Risoluzione sistema di disequazioni - programmazione lineare
Buona sera
rieccomi con un dubbio su questo problema.
Non riesco a impostare correttamente la condizione finale che mi serve per risolverlo
Il testo è il seguente
parto impostando i vincoli:
la quantità x del prodotto p1 va posta maggiore o uguale di zero
la quantità y del prodotto p2 va posta maggiore o uguale di zero
ho un vincolo sull'utilizzo delle materie prime dato da 2kg di materia prima per il prodotto p1 e 3 kg di materia prima per il prodotto p2 non deve essere superiore a 2400 Kg quindi:
$ { ( x>=0 ),(y>=0 ),( 2x+3y<=2400 ):} $
a questo punto posso identificare la funzione dei costi
$z=2x*1,5€ + 3y*1,5$
$z=3x + 9/2y$
e la funzione dei ricavi
$z=11x+15y$
la funzione profitto è la seguente:
$z=11x+15y-3x-9/2y$
a questo punto dovrei incrociare i vincoli con l'informazione del profitto ma non riesco a saltarci fuori.
Non è difficile ma porca
non mi viene
help
rieccomi con un dubbio su questo problema.
Non riesco a impostare correttamente la condizione finale che mi serve per risolverlo
Il testo è il seguente
parto impostando i vincoli:
la quantità x del prodotto p1 va posta maggiore o uguale di zero
la quantità y del prodotto p2 va posta maggiore o uguale di zero
ho un vincolo sull'utilizzo delle materie prime dato da 2kg di materia prima per il prodotto p1 e 3 kg di materia prima per il prodotto p2 non deve essere superiore a 2400 Kg quindi:
$ { ( x>=0 ),(y>=0 ),( 2x+3y<=2400 ):} $
a questo punto posso identificare la funzione dei costi
$z=2x*1,5€ + 3y*1,5$
$z=3x + 9/2y$
e la funzione dei ricavi
$z=11x+15y$
la funzione profitto è la seguente:
$z=11x+15y-3x-9/2y$
a questo punto dovrei incrociare i vincoli con l'informazione del profitto ma non riesco a saltarci fuori.
Non è difficile ma porca
non mi vienehelp
Risposte
Graficamente puoi disegnare l'insieme di ammissibilità delle soluzioni partendo dalle disequazioni (un bel triangolo) e quindi disegnare la retta del profitto per valori di z crescenti (sono tutte rette parallele) e quindi trovare il punto di ottimo.
Però per questo tipo di problemi si sa già a priori dove sono i possibili punti di ottimo.
Però per questo tipo di problemi si sa già a priori dove sono i possibili punti di ottimo.
Teoricamente dovrei incrociare la retta profitto con le condizioni e quello dovrebbe essere il mio punto di ottimo economico. Ma algebricamente come faccio a farlo? dove sto sbagliando.
Ho provato anche a sostituire la y trovata nelle soluzione della disequazione $y<=800-2/3x$ all'interno della funzione profitto ma niente da fare
Ho provato anche a sostituire la y trovata nelle soluzione della disequazione $y<=800-2/3x$ all'interno della funzione profitto ma niente da fare
Dovrei pensarci su se esiste un'impostazione semplice che ti permette di risolvere il problema in modo puramente algebrico, ma comunque in generale il concetto è che se hai un poligono chiuso e convesso che rappresenta il tuo insieme di ammissibilità e un fascio di rette parallele di profitto, graficamente si capisce subito che la retta passante per uno dei vertici individuerà il punto di max o di min.
Pertanto le possibili soluzioni sono nei vertici del poligono ovvero nel caso in questione (0,0) (0, 800), (1200,0). Il vertice che sostituito nella funzione di profitto ti da il valore max è la soluzione.
Pertanto le possibili soluzioni sono nei vertici del poligono ovvero nel caso in questione (0,0) (0, 800), (1200,0). Il vertice che sostituito nella funzione di profitto ti da il valore max è la soluzione.
la tua spiegazione è logica.
quindi utilizzi il concetto delle linee di livello.
potrei nel caso aggiungere un'altra condizione magari.
Solitamente in esercizi di questo tipo, a parte le due condizioni di positività delle variabili x e y, trovo due vincoli "tecnici" ossia legati a quantità.
Potrei eventualmente pensare di impostare il vincolo del denaro, ossia: se il costo è sempre 1,50 €, al massimo posso spendere 2400*1,50 = 3600 €.
quindi la somma della quantità X da produrre e la Y non deve superare i 3600 €. Che dici.
quindi utilizzi il concetto delle linee di livello.
potrei nel caso aggiungere un'altra condizione magari.
Solitamente in esercizi di questo tipo, a parte le due condizioni di positività delle variabili x e y, trovo due vincoli "tecnici" ossia legati a quantità.
Potrei eventualmente pensare di impostare il vincolo del denaro, ossia: se il costo è sempre 1,50 €, al massimo posso spendere 2400*1,50 = 3600 €.
quindi la somma della quantità X da produrre e la Y non deve superare i 3600 €. Che dici.
