Risolvere equazione logaritmica

[thedarkhero]

Cerco le soluzioni dell'equazione $xln(x-1)-x-3=0$.
Tale equazione ha senso solamente se $x>1$.
Non ho idea di come poter trovare le soluzioni dell'equazione, se non per via grafica.
Per provare a farmi un'idea almeno di quante sono ho pensato di studiare l'eventuale monotonicità della funzione $f(x)=xln(x-1)-x-3$ ne ho calcolato la derivata $f'(x)=ln(x-1)+1/(x-1)$, ma anche in questo caso non ho idea di come studiare il segno.
Qualche suggerimento?

[@melia]

Ti conviene considerare le due funzioni

$y=ln(x-1)$ e $y=(x+3)/x$

E poi cercare i punti di intersezione.

[ghira1]

"thedarkhero":Cerco le soluzioni dell'equazione $xln(x-1)-x-3=0$.

Qualche suggerimento?

Numericamente?

Iterare $x*\log(x-1)-3$ non funziona.

Iterare $\frac{3+x}{\log(x-1)}$ sì però:

#!/usr/local/bin/perl

$|=1;
$x=10;
while (1) {
print $x."\n";
$x=3+$x/log($x-1);
}

stampa:
10
7.55119613313419
7.01734662252999
6.91015556912434

poi fra non tanto:
6.88444140324178
6.88444140324178

Così abbiamo _una_ soluzione, almeno.

[Bokonon]

"@melia":Ti conviene considerare le due funzioni

$y=ln(x-1)$ e $y=(x+3)/x=1+3/x$

E poi cercare i punti di intersezione.

Concordo con @melia
Dalle due curve noto che una è un'iperbole ed è sempre positiva monotona decrescente. La logaritmica è monotona crescente e quindi devono incontrarsi in solo punto per $x>2$. Dalla derivata si vede che è sempre positiva in $(2,oo)$ quindi il punto di intersezione non è un punto critico.
A questo punto posso usare (per esempio) il metodo di Newton.