Risoluzione di due problemi di geometria

[Alef93]

1.E' dato l'angolo acuto XOY; dal punto O si conduca, nel semipiano di origine OX che contiene l'angolo dato, la semiretta OX'perpendicolare a OX e, nel semipiano di origine OY che contiene l'angolo dato, la semiretta OY' perpendicolare ad OY. Si prendano, rispettivamente su OX e OX', due segmenti congruenti OA e OA' e, rispettivamente su OY e OY', due segmenti congruenti OB e OB'; si congiungano A con B' e B con A'. Sidimostri che:
- L'angolo AOB'=A'OB
- AB'=A'B
- L'angolo OAB'=OA'B; OB'A= OBA'

2.Due triangoli ABC e A'BC sono situati da parte opposta al lato comune BC e il lato BC è bisettrice degli angoli ABA' E ACA'
Dimostrare che AB=BA' AC=A'C
- Essendo M un qualunque punto del lato comune BC, dimostrare che AM=A'M
- DImostrare che la congiungente AA' è perpendicolare al lato BC.
Per favore rispondete perchè voglio capire se li ho fatti bene o no!

[SuperGaara]

1) L'angolo AOB'=A'OB

L'angolo B'OB è AOA' sono retti, poichè la semiretta y' è perpendicolare a y, e x' è perpendicolare a x. Gli angoli AOB' e A'OB risultano congruenti per differenza di angoli congruenti (a B'OB e a A'OA che sono congruenti si toglie una stessa quantità, ovvero AOB).
AOB'=B'OB-AOB e A'OB=A'OA-AOB

2) AB'=A'B

Considera i triangoli AOB' e BOA'. Essi sono congruenti per il primo criterio, essendo AO=A'O e B'O=BO per ipotesi, e gli angoli B'OA=A'OB per quanto detto prima. Da questa congruenza ricavo che i lati AB' e BA' sono congruenti.

3) L'angolo OAB'=OA'B; OB'A= OBA'

Dalla congruenza di questi due triangoli dimostrata sopra, si ricava che anche gli altri due angoli dei triangoli sono rispettivamente congruenti. Quindi OAB'=OA'B e OB'A= OBA'.

[Alef93]

Grzie mille. Puoi postare anke il secondo x favore?

[SuperGaara]

Dimostrare che AB=BA' AC=A'C

I triangoli ABC e A’BC sono congruenti per il secondo criterio: BC è comune ai due triangoli, e gli angoli ABC con CBA’, e ACB con BCA’ sono congruenti per ipotesi (BC bisettrice). Dalla congruenza di questi due triangoli si ricava AB=BA’ e AC=CA’.

- Essendo M un qualunque punto del lato comune BC, dimostrare che AM=A'M

Preso un punto M qualsiasi, si osserva che i triangoli ABM e A’BM sono congruenti per il primo criterio: infatti BM è comune, AB=A’B per quanto detto prima e l’angolo ABM=MBA’ per ipotesi (sempre perché BC è bisettrice). Da questa congruenza si ottiene che anche il terzo lato AM di ABM è congruente al terzo lato A’M di A’BM.

- Dimostrare che la congiungente AA' è perpendicolare al lato BC.

Congiungi i punti A e A’, in modo da ottenere il triangolo ACA’: esso è isoscele, poiché AC=A’C. In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche altezza e mediana rispetto alla base. In questo caso la bisettrice dell’angolo al vertice ACA’ è CB, che quindi risulta essere altezza rispetto alla base AA’. Ciò significa che AA’ è perpendicolare a BC.

[Alef93]

Grazie mille. Ho una domanda da farti però. All'ultimo punto del secondo problema, bisogna considerare solo il triangolo AA'C?

[SuperGaara]

Sì, perchè esso è isoscele, e in ogni triangolo isoscele la bisettrice dell'angolo al vertice è anche altezza e mediana rispetto alla base. In questo caso, la bisettrice dell'angolo ACA' è BC (come dice nell'ipotesi del problema), e perciò BC risulterà essere altezza rispetto alla base AA'. Ma se BC è altezza, allora vuol dire che è perpendicolare ad AA'. Quindi BC e AA' sono tra loro perpendicolari.

Hai capito ora? Ma l'avete fatta a scuola questa proprietà dei triangoli isosceli?

Altrimenti cerco un'altra strada...

[Alef93]

No non l'abbiamo ancora fatta a scuola. Mi disp ke devi trovare un'altra strada....

[SuperGaara]

Chiama T il punto di intersezione tra AA' e BC. Osserva che i triangoli ATB e BTA' sono congruenti per il primo criterio, avendo BT in comune, AB=BA' e l'angolo ABT=TBA'. Da questa congruenza ricavo che l'angolo ATB=BTA'.
ATB è opposto al vertice ad A'TM, perciò sono congruenti.
BTA' è opposto al vertice ad ATM, perciò sono congruenti.
Si deduce che ATB=BTA'=A'TM=ATM.
Essendo ATB+BTA'+A'TM+ATM=360° e ATB=BTA'=A'TM=ATM, allora ATB=BTA'=A'TM=ATM=360°/4=90°.
Da ciò risulta BC perpendicolare ad AA'.

[Alef93]

Grazie mille x il tuo impegno!

[SuperGaara]

Prego ;)

Chiudo il thread, alla prossima :hi