"ingres":
si capisce subito che la retta passante per uno dei vertici individuerà il punto di max o di min.
Pertanto le possibili soluzioni sono nei vertici del poligono ovvero nel caso in questione (0,0) (0, 800), (1200,0). Il vertice che sostituito nella funzione di profitto ti da il valore max è la soluzione.
perchè però se metto a sistema l'equazione del vincolo con l'equazione del profitto il punto di incontro non risulta 1200.
Se inserisci un altro vincolo ad es. un massimale di costo questo per essere coerente con la soluzione dovrà risultare $1.5*x+1.5*y le 1800$. Se si fa il grafico tenendo conto anche di questo vincolo il dominio di ammissibilità non mi sembra che cambi per cui la soluzione rimarrà la stessa.
Allora, non capisco il problema.
Inizi con il disegnare le tre rette
$x=0$, $y=0$ e $2x+3y=2400$ poi, utilizzando le disequazioni trovi il dominio soluzione, che non è altro che il triangolo $(0,0); (1200, 0); (0,800)$
A questo punto devi trovare il massimo della funzione obiettivo (il guadagno), che è individuata dal fascio di rette $8x+10.5 y=k$
Disegni la retta base del fascio per individuarne l'inclinazione $8x+10.5 y=0$, funziona anche senza questo disegno, ma così la vedi meglio.
Trovi le rette del fascio che passano per ciascuno dei 3 vertici del triangolo $(0,0); (1200, 0); (0,800)$, la tua soluzione è quella che ha il $k$ maggiore.
Inizi con il disegnare le tre rette
$x=0$, $y=0$ e $2x+3y=2400$ poi, utilizzando le disequazioni trovi il dominio soluzione, che non è altro che il triangolo $(0,0); (1200, 0); (0,800)$
A questo punto devi trovare il massimo della funzione obiettivo (il guadagno), che è individuata dal fascio di rette $8x+10.5 y=k$
Disegni la retta base del fascio per individuarne l'inclinazione $8x+10.5 y=0$, funziona anche senza questo disegno, ma così la vedi meglio.
Trovi le rette del fascio che passano per ciascuno dei 3 vertici del triangolo $(0,0); (1200, 0); (0,800)$, la tua soluzione è quella che ha il $k$ maggiore.
"Marco1005":
Ma algebricamente come faccio a farlo?
Come in un altro esercizio che avevi proposto, devi trattare le disequazioni parametriche esplicitando le condizioni imposte dalla logica del problema:
Funzione obiettivo
$z=8x+21/2y$
Vincoli
$\{(x gt= 0),(y gt 0),(2x+3y lt= 2400):}$
Poichè:
$[2x+3y lt= 2400] rarr [y lt= -2/3x+800]$
$[z=8x+21/2y] rarr [y=2/21z-16/21x]$
da un lato:
$[-2/3x+800 gt= 0] rarr [x lt= 1200]$
dall'altro:
$[2/21z-16/21x lt= -2/3x+800] rarr [z lt= x+8400]$
In definitiva:
$\{(x lt= 1200),(z lt= x+8400):} rarr [z_(max)=1200+8400] rarr [z_(max)=9600]$
Dando per buono che il problema è impostato correttamente, detta $mathcal{A}$ la regione ammissibile delimitata dalle disuguaglianze:
$\{ (x >= 0), (y>=0), (2x+3y<=2400):}$
(che è un triangolo di vertici $O=(0,0)$, $Q=(0,800)$ e $P=(1200, 0)$), vuoi cercare il:
$max_((x,y) in mathcal{A}) z =8x+21/2y$.
L'idea è questa.
Scegliendo di considerare $z$ come parametro (quindi, scegliendo di considerare la proiezione sul piano $Ozy$ delle linee di livello del grafico della funzione obiettivo), l'uguaglianza:
$8x+21/2y = z$
individua un fascio di rette parallele e risolvere il tuo problema di massimo equivale a trovare il valore massimo per $z$ affinché la retta $8x+21/2y = z$ intersechi la regione ammissibile $mathcal{A}$.
Portando in forma esplicita l'equazione del fascio:
$y = - 16/21 x + 2/21 z$
si vede che, aumentando $z$, la retta del fascio trasla verso l'alto; inoltre, essa non è parallela all'ipotenusa della regione ammissibile ed, anzi, ha pendenza -negativa- maggiore (cioè al segmento $PQ$, perché la retta per i due estremi ha come coefficiente angolare $m=-2/3 > - 16/21$).
Nel diagramma, in arancione la regione $mathcal(A)$ ed in magenta, viola, blue ed turchese le rette del fascio che intersecano $mathcal(A)$, in rosa ed azzurro due rette che non la intersecano.
