Risoluzione limite
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 29++x+to+0
sto cercando di risolvere questo limite e mi viene sempre 1 dove sbaglio ecco i passaggi che ho fatto
$(((1+ x^2)arctan(x) -x)/x^3 ) $ metto in evidenza $x$ e semplifico a denominatore
$(((1+ x^2)arctan(x)/x -1)/x^2 )$ sfrutto il limite notevole per l'arcotangente su x che vale 1
$(((1+ x^2) -1)/x^2 )$ e qui con semplici passaggi mi ritrovo uno anche utilizzando il limite notevole $((1+x)^a -1 )/x$ mi ritrovo lo stesso uno
Dove sbaglio non è la prima che mi ritrovo in una situazione del genere e sbaglio sempre credendo di aver fatto tutto bene dov'è la falla nei miei ragionamenti
Grazie a tutti per l'attenzione
sto cercando di risolvere questo limite e mi viene sempre 1 dove sbaglio ecco i passaggi che ho fatto
$(((1+ x^2)arctan(x) -x)/x^3 ) $ metto in evidenza $x$ e semplifico a denominatore
$(((1+ x^2)arctan(x)/x -1)/x^2 )$ sfrutto il limite notevole per l'arcotangente su x che vale 1
$(((1+ x^2) -1)/x^2 )$ e qui con semplici passaggi mi ritrovo uno anche utilizzando il limite notevole $((1+x)^a -1 )/x$ mi ritrovo lo stesso uno
Dove sbaglio non è la prima che mi ritrovo in una situazione del genere e sbaglio sempre credendo di aver fatto tutto bene dov'è la falla nei miei ragionamenti
Grazie a tutti per l'attenzione
Risposte
"peppozzolo":
dov'è la falla nei miei ragionamenti
Ciao, la falla è nel passaggio al limite: lo devi fare una sola volta e non "a pezzi", quindi non puoi sostituire la frazione $(arctan x)/x$ con $1$.
Se non ho sbagliato calcoli, applicando l'Hopital viene.
Applicandolo due volte per la precisione.
Applicandolo due volte per la precisione.
"minomic":
[quote="peppozzolo"]dov'è la falla nei miei ragionamenti
Ciao, la falla è nel passaggio al limite: lo devi fare una sola volta e non "a pezzi", quindi non puoi sostituire la frazione $(arctan x)/x$ con $1$.[/quote]
non ho ben capito che intendi?
grazie anche a te burm87 ma sto cercando di capire qual'è il mio problema nella risoluzione di esercizi del genere e come mai risultati che a me sembrano perfetti sono perfettaemtne sbagliati
"peppozzolo":
[quote="minomic"][quote="peppozzolo"]dov'è la falla nei miei ragionamenti
Ciao, la falla è nel passaggio al limite: lo devi fare una sola volta e non "a pezzi", quindi non puoi sostituire la frazione $(arctan x)/x$ con $1$.[/quote]
non ho ben capito che intendi?[/quote]
A un certo punto dici che sfrutti il limite notevole dell'arcotangente e la frazione $(arctan x)/x$ "scompare" perchè la sostituisci con $1$. Questo non lo puoi fare perchè quella frazione tende a $1$ ma non è $1$.
Quindi te la dovresti portare dietro fino alla fine e passare al limite una sola volta, tutto insieme.
Il tuo sbaglio è nel sostituire 1 a $\frac{arctan x}{x}$, perché non è esattamente 1... è come se tu usassi lo sviluppo di Taylor di $arctan$ fermandoti troppo presto. O usi lo sviluppo con qualche termine in più oppure, come io suggerirei vista la forma del limite, ci dai una botta di De L'Hopital...
Paola
Paola
beh il mio problema è proprio il metodo "classico " non ho ben capito come funziona ,come faccio a portarmi tutto appresso?
sto provando in questo modo
metto x in evidenza $(x((1+ x^2)arctan(x)/x -1)/x^3 ) $
poi $x((arctan(x)/x + (x^2)arctan(x)/x -1)/x^3 ) $
spezzo la frazione dopo aver semplificato
$((arctan(x)/x^3 + (x^2)arctan(x)/x^3 -1/x3) ) $
ora posso usare i limiti notevoli?Quando dovrei passare ai limiti notevoli?
