Risolvere la seguente disequazione
salve avrei bisogno di un aiuto con la risoluzione della disequazione:
per chi non legge latex: [arc cos ( log_{{1}{2}} | 1-cos x |) - pigreco/2] * \sqrt{sin^{2}x-3sin x}
[math]arc cos [( log_\frac{1}{2} | 1-cos(x) |) - \frac{\pi }{2}] \cdot \sqrt{sin^{2}(x)-3sin x}\leq 0[/math]
per chi non legge latex: [arc cos ( log_{{1}{2}} | 1-cos x |) - pigreco/2] * \sqrt{sin^{2}x-3sin x}
Risposte
Dunque, vogliamo calcolare la seguente disequazione:
Per evitare di fare una montagna di calcoli (che poi si rivelerebbero
superflui) occorre porgere particolare attenzione ai due fattori presenti
a membro sinistro. In particolare non è difficile notare che si tratta di
due funzioni (arcocoseno e radice quadrata) che in output porgono
solo quantità non negative (nel loro dominio).
Dato che a noi interessano solamente i valori per cui tale prodotto è
negativo o nullo (il primo fattore lo è quando l'argomento dell'arccos
è pari all'unità mentre il secondo quando il radicando è nullo), tale
disequazione avrà la stessa soluzione del seguente sistema:
Dai, ora prova a procedere scrivendo qualche tuo passaggio ;)
[math] \arccos\left(\log_{\frac{1}{2}}\left|1-\cos x\right|-\frac{\pi}{2}\right)\sqrt{\sin x\,\left(\sin x - 3\right)} \le 0 \; . \\[/math]
Per evitare di fare una montagna di calcoli (che poi si rivelerebbero
superflui) occorre porgere particolare attenzione ai due fattori presenti
a membro sinistro. In particolare non è difficile notare che si tratta di
due funzioni (arcocoseno e radice quadrata) che in output porgono
solo quantità non negative (nel loro dominio).
Dato che a noi interessano solamente i valori per cui tale prodotto è
negativo o nullo (il primo fattore lo è quando l'argomento dell'arccos
è pari all'unità mentre il secondo quando il radicando è nullo), tale
disequazione avrà la stessa soluzione del seguente sistema:
[math]\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}\left|1-\cos x\right|-\frac{\pi}{2} = 1 \; \vee \; \sin x\,\left(\sin x - 3\right) = 0 \\ - 1 \le \log_{\frac{1}{2}}\left|1-\cos x\right|-\frac{\pi}{2} \le 1 \\ \sin x\,\left(\sin x - 3\right) \ge 0 \end{cases} \\[/math]
Dai, ora prova a procedere scrivendo qualche tuo passaggio ;)
io ho provato a risolvere in questo modo... essendo il valore di un arcoseno è sempre positivo o zero e lo stesso dicasi per il radicale.
Quindi l'espressione non sarà mai negativa, potrà essere eventualmente uguale a 0
riduciamo allora tutto a
sarà 0 quando
(1)
oppure quando
(2)
la (1) è risolta per
ma 1 non potrà mai essere e^(π/2) quindi la (1) non ha soluzione.
la (2) è risolta per
e siccome
resta solo
ovvero
Quindi l'espressione non sarà mai negativa, potrà essere eventualmente uguale a 0
riduciamo allora tutto a
[math]arcos\left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-cos(x)) \right | - \frac{\pi }{2}\right )\cdot \sqrt{sin^{2}(x)-3sin(x)}= 0[/math]
sarà 0 quando
(1)
[math]arcos\left ( log_{\frac{1}{2}}\left | 1-cos(x)) \right | - \frac{\pi }{2}\right )= 0[/math]
oppure quando
(2)
[math]\sqrt{sin^{2}(x)-3sin(x)}= 0[/math]
la (1) è risolta per
[math]log_{\frac{1}{2}}\left | 1-cos(x)) \right |=\frac{\pi }{2}[/math]
[math](1-cos x)=e^\frac{\pi }{2}[/math]
ma 1 non potrà mai essere e^(π/2) quindi la (1) non ha soluzione.
la (2) è risolta per
[math]sin^2(x)- 3·sin(x) = 0[/math]
[math]sin(x)(sin(x) - 3) = 0[/math]
e siccome
[math]sin(x) - 3 = 0[/math]
non ha soluzioniresta solo
[math]sin(x) = 0[/math]
ovvero
[math]x = πK[/math]
con K € R
Bene, vedo che hai seguito il ragionamento che ti ho suggerito.
Alcune osservazioni/correzioni. Nella seconda equazione, occhio
che
e "ricominciare". Infatti per prima cosa rileggi quello che ti ho scritto,
in quanto il primo fattore (riguardante l'arcocoseno) si annulla se e
soltanto se il proprio argomento è pari all'unità (e non a zero come
per la radice quadrata)!! A quel punto, ulteriore attenzione: la base
del logaritmo non è
verificare se la soluzione trovata è "compatibile" con la disequazione
iniziale: insomma, non dobbiamo dimenticarci delle condizioni di esistenza!!