[asvg]xmin=-2; xmax=12; ymin=-2; ymax=12;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="gray"; marker="arrow"; line([-3,6],[3,12]); text([3,12],"z crescente",right);
stroke="red"; strokewidth=2; fill="orange"; marker="none";
path([[0,0],[12,0],[0,8],[0,0]]);
text([3,3], "A");
stroke="magenta"; plot("-16/21*x",-3,13);
stroke="purple"; plot("-16/21*x+4",-3,13);
stroke="blue"; plot("-16/21*x+8",-3,13);
stroke="dodgerblue"; plot("-16/21*(x-12)",-3,13);
stroke="pink"; plot("-16/21*x-1",-3,13);
stroke="cyan"; plot("-16/21*x+12",-3,13);[/asvg]
Ciò implica che il massimo termine noto per cui la retta del fascio incontra la regione ammissibile è quello per cui la retta passa per il punto $P$, quindi:
$z_max = 8*1200 + 21/2 * 0 = 9600$.
$\{ (x >= 0), (y>=0), (2x+3y<=2400):}$
(che è un triangolo di vertici $O=(0,0)$, $Q=(0,800)$ e $P=(1200, 0)$), vuoi cercare il:
$max_((x,y) in mathcal{A}) z =8x+21/2y$.
L'idea è questa.
Scegliendo di considerare $z$ come parametro (quindi, scegliendo di considerare la proiezione sul piano $Ozy$ delle linee di livello del grafico della funzione obiettivo), l'uguaglianza:
$8x+21/2y = z$
individua un fascio di rette parallele e risolvere il tuo problema di massimo equivale a trovare il valore massimo per $z$ affinché la retta $8x+21/2y = z$ intersechi la regione ammissibile $mathcal{A}$.
Portando in forma esplicita l'equazione del fascio:
$y = - 16/21 x + 2/21 z$
si vede che, aumentando $z$, la retta del fascio trasla verso l'alto; inoltre, essa non è parallela all'ipotenusa della regione ammissibile ed, anzi, ha pendenza -negativa- maggiore (cioè al segmento $PQ$, perché la retta per i due estremi ha come coefficiente angolare $m=-2/3 > - 16/21$).
Nel diagramma, in arancione la regione $mathcal(A)$ ed in magenta, viola, blue ed turchese le rette del fascio che intersecano $mathcal(A)$, in rosa ed azzurro due rette che non la intersecano.
[asvg]xmin=-2; xmax=12; ymin=-2; ymax=12;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="gray"; marker="arrow"; line([-3,6],[3,12]); text([3,12],"z crescente",right);
stroke="red"; strokewidth=2; fill="orange"; marker="none";
path([[0,0],[12,0],[0,8],[0,0]]);
text([3,3], "A");
stroke="magenta"; plot("-16/21*x",-3,13);
stroke="purple"; plot("-16/21*x+4",-3,13);
stroke="blue"; plot("-16/21*x+8",-3,13);
stroke="dodgerblue"; plot("-16/21*(x-12)",-3,13);
stroke="pink"; plot("-16/21*x-1",-3,13);
stroke="cyan"; plot("-16/21*x+12",-3,13);[/asvg]
Ciò implica che il massimo termine noto per cui la retta del fascio incontra la regione ammissibile è quello per cui la retta passa per il punto $P$, quindi:
$z_max = 8*1200 + 21/2 * 0 = 9600$.
"gugo82":
Dando per buono che il problema è impostato correttamente...
Il problema è impostato correttamente.
Grazie per aver rappresentato graficamente quello che avevo cercato di scrivere a parole.
"@melia":
[quote="gugo82"]Dando per buono che il problema è impostato correttamente...
Il problema è impostato correttamente.[/quote]
Stavo seguendo un seminario, quindi non avevo il tempo di controllare.
"@melia":
Grazie per aver rappresentato graficamente quello che avevo cercato di scrivere a parole.
Prego. I disegni sul forum sono una rottura di scatole immane, ma in questo caso la faccenda era semplice.
P.S.: Il plugin di GeoGebra ha smesso di funzionare da un po', altrimenti sarebbe stato utile.
"Noodles":
da un lato:
$[-2/3x+800 gt= 0] rarr [x lt= 1200]$
Scusa l'ignoranza ma perchè porre $[-2/3x+800 gt= 0]$?
"Noodles":
dall'altro:
$[2/21z-16/21x lt= -2/3x+800] rarr [z lt= x+8400]$
qui non capisco perchè la funzione obiettivo deve essere inferiore o uguale a $ -2/3x+800$
"gugo82":
Ciò implica che il massimo termine noto per cui la retta del fascio incontra la regione ammissibile è quello per cui la retta passa per il punto $P$, quindi:
$z_max = 8*1200 + 21/2 * 0 = 9600$.
Grazie mille per il disegno gugo davvero bello. Il senso l'ho capito.
Ma se provo a fare i calcoli non mi convinco;
risolvo $2/21z-16/21x<=-2/3x+800$
$z<=x+8400$
e poi qui? ho capito che ci andrebbe 1200 al posto della x ma perchè?
Se avessi letto le mie istruzioni ...
"@melia":
Se avessi letto le mie istruzioni ...
le ho lette @melia, so che al posto della x ci andrebbero i vertici del triangolo identificato da tutti i vertici che trovo grazie alle condizioni impostate a sistema. Ma quando arrivo qui non collego bene e mi impappino
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