Risolvere limite con esponenti,logaritmo e seno

[insule23]

salve avrei un aiuto su come svolgere questo esercizio..
si risolva ,se esiste ,attraverso l'uso di limiti notevoli il seguente limite

[math]\lim_{x \to +\infty }\frac{e^{x}-3^{x}+x}{x^{2}-log\left ( x^{3} \right )}+sin x[/math]

abbiamo che il limite si presenti nelle seguenti forme indeterminate ovvero:

[math]\frac{\infty }{\infty }[/math]

se mi potete aiutare spiegandomi
come poter iniziare a risolverlo..
grazie

[ciampax]

Più che hai limiti notevoli, penserei a confronti locali, cioè a determinare quali sono le funzioni che vanno a infinito prima delle altre. Nel numeratore, ad esempio, puoi ragionare così: gli esponenziali sono più "grandi" delle potenze di x, inoltre maggiore è la base dell'esponenziale, maggiore è la velocità con cui va ad infinito. Pertanto il numeratore si può sostituire con la sola funzione

[math]-3^x[/math]

. Per il denominatore, visto che le potenze sono più veloci dei logaritmi, puoi sostituire tutto con

[math]x^2[/math]

. Il limite diventa pertanto

[math]\lim_{x\to +\infty}\frac{-3^x}{x^2}+\sin x[/math]

Ora, osserviamo che la frazione, sebbene si presenti ancora nella forma indeterminata, ha come limite

[math]-\infty[/math]

: infatti, seguendo i ragionamenti precedenti, l'esponenziale vince sulla potenza, e quindi i limite si comporta come il numeratore. Cosa ce ne facciamo della funzione seno? Sappiamo che essa non ha limite per x che tende a infinito: tuttavia osserva che tale funzione è limitata, in quanto assume valori

[math]c\in[-1,1][/math]

: pertanto il tuo limite ha come risultato il valore

[math]-\infty+c,\ c\in[-1,1][/math]

e dal momento che gli infiniti mangiano le costanti, dal teorema del confronto puoi affermare che il limite vale

[math]-\infty[/math]