Risoluzione di un limite con lo sviluppo del cubo di un binomio
Salve a tutti, ho una domanda riguardo il calcolo del limite $ lim_(x -> oo ) root(3)(x^3-x^2)-x $
Su suggerimento del libro bisogna utilizzare lo sviluppo del cubo di un binomio: $ lim_(x -> oo ) (root(3)(x^3-x^2)-x )frac((root(3)(x^3-x^2))^2+x(root(3)(x^3-x^2)) + x^2)((root(3)(x^3-x^2))^2+x(root(3)(x^3-x^2)) + x^2) $ per ottenere quindi $ lim_(x -> oo )frac(x^3-x^2-x^3)(3x^2)=-frac(1)(3) $
Io ho capito questo procedimento, ma mi chiedo: perché la seguente risoluzione è sbagliata?
$ lim_(x -> oo ) root(3)(x^3-x^2)-x= lim_(x -> oo ) root(3)(x^3(1-frac(1)(x)))-x $ e quindi $ lim_(x->oo)x-x=0 $
Quale di questi passaggi è sbagliato? L'estrazione di x dalla radice non può essere l'errore, dato che è un procedimento da fare anche nella risoluzione corretta. Ho pensato che magari $ lim_(x->oo)x-x $ contiene una forma di indeterminazione e quindi non si possono semplificare le x, ma se definisco la funzione y= x-x, si capisce graficamente che questa ha limite nullo per x che tende a infinito.
Grazie per le eventuali risposte.
Su suggerimento del libro bisogna utilizzare lo sviluppo del cubo di un binomio: $ lim_(x -> oo ) (root(3)(x^3-x^2)-x )frac((root(3)(x^3-x^2))^2+x(root(3)(x^3-x^2)) + x^2)((root(3)(x^3-x^2))^2+x(root(3)(x^3-x^2)) + x^2) $ per ottenere quindi $ lim_(x -> oo )frac(x^3-x^2-x^3)(3x^2)=-frac(1)(3) $
Io ho capito questo procedimento, ma mi chiedo: perché la seguente risoluzione è sbagliata?
$ lim_(x -> oo ) root(3)(x^3-x^2)-x= lim_(x -> oo ) root(3)(x^3(1-frac(1)(x)))-x $ e quindi $ lim_(x->oo)x-x=0 $
Quale di questi passaggi è sbagliato? L'estrazione di x dalla radice non può essere l'errore, dato che è un procedimento da fare anche nella risoluzione corretta. Ho pensato che magari $ lim_(x->oo)x-x $ contiene una forma di indeterminazione e quindi non si possono semplificare le x, ma se definisco la funzione y= x-x, si capisce graficamente che questa ha limite nullo per x che tende a infinito.
Grazie per le eventuali risposte.
Risposte
La forma $infty-infty$ è una forma indeterminata , a priori non sai a cosa porta.
Nell'ultimo passaggio hai implicitamente ammesso che per x grandi
$root(3) (1-1/x) approx 1$
a meno di infinitesimi di ordine 1, e poi hai moltiplicato per x.
Questo però non è corretto perchè devi vedere il limite nella sua globalità stando attento ai termini che trascuri. Nel caso in questione, siccome poi moltiplichi per un infinito di ordine 1, l'aver trascurato un infinitesimo di ordine 1 non è una una buona strategia di risoluzione.
Un'approssimazione migliore è l'approssimazione a meno di infinitesimi di ordine 2
$root(3) (1-1/x) approx 1-1/(3x)$
che infatti sostituita ti fornisce risultato esatto.
$root(3) (1-1/x) approx 1$
a meno di infinitesimi di ordine 1, e poi hai moltiplicato per x.
Questo però non è corretto perchè devi vedere il limite nella sua globalità stando attento ai termini che trascuri. Nel caso in questione, siccome poi moltiplichi per un infinito di ordine 1, l'aver trascurato un infinitesimo di ordine 1 non è una una buona strategia di risoluzione.
Un'approssimazione migliore è l'approssimazione a meno di infinitesimi di ordine 2
$root(3) (1-1/x) approx 1-1/(3x)$
che infatti sostituita ti fornisce risultato esatto.
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