Risoluzione problema con equazioni di primo grado
Come si risolve questo problema mediante equazioni di primo grado? Si devono disporre sul tavolo 50 bicchieri in file parallele. Il numero di bicchieri per fila supera di 5 il numero delle file. Quante sono le file e quanti sono i bicchieri?
Risposte
Certo che arrivi al risultato giusto; l' equazione risolvente è di secondo grado quindi ha due soluzioni, una compatibile con le condizioni del problema, l' altra no; tieni quella compatibile e scarti l' altra.
$bf=50$ e $b=f+5$
Sostituisco e ottengo $(f+5)(f)=50$ da cui $f^2+5f-50=0$.
Scompongo $(f+10)(f-5)=0$ da cui ottengo due equazioni di primo grado $f+10=0$ e $f-5=0$
La soluzione della prima è $f= -10$ che non è accettabile (non esistono file negative), la seconda è $f=5$ che è accettabile.
Sostituisco e ottengo $(f+5)(f)=50$ da cui $f^2+5f-50=0$.
Scompongo $(f+10)(f-5)=0$ da cui ottengo due equazioni di primo grado $f+10=0$ e $f-5=0$
La soluzione della prima è $f= -10$ che non è accettabile (non esistono file negative), la seconda è $f=5$ che è accettabile.
"GiuseppeMate":
Non credo di raggiungere il risultato giusto.
Non devi "credere", devi "essere certo".
L'unico modo che hai per "essere certo" è metterti a scrivere due calcoli su un foglio e riportarli sul forum, in modo che le persone che stanno cercando di aiutarti a riuscire da solo possano correggerti e guidarti su una strada giusta.
"GiuseppeMate":
Non credo di raggiungere il risultato giusto. Perché i bicchieri sono 10 le file 5. Ma trovo il procedimento matematico corretto
Scusa, ma perché dici che i bicchieri sono 10? I bicchieri sono 50, lo dice la traccia. Le due incognite, lo hai detto tu stesso, sono le file e le colonne.
Ho letto tutta la discussione; per farti capire meglio, riprovo a impostare il problema passo per passo dall'inizio.
Prima di tutto, suggerisco di non farsi indirizzare subito dal "mediante equazioni di primo grado" ma di individuare innanzitutto (come anche altri hanno suggerito) le incognite da ricavare e quali relazioni conosciamo a riguardo.
Le incognite da ricavare le "leggiamo" dalla domanda: Quante sono le file e quanti sono i bicchieri per ogni fila?
...e come hai già scritto, le incognite sono: f le file e b i bicchieri in ciascuna fila.
Ora rileggiamo il testo e raccogliamo le relazioni matematiche che riguardano le nostre incognite.
Poiché dobbiamo ricavare due incognite, ci occorrono altrettante relazioni su esse.
Dall'informazione che i bicchieri sono 50, e dall'informazione che sono disposti in file, raccogliamo che il numero di bicchieri è uguale al prodotto del numero di file per il numero di bicchieri:
b · f = 50
Dall'informazione che "Il numero di bicchieri per fila supera di 5 il numero delle file" ricaviamo quest'altra relazione che pure è stata già scritta nei messaggi precedenti:
b = f + 5
Ecco che abbiamo le due relazioni matematiche contenenti le nostre due incognite:
b · f = 50
b = f + 5
Questo non è altro che un sistema di equazioni.
Ora, anche se magari potresti non aver ancora studiato i sistemi, ti basta prendere la b della seconda equazione, dove sappiamo che essa è uguale a f + 5, e sostituirla nella prima equazione, come è stato anche già scritto nei messaggi precedenti:
b · f = 50 ==►
==►(b) · f = 50 ==►
==►(f + 5) · f = 50 ==►
==►f² + 5f = 50 ==►
==►f² + 5f - 50 = 0
Se hai già fatto le equazioni di secondo grado, potresti risolverla con la formula completa.
Altrimenti, e anche per "soddisfare" la traccia che chiede di usare equazioni di primo grado, puoi scomporre il primo membro come trinomio speciale (anche questo è stato già scritto nei messaggi precedenti):
f² + 5f - 50 = 0 ==►
==►(f-5)(f+10) = 0
A questo punto puoi proseguire con la legge di annullamento del prodotto: poni uguale a zero un fattore alla volta tra (f-5) e (f+10) e otterrai due possibili soluzioni per f, cioè per il numero di file.