grazie a tutti per l'aiuto
sto provando in questo modo
metto x in evidenza $(x((1+ x^2)arctan(x)/x -1)/x^3 ) $
poi $x((arctan(x)/x + (x^2)arctan(x)/x -1)/x^3 ) $
spezzo la frazione dopo aver semplificato
$((arctan(x)/x^3 + (x^2)arctan(x)/x^3 -1/x3) ) $
ora posso usare i limiti notevoli?Quando dovrei passare ai limiti notevoli?
grazie a tutti per l'aiuto
"peppozzolo":
beh il mio problema è proprio il metodo "classico " non ho ben capito come funziona ,come faccio a portarmi tutto appresso?
grazie a tutti per l'aiuto
Quando sei arrivato qui
"peppozzolo":
$ (((1+ x^2)arctan(x)/x -1)/x^2 ) $
semplicemente non puoi sostituire la frazione con $1$. Devi trovare un'altra strada, fare altre operazioni, altre cose, ma non passare al limite solo quella frazione. Anche io ti consiglio i due metodi che ti sono stati indicati: l'Hopital e Taylor (con preferenza per l'Hopital, ma questo è un gusto personale).
"peppozzolo":
beh il mio problema è proprio il metodo "classico " non ho ben capito come funziona ,come faccio a portarmi tutto appresso?
sto provando in questo modo
metto x in evidenza $(x((1+ x^2)arctan(x)/x -1)/x^3 ) $
poi $x((arctan(x)/x + (x^2)arctan(x)/x -1)/x^3 ) $
spezzo la frazione dopo aver semplificato
$((arctan(x)/x^3 + (x^2)arctan(x)/x^3 -1/x^3) ) $
ora posso usare i limiti notevoli?Quando dovrei passare ai limiti notevoli?
grazie a tutti per l'aiuto
scusatemi se mi autocito ma si sono accavallati i messaggi
Nell'ultima che hai scritto c'è un errore, l'ultimo termine viene $- 1/x^2$.
In ogni caso non è questo il problema. Quello che hai fatto è legittimo ma non ci porta alla soluzione. Infatti$$
\frac{\arctan x}{x^3} + \frac{\arctan x}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2}\frac{\arctan x}{x} + \frac{\arctan x}{x} - \frac{1}{x^2}
$$e quando passi al limite hai una forma indeterminata, viso che i tre addendi tendono rispettivamente a $+\infty, 1, -\infty$.
In ogni caso non è questo il problema. Quello che hai fatto è legittimo ma non ci porta alla soluzione. Infatti$$
\frac{\arctan x}{x^3} + \frac{\arctan x}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2}\frac{\arctan x}{x} + \frac{\arctan x}{x} - \frac{1}{x^2}
$$e quando passi al limite hai una forma indeterminata, viso che i tre addendi tendono rispettivamente a $+\infty, 1, -\infty$.
quindi posso applicare i limiti notevoli solo quando questi non mi vanno a dare una (seconda?) forma indeterminata? e tutti in una sola volta? non li posso usare per "semplificare " il limite?
"peppozzolo":
quindi posso applicare i limiti notevoli solo quando questi non mi vanno a dare una (seconda?) forma indeterminata? non li posso usare per "semplificare " il limite?
Esatto. I limiti notevoli portano dritti alla soluzione. "Semplificare" il limite, come dici tu, presuppone di passare al limite qualche "pezzo" e questo non si può fare.
Tanto per chiarirci puoi sostituire $x/x$ con $1$ ma non $(\sin x)/x$ perchè la prima frazione equivale a $1$ mentre la seconda tende a 1 (ovviamente per $x \to 0$).
quindi se ho ben capito devo spezzettare il limite fina a che non mi ritrovo solo forme semplici e che non mi danno nessuna forma indeterminata
ps
lo so sono un rompiscatole ma dove posso trovare un po di esempi pratici di questo metodo
pps ancora non riesco a risolverlo usando limiti notevoli
ps
lo so sono un rompiscatole ma dove posso trovare un po di esempi pratici di questo metodo
pps ancora non riesco a risolverlo usando limiti notevoli
"peppozzolo":
quindi se ho ben capito devo spezzettare il limite fina a che non mi ritrovo solo forme semplici e che non mi danno nessuna forma indeterminata
Sì esatto, qualcosa del genere.
"peppozzolo":
lo so sono un rompiscatole ma dove posso trovare un po di esempi pratici di questo metodo
Prova su google con "esercizi limiti notevoli" o qualcosa di simile.
grazie mille a tutti e nel caso riusciss a risolverlo sfruttando i limiti notevoli vi allegherò l'esercizio
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