lo so che non è molto corretto, ma dato che sono curioso e anche incapace di risolverlo, e tenendo conto del fatto che nessuno ha ancora postato la soluzione, puoi cortesemente mostrare la tua.
P.S.: qualora la domanda dovesse risultarti sgradita, chiedo anticipatamente scusa.
P.S.: qualora la domanda dovesse risultarti sgradita, chiedo anticipatamente scusa.
E di che ti dovresti scusare? Anzi ti ringrazio per aver riportato a galla
il quesito ( di cui mi ero completamente dimenticato,confesso...)
Per la soluzione chiedo solo il tempo di scriverla.
karl
il quesito ( di cui mi ero completamente dimenticato,confesso...)
Per la soluzione chiedo solo il tempo di scriverla.
karl
Applico Menelao (sempre lui !!) al triangolo ABK e alla sua trasversale PG:
$(BM)/(AM)*(AG)/(GK)*(KP)/(BP)=1$
da cui :
(1) $(BM)/(AM)=(GK)/(AG)*(BP)/(KP)=(BP)/(2*KP)$
Analogamente ,per lo stesso teorema applicato al triangolo AKC e alla sua trasversale PN,ho:
$(CN)/(AN)*(AG)/(GK)*(KP)/(CP)=1$
da cui :
(2) $(CN)/(AN)=(GK)/(AG)*(CP)/(KP)=(CP)/(2*KP)$
Sommando (1) e (2) risulta:
(3) $(BM*AN+AM*CN)/(AM*AN)=(BP+CP)/(2*KP)$
Ora e':
$BP+CP=BP+BP+BC=2*BP+2*BK=2*(BP+BK)=2*KP$
In questo modo il 2° membro della (3) diventa uguale ad 1 e riducendo la (3) medesima a
forma intera si ha la tesi.
Carino,vero?
karl
Affascinante. Confesso che prima di imbattermi in questo problema che hai proposto non avevo mai sentito il Teorema di Menelao.
Grazie.
Grazie.
Confesso che ho provato un paio di volte a risolvere questo problema da quando è stato postato,
tuttavia non mi era mai venuta l'idea di prolungare $bar(MN)$: a volte basta uscire un pò dagli schemi.
Comunque qui si trova una dimostrazione sintetica alternativa a quella di Karl, non meno interessante.
tuttavia non mi era mai venuta l'idea di prolungare $bar(MN)$: a volte basta uscire un pò dagli schemi.
Comunque qui si trova una dimostrazione sintetica alternativa a quella di Karl, non meno interessante.
nooo ho visto ora che c'è stata una risposta al post 
volevo essere il primo 
comunque, visto che son settimane ormai che penso alla soluzione, voglio postarla, sperando che sia giusta.
eccola:
DEFINIZIONE: due vettori sono paralleli tra loro se e solo se sono uno multiplo scalare dell'altro.
Quindi se due vettori sono paralleli tra loro si possono scrivere come uno multiplo scalare dell'altro.
noi dobbiamo dimostrare che:
$AM*NC+AN*MB=AN*AM
usando i vettori possiamo scrivere che
$AM=||vecA-vecM||
$NC=||vecN-vecC||
$AN=||vecA-vecN||
$MB=||vecM-vecB||
quindi riscrivendo dobbiamo dimostrare che
$||vecA-vecM||*||vecN-vecC||+||vecA-vecN||*||vecM-vecB||=||vecA-vecM||*||vecA-vecN||
essendo sullo stesso lato i segmenti AN e NC sono anche paralleli tra loro, allo stesso modo AM con MB.
