Risoluzione quesito facsimile maturità
Data la funzione: $ y=x+1/3x^2 $ , fra tutte le rette passanti per l'origine delle coordinate, determinare quella su cui la curva intercetta un segmento di lunghezza minima.
Nella risoluzione ho fatto il sistema fra la funzione data e un fascio di rette passanti per l'origine di equazione $ y=kx $
Però (credo sia qui l'errore) ho calcolato solo le ascisse dei generici punti, senza sostituirle nella funzione iniziale per trovare anche le ordinate generiche! Questo perchè le ascisse generiche risultano $ x=0 $ e $ x=3(k-1) $ .
La lunghezza del segmento risulta quindi 3(k-1), e la lunghezza minima (per k=1) risulta nulla! quindi la retta richiesta sarebbe la bisettrice del I e III quadrante ( $ y=x $ ). Invece il mio professore , trovando anche le ascisse e la distanza generica fra i due generici punti, ha trovato una funzione di secondo grado (se non sbaglio), derivabile ed ha quindi trovato un minimo.... ma graficamente non vedo il senso di tutto ciò! Infatti la parabola data originariamente passa per l'origine (c=0) e le rette sono "passanti per l'origine delle coordiante"..quindi il segmento minimo sarà quello degenere nullo, oppure uno \( \longrightarrow 0 \) ...
Nella risoluzione ho fatto il sistema fra la funzione data e un fascio di rette passanti per l'origine di equazione $ y=kx $
Però (credo sia qui l'errore) ho calcolato solo le ascisse dei generici punti, senza sostituirle nella funzione iniziale per trovare anche le ordinate generiche! Questo perchè le ascisse generiche risultano $ x=0 $ e $ x=3(k-1) $ .
La lunghezza del segmento risulta quindi 3(k-1), e la lunghezza minima (per k=1) risulta nulla! quindi la retta richiesta sarebbe la bisettrice del I e III quadrante ( $ y=x $ ). Invece il mio professore , trovando anche le ascisse e la distanza generica fra i due generici punti, ha trovato una funzione di secondo grado (se non sbaglio), derivabile ed ha quindi trovato un minimo.... ma graficamente non vedo il senso di tutto ciò! Infatti la parabola data originariamente passa per l'origine (c=0) e le rette sono "passanti per l'origine delle coordiante"..quindi il segmento minimo sarà quello degenere nullo, oppure uno \( \longrightarrow 0 \) ...
Risposte
Il tuo ragionamento è giusto.
Son d'accordo pure io e,se ho ben intuito,
l'errore del tuo Prof è stato considerare il minimo della parabola d'equazione $y=k^2+1$ e non,come avrebbe dovuto,
della funzione $y=9|k-1|sqrt(k^2+1): RRto RR$
(disegnando la quale,guarda un pò,si vede che ha minimo assoluto $0$ nel suo punto d'ascissa $1$..):
saluti dal web.
l'errore del tuo Prof è stato considerare il minimo della parabola d'equazione $y=k^2+1$ e non,come avrebbe dovuto,
della funzione $y=9|k-1|sqrt(k^2+1): RRto RR$
(disegnando la quale,guarda un pò,si vede che ha minimo assoluto $0$ nel suo punto d'ascissa $1$..):
saluti dal web.
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