[risolto] Studiare la continuità e la derivabilità in x=0 di questa particolare funzione

[clivend]

Vi propongo un esercizio interessante che mi lascia un po perplesso, penso perchè non ho visto o non mi vengono in mente alcune nozioni di teoria. Eccolo:

Studiare la continuità e la derivabilità in $x=0$ di questa particolare funzione

$f(x)=x$ se x è razionale
$f(x)=-x$ se x è irrazionale

qualche suggerimento?

per la continuità, penso che essendo $x_0=0$ un punto di accumulazione per la f ed essendo $lim_(x->0) f(x)=f(x_0)$, f è continua in x=0

per la derivabilità??

[giammaria2]

Con la definizione di derivata vedi subito che se $x$ è razionale si ha $f'(0)=1$ mentre se è irrazionale si ha $f'(0)=-1$. Ma se un limite esiste è unico, quindi il limite non esiste: la funzione non è derivabile.

[clivend]

grazie! quindi in questo caso $lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=1$ in un caso e $-1$ nell'altro, esatto?

[giammaria2]

Esatto.