per quanto detto nella definizione, valgono le seguenti ugualianze:
$||vecN-vecC||=gamma*||vecA-vecN||
$||vecM-vecB||=delta*||vecA-vecM||
con $gamma,deltainRR$
quindi: $||vecA-vecM||*||vecN-vecC||+||vecA-vecN||*||vecM-vecB||=
$=gamma*||vecA-vecM||*||vecA-vecN||+delta||vecA-vecN||*||vecA-vecM||=
$=||vecA-vecM||*||vecA-vecN||*(gamma+delta)
essendo due numeri reali, possiamo porre $delta=1-gamma$ e quindi $gamma+delta=1$
questo lo possiamo fare in quanto $delta=(||vecM-vecB||)/(||vecM-vecA||)$ e $gamma=(||vecN-vecC||)/(||vecA-vecN||)
quindi si avrebbe che $(||vecM-vecB||)/(||vecM-vecA||)+(||vecN-vecC||)/(||vecA-vecN||)=1$ da qui si deduce che, tenendo conto delle ipotesi poste dal problema e su osservazioni dei vari segmenti all'inizio, $delta>0$ e $gamma>0$ come anche $1-gamma>0$ e quindi la condizione posta è accettabile.
quindi con le ipotesi poste possiamo dire che $||vecA-vecM||*||vecN-vecC||+||vecA-vecN||*||vecM-vecB||=||vecA-vecM||*||vecA-vecN||
che è la tesi.
edit: che ne pensate?
volevo essere il primo comunque, visto che son settimane ormai che penso alla soluzione, voglio postarla, sperando che sia giusta.
eccola:
DEFINIZIONE: due vettori sono paralleli tra loro se e solo se sono uno multiplo scalare dell'altro.
Quindi se due vettori sono paralleli tra loro si possono scrivere come uno multiplo scalare dell'altro.
noi dobbiamo dimostrare che:
$AM*NC+AN*MB=AN*AM
usando i vettori possiamo scrivere che
$AM=||vecA-vecM||
$NC=||vecN-vecC||
$AN=||vecA-vecN||
$MB=||vecM-vecB||
quindi riscrivendo dobbiamo dimostrare che
$||vecA-vecM||*||vecN-vecC||+||vecA-vecN||*||vecM-vecB||=||vecA-vecM||*||vecA-vecN||
essendo sullo stesso lato i segmenti AN e NC sono anche paralleli tra loro, allo stesso modo AM con MB.
per quanto detto nella definizione, valgono le seguenti ugualianze:
$||vecN-vecC||=gamma*||vecA-vecN||
$||vecM-vecB||=delta*||vecA-vecM||
con $gamma,deltainRR$
quindi: $||vecA-vecM||*||vecN-vecC||+||vecA-vecN||*||vecM-vecB||=
$=gamma*||vecA-vecM||*||vecA-vecN||+delta||vecA-vecN||*||vecA-vecM||=
$=||vecA-vecM||*||vecA-vecN||*(gamma+delta)
essendo due numeri reali, possiamo porre $delta=1-gamma$ e quindi $gamma+delta=1$
questo lo possiamo fare in quanto $delta=(||vecM-vecB||)/(||vecM-vecA||)$ e $gamma=(||vecN-vecC||)/(||vecA-vecN||)
quindi si avrebbe che $(||vecM-vecB||)/(||vecM-vecA||)+(||vecN-vecC||)/(||vecA-vecN||)=1$ da qui si deduce che, tenendo conto delle ipotesi poste dal problema e su osservazioni dei vari segmenti all'inizio, $delta>0$ e $gamma>0$ come anche $1-gamma>0$ e quindi la condizione posta è accettabile.
quindi con le ipotesi poste possiamo dire che $||vecA-vecM||*||vecN-vecC||+||vecA-vecN||*||vecM-vecB||=||vecA-vecM||*||vecA-vecN||
che è la tesi.
edit: che ne pensate?
Spero che karl torni nel Forum.
Ritengo che sia una persona molto competente (non solo in matematica) e senza di lui il Forum non sarà più lo stesso.
Ritengo che sia una persona molto competente (non solo in matematica) e senza di lui il Forum non sarà più lo stesso.
"Piera":
Spero che karl torni nel Forum.
Ritengo che sia una persona molto competente (non solo in matematica) e senza di lui il Forum non sarà più lo stesso.
una domanda..
cosa c'entra con questa discussione questo intervento
?
Risposta:
perchè non ti fai i cavoli tuoi?
perchè non ti fai i cavoli tuoi?
