Risoluzione approssimata di un'equazione col metodo delle secanti (Analisi numerica)

[alberto.frontino]

Salve a tutti, devo risolvere questa equazione col metodo delle secanti (l'ho già risolta col metodo di bisezione, ora voglio provare con questo metodo).

$ x + 1/2 - sinx = 0 $

Intanto per individuare le radici l'ho scritta nella forma $ x + 1/2 = sinx $, equazione risultante del sistema

$\{(y = x + 1/2), (y = sinx):}$, quindi rappresento le due curve su un piano e ne osservo le intersezioni. Le ascisse dei punti di intersezione saranno anche le soluzioni dell'equazione.

Osservo che c'è una soluzione nell'intervallo $[-2;-1]$, e chiamando $f(x)$ la funzione $ y = x + 1/2 - sinx $, ne confermo l'esistenza notando che $f(-1)f(-2) < 0$ e l'unicità verificando che $f'(x) != 0$ $AA$ $x in [-2;-1]$ . Devo ora determinare la soluzione...

Il mio libro non spiega molto bene e sul web non ho trovato granchè... solo il discorso delle secanti che mano a mano si avvicinano al punto di intersezione di $f(x)$ con l'asse delle ascisse, discorso che ho capito appieno, ma tuttavia non capisco ancora l'algoritmo che devo seguire per determinare la soluzione.

Cosa c'entra la derivata seconda? E come utilizzo le formule di ricorrenza? Che fra le altre cose sono due... Ho difficoltà a capire cosa si intende per $x_n$, ad esempio, e quale valore devo sostituire ad esso nella prima iterazione. Nelle iterazioni successive ho intuito che ad $x_n$ devo sostituire la soluzione trovata nell'iterazione precedente, ma nella prima iterazione?

Potreste farmi un esempio dell'algoritmo che devo seguire per risolvere un'equazione col metodo delle secanti?

Spero di ricevere chiarimenti! Grazie in anticipo.

[alberto.frontino]

"TeM":Esempio

Risolvere in maniera approssimata l'equazione \[ x + \frac{1}{2} - \sin x = 0 \] con il metodo delle secanti.


Scriviamo l'equazione data come \[ x + \frac{1}{2} = \sin x \] e rappresentiamo sullo stesso piano cartesiano il grafico di \(y = x + \frac{1}{2}\) e di \(y = \sin x\).

Si nota che i due grafici si intersecano in un unico punto di ascissa \(-2< c < -1\).

Data la funzione \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definita da \[ f(x) := x + \frac{1}{2} - \sin x \] calcoliamo \[ \begin{aligned} & f(-2)\approx -0.5907025732 < 0 \; ; \\ & f(-1)\approx 0.3414709848 > 0 \; ; \\ & f'(x) = 1 - \cos x \; ; \\ & f''(x) = \sin x < 0 \; \; per \; x\in(-2,\,-1)\; . \end{aligned} \] Il metodo dunque parte da \(x_0 = -1\) (estremo in cui il segno di \(f\) è opposto a quello d' \(f''\)).

Applicando il metodo delle secanti: \[ \begin{aligned} & x_0 = -1 \; ; \\ & x_1 = (-1) - \frac{(-2)-(-1)}{f(-2)-f(-1)}f(-1) \approx -1.366316961 \; ; \\ & x_2 = x_1 - \frac{(-2)-x_1}{f(-2)-f(x_1)}f(x_1) \approx -1.467959776 \; ; \\ & x_3 \approx -1.491015381 \; ; \\ & x_4 \approx -1.495967631 \; ; \\ & x_5 \approx -1.497018386 \; ; \\ & x_6 \approx -1.497240746 \; . \end{aligned} \] Notando che alcune cifre decimali si sono stabilizzate possiamo assumere \[ c = -1.497 \] come approssimazione, esatta fino alla terza cifra decimale, della soluzione
\(x=c\) dell'equazione \(x+\frac{1}{2}-\sin x = 0\) nell'intervallo \((-2,\,-1)\).


P.S.: potrebbe interessarti anche quest'altro esercizio svolto.

Grazie mille! Chiarissimo

[giammaria2]

@ Deneb17. Non sei ancora pratico del forum e forse non sai che le citazioni vanno limitate a quanto veramente utile; nel tuo caso a niente. Per favore, ricordalo per il futuro.