Una di esse scoprirai che dovrai scartarla per motivi "pratici", come hanno già suggerito; l'altra soluzione invece sarà accettabile, e avrai ricavato il numero di file.
Dopodiché, per ricavare anche l'altra incognita b (cioè il numero di bicchieri per ogni fila), potrai andare a recuperare una qualsiasi equazione precedente e, al suo interno, sostituire la f con il valore di f che ti sarai calcolato poco fa.
Per esempio, andando a recuperare l'equazione:
b = f + 5
...che avevo scritto verso inizio messaggio, tu sostituisci al posto di f il valore che ti sarai trovato, e a quel punto potrai calcolare anche il valore di b.
Che ne dici?
"GiuseppeMate":
Come si risolve questo problema mediante equazioni di primo grado? Si devono disporre sul tavolo 50 bicchieri in file parallele. Il numero di bicchieri per fila supera di 5 il numero delle file. Quante sono le file e quanti sono i bicchieri [per ogni fila]?
Prima di tutto, suggerisco di non farsi indirizzare subito dal "mediante equazioni di primo grado" ma di individuare innanzitutto (come anche altri hanno suggerito) le incognite da ricavare e quali relazioni conosciamo a riguardo.
Le incognite da ricavare le "leggiamo" dalla domanda: Quante sono le file e quanti sono i bicchieri per ogni fila?
...e come hai già scritto, le incognite sono: f le file e b i bicchieri in ciascuna fila.
Ora rileggiamo il testo e raccogliamo le relazioni matematiche che riguardano le nostre incognite.
Poiché dobbiamo ricavare due incognite, ci occorrono altrettante relazioni su esse.
Dall'informazione che i bicchieri sono 50, e dall'informazione che sono disposti in file, raccogliamo che il numero di bicchieri è uguale al prodotto del numero di file per il numero di bicchieri:
b · f = 50
Dall'informazione che "Il numero di bicchieri per fila supera di 5 il numero delle file" ricaviamo quest'altra relazione che pure è stata già scritta nei messaggi precedenti:
b = f + 5
Ecco che abbiamo le due relazioni matematiche contenenti le nostre due incognite:
b · f = 50
b = f + 5
Questo non è altro che un sistema di equazioni.
Ora, anche se magari potresti non aver ancora studiato i sistemi, ti basta prendere la b della seconda equazione, dove sappiamo che essa è uguale a f + 5, e sostituirla nella prima equazione, come è stato anche già scritto nei messaggi precedenti:
b · f = 50 ==►
==►(b) · f = 50 ==►
==►(f + 5) · f = 50 ==►
==►f² + 5f = 50 ==►
==►f² + 5f - 50 = 0
Se hai già fatto le equazioni di secondo grado, potresti risolverla con la formula completa.
Altrimenti, e anche per "soddisfare" la traccia che chiede di usare equazioni di primo grado, puoi scomporre il primo membro come trinomio speciale (anche questo è stato già scritto nei messaggi precedenti):
f² + 5f - 50 = 0 ==►
==►(f-5)(f+10) = 0
A questo punto puoi proseguire con la legge di annullamento del prodotto: poni uguale a zero un fattore alla volta tra (f-5) e (f+10) e otterrai due possibili soluzioni per f, cioè per il numero di file.
Una di esse scoprirai che dovrai scartarla per motivi "pratici", come hanno già suggerito; l'altra soluzione invece sarà accettabile, e avrai ricavato il numero di file.
Dopodiché, per ricavare anche l'altra incognita b (cioè il numero di bicchieri per ogni fila), potrai andare a recuperare una qualsiasi equazione precedente e, al suo interno, sostituire la f con il valore di f che ti sarai calcolato poco fa.
Per esempio, andando a recuperare l'equazione:
b = f + 5
...che avevo scritto verso inizio messaggio, tu sostituisci al posto di f il valore che ti sarai trovato, e a quel punto potrai calcolare anche il valore di b.
Che ne dici?
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