Ti rispondo:
aprire un nuovo topic non mi sembrava il caso, è solo che ci tenevo a dire quelle cose, e ho scelto di farlo in un topic di karl. Dov'è il problema?
aprire un nuovo topic non mi sembrava il caso, è solo che ci tenevo a dire quelle cose, e ho scelto di farlo in un topic di karl. Dov'è il problema?
"Piera":
Spero che karl torni nel Forum.
Ritengo che sia una persona molto competente (non solo in matematica) e senza di lui il Forum non sarà più lo stesso.
Perdonatemi se entro nella discussione anche se non centro niente...è un bel pò di tempo che non gurdo il forum...mi sono perso qualche cosa?...cioè: karl ha lasciato il forum????
"Piera":
Risposta:
perchè non ti fai i cavoli tuoi?
perchè sono un ficcanaso
ps che modo di rispondere è?
nn importa
"Piera":
Spero che karl torni nel Forum.
Ritengo che sia una persona molto competente (non solo in matematica) e senza di lui il Forum non sarà più lo stesso.
Non posso che sottoscrivere. Mi rattrista che sia stato cacciato uno dei pochi
da cui potevo imparare; il livello del forum si abbassa notevolmente, e stento
a trovare un motivo per continuare a frequentarlo.
Karl era uno dei pochi utenti che proponeva esercizi stimolanti e alternativi.
Su questo, il forum ha perso di sicuro, sul resto non saprei.
Anche a me dispiace che non posterà più.
Su questo, il forum ha perso di sicuro, sul resto non saprei.
Anche a me dispiace che non posterà più.
Per Elgiovo (che saluto!)
Il poco tempo che ho, purtroppo, mi offre scarse occasioni per
frequentarvi, ma ciò che fin qui ho potuto vedere e interpretare
mi porta a dire questo.
Non penso che il livello del forum, senza Karl, possa abbassarsi
notevolmente, poiché ritengo che ci siano diversi utenti brillanti
fra voi. Credo senz'altro, tuttavia, che Karl sia unico e imperdibile,
straordinariamente istruttivo. Dalle sue risoluzioni, almeno da
quelle che ho avuto l'opportunità di leggere e capire, ho sempre
imparato molto anch'io e non le ho mai trovate meccaniche,
scolastiche o di routine.
Devo dire che mi ha lasciato una tristissima sensazione accorgermi
del suo nick disattivato. Fra l'altro, questa cosa ha cancellato i post
"PM" che ci siamo scambiati e mi dispiace molto averli perduti.
Il poco tempo che ho, purtroppo, mi offre scarse occasioni per
frequentarvi, ma ciò che fin qui ho potuto vedere e interpretare
mi porta a dire questo.
Non penso che il livello del forum, senza Karl, possa abbassarsi
notevolmente, poiché ritengo che ci siano diversi utenti brillanti
fra voi. Credo senz'altro, tuttavia, che Karl sia unico e imperdibile,
straordinariamente istruttivo. Dalle sue risoluzioni, almeno da
quelle che ho avuto l'opportunità di leggere e capire, ho sempre
imparato molto anch'io e non le ho mai trovate meccaniche,
scolastiche o di routine.
Devo dire che mi ha lasciato una tristissima sensazione accorgermi
del suo nick disattivato. Fra l'altro, questa cosa ha cancellato i post
"PM" che ci siamo scambiati e mi dispiace molto averli perduti.
"Bruno":
Credo senz'altro, tuttavia, che Karl sia unico e imperdibile,
straordinariamente istruttivo. Dalle sue risoluzioni, almeno da
quelle che ho avuto l'opportunità di leggere e capire, ho sempre
imparato molto anch'io e non le ho mai trovate meccaniche,
scolastiche o di routine.
Si, il senso della mia affermazione è proprio questo, non ho mai voluto
sminuire nessuno, sia ben chiaro.
La questione dei PM, di cui mi sono accorto dopo il messaggio di Bruno,
mi rattrista ulteriormente.
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