Alcune osservazioni/correzioni. Nella seconda equazione, occhio
che
[math]k\in \mathbb{Z}[/math]
. Quanto alla prima equazione occorre "azzerare" e "ricominciare". Infatti per prima cosa rileggi quello che ti ho scritto,
in quanto il primo fattore (riguardante l'arcocoseno) si annulla se e
soltanto se il proprio argomento è pari all'unità (e non a zero come
per la radice quadrata)!! A quel punto, ulteriore attenzione: la base
del logaritmo non è
[math]e[/math]
bensì [math]1/2[/math]
. Arrivati a quel punto, occorrerà verificare se la soluzione trovata è "compatibile" con la disequazione
iniziale: insomma, non dobbiamo dimenticarci delle condizioni di esistenza!!
Scusami cosa dovrei fare quindi... Mi puo
dire cosa devo dare esattamente .. Grazie.
dire cosa devo dare esattamente .. Grazie.
Devi semplicemente tradurre in "matematichese" ciò che ho scritto:
Bene, abbiamo determinato la soluzione "provvisoria":
Perché provvisoria? Bhé, finora non ci siamo curati delle condizioni di esistenza!
In questo caso, il modo più semplice per farlo è sostituire la soluzione ottenuta
nella disequazione di partenza e vedere se è verificata. Per farlo in maniera
agevole basta porre
gli altri
Alla "fin della fiera", la soluzione definitiva qual è? :)
[math]\begin{align} &\arccos\left( \log_{\frac{1}{2}}\left|1-\cos x\right| - \frac{\pi}{2} \right) = 0 \; \Leftrightarrow \\ &\log_{\frac{1}{2}}\left|1-\cos x\right| - \frac{\pi}{2} = 1 \; \Leftrightarrow \\ & \log_{\frac{1}{2}}\left|1-\cos x\right| = 1 + \frac{\pi}{2} \; \Leftrightarrow \\ &1 - \cos x = \left(\frac{1}{2}\right)^{1 + \frac{\pi}{2}} \; \Leftrightarrow \\ &\cos x = 1 - 2^{-\left(1 + \frac{\pi}{2}\right)} \; \Leftrightarrow \\ &x = \pm \arccos\left(1 - 2^{-\left(1 + \frac{\pi}{2}\right)}\right) + 2k\pi \; \; \; per \; k\in\mathbb{Z} \; . \end{align}\\[/math]
Bene, abbiamo determinato la soluzione "provvisoria":
[math]x = \pm \arccos\left(1 - 2^{-\left(1 + \frac{\pi}{2}\right)}\right) + 2k\pi \; \vee \;\; x=k\pi \; \; per \; k\in\mathbb{Z} \; .\\[/math]
Perché provvisoria? Bhé, finora non ci siamo curati delle condizioni di esistenza!
In questo caso, il modo più semplice per farlo è sostituire la soluzione ottenuta
nella disequazione di partenza e vedere se è verificata. Per farlo in maniera
agevole basta porre
[math]k=0[/math]
: il resposo che si otterrà sarà estendibile per tutti gli altri
[math]k\\[/math]
.Alla "fin della fiera", la soluzione definitiva qual è? :)
la soluzione sarà semplicemente:
giusto???
[math] x=k\pi \; \; per \; k\in\mathbb{Z} \; .\\[/math]
giusto???
Ah sì? Per quale motivo? Insomma, perché hai scartato proprio il resto? :)
Essendo la soluzione accettabile ..
Altrimenti non saprei che dire..
Se me lo spieghi così posso capire..
Grazie-
Altrimenti non saprei che dire..
Se me lo spieghi così posso capire..
Grazie-
E' li il punto, ciò che "non hai scartato" non è accettabile! Come capirlo? Sostituendo tale soluzione (come consigliato sopra) per
Infatti, per
Conclusione:
[math]k=0[/math]
nella disequazione di partenza. Certo, bisogna trovare il tempo per farlo...Infatti, per
[math]x=0[/math]
l'argomento del logaritmo si annulla e ciò falsifica tutta la proposizione. Per quanto riguarda l'altro "pezzo" di soluzione (che per via del [math]\pm[/math]
è doppia), la "parte positiva" è da scartare in quanto fa diventare negativo il radicando.Conclusione:
[math]Soluzione = \left\{ x\in\mathbb{R} : x = - \arccos\left(1-2^{-\left(1+\frac{\pi}{2}\right)}\right) + 2k\pi, \; k\in\mathbb{Z} \right\}\; . [/math]
e quindi in conclusione quale è la soluzione della disequazione???
inoltre come faccio a risolvere questa uguaglianza:
scusa ma sto andando in confusione... potretsi ricapitolare il tutto??? grazie :-)
inoltre come faccio a risolvere questa uguaglianza:
[math]x = \pm \arccos\left(1 - 2^{-\left(1 + \frac{\pi}{2}\right)}\right) + 2k\pi \; \; .\\[/math]
scusa ma sto andando in confusione... potretsi ricapitolare il tutto??? grazie :-)
Ho già ricapitolato tutto nel precedente intervento: la soluzione finale è scritta grande una casa :D
Per quanto riguarda quella quantità, non occorre calcolarla in "maniera precisa" (fattibile solamente con una calcolatrice) ma è sufficiente approssimarla ad occhio per capire se verifica o meno la disequazione di partenza.
Per quanto riguarda quella quantità, non occorre calcolarla in "maniera precisa" (fattibile solamente con una calcolatrice) ma è sufficiente approssimarla ad occhio per capire se verifica o meno la disequazione di partenza.
ok grazie mille..
Ma sono difficili
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