[RISOLTO] Limite problematico
Ho questo limite: $lim_(x->0)((2x^2sin^2x)/(ln(1+4x^4)))$
Ho provato così: $lim_(x->0)((2x^3(sin^2x/x))/(4x^4(ln(1+4x^4)/(4x^4))))$
Ora tolti i limiti notevoli rimane: $lim_(x->0)((2x^3)/(4x^4))$
E semplificando: $lim_(x->0)(1/(2x))$ che dovrebbe essere $infty$ ma nel libro il risultato è $1/2$, dove sbaglio?
Ho provato così: $lim_(x->0)((2x^3(sin^2x/x))/(4x^4(ln(1+4x^4)/(4x^4))))$
Ora tolti i limiti notevoli rimane: $lim_(x->0)((2x^3)/(4x^4))$
E semplificando: $lim_(x->0)(1/(2x))$ che dovrebbe essere $infty$ ma nel libro il risultato è $1/2$, dove sbaglio?
Risposte
Ah, pensavo che $lim_(x->0)(sinx^2/x^2)$ fosse quando $lim_(x->0)(sinx^2)$
OK, ho capito.
Potresti darmi ancora una mano in questo limite?
$lim_(x-pi/4)((sinx-cosx)/(tg(pi/8-x/2)))$
Qui ho pensato di spezzare la frazione e applicare la formula di sottrazione della tangente, ma non credo sia la strada giusta.
Tu cosa mi consiglieresti di fare?
Potresti darmi ancora una mano in questo limite?
$lim_(x-pi/4)((sinx-cosx)/(tg(pi/8-x/2)))$
Qui ho pensato di spezzare la frazione e applicare la formula di sottrazione della tangente, ma non credo sia la strada giusta.
Tu cosa mi consiglieresti di fare?
Le formule goniometriche sono importanti.
Devi sapere che $tg(pi/8-x/2)=tg((pi/4-x)/2)=sin(pi/4-x)/(1+cos(pi/4-x))$
e che con il metodo dell'angolo aggiunto:
$sin(x)-cos(x)=sqrt(2)*sin(x-pi/4)$
Un metodo alternativo potrebbe essere questo.
Devi sapere che $tg(pi/8-x/2)=tg((pi/4-x)/2)=sin(pi/4-x)/(1+cos(pi/4-x))$
e che con il metodo dell'angolo aggiunto:
$sin(x)-cos(x)=sqrt(2)*sin(x-pi/4)$
Un metodo alternativo potrebbe essere questo.
Non capisco se quel che intendeva Tem lo abbia effettivamente fatto tu, o se la tua è una versione leggermente diversa.
Comunque, non capisco se il limite è finito così o se è da finire, perchè sostituendo $pi/4$ vengono una serie di zeri.
Comunque, non capisco se il limite è finito così o se è da finire, perchè sostituendo $pi/4$ vengono una serie di zeri.
No è che io ho la fissa delle formule goniometriche. Il metodo di Tem è quello più adatto: la sostituzione.
Ah ok, però non ho ben capito perchè ha scelto $x-pi/4$, più che altro non ho capito come lo ha ricavato.
Ah ecco, adesso ho capito perchè, ma ora uscirebbe sostituendo, però viene $0$ anzichè $-2sqrt(2)$
Faccio solo un breve inciso.
Le sostituzioni non sono sempre intuitive, per questo a me che ho poco intuito piacciono le formule goniometriche applicate a questo tipo di esercizi che mescolano differenze di infinitesimi costituti da funzioni goniometriche.
In questo caso il metodo da me proposto sarebbe quello che ti ho appena scritto e cioè
$ tg(pi/8-x/2)=tg((pi/4-x)/2)=sin(pi/4-x)/(1+cos(pi/4-x)) $
$ sin(x)-cos(x)=sqrt(2)*sin(x-pi/4)$
In aggiunta ti basta sapere che $sin(pi/4-x)=-sin(x-pi/4)$
da cui hai:
$ sin(x)-cos(x)=sqrt(2)*sin(x-pi/4)=-sqrt(2)*sin(pi/4-x)$
A questo punto il gioco è fatto:
$ lim_(x-pi/4)((sinx-cosx)/(tg(pi/8-x/2))) =lim_(x->pi/4)(-sqrt(2)*sin(pi/4-x))/(sin(pi/4-x)/(1+cos(pi/4-x)))=lim_(x->pi/4)[-sqrt(2)*(1+cos(pi/4-x)]=-2*sqrt(2)$
La sostituzione resta comunque a mio parere il metodo più corretto da applicare nelle varie situazioni per vedere meglio i limiti notevoli. Un limite che mi ha dato da pensare un po' di tempo fa, ad esempio, è il seguente (che è un po' un mostriciattolo):
(a proposito di $t=x-pi/4$
$lim_(x->pi/4)(e^tan(x)-e^(tan(pi/4)))/(x-pi/4)$
Io quando lo vidi me lo risolsi con calma (ché tanto facevo l'iti). Ma tu, che mi pare di aver capito che fai un liceo, a quanto ne so io era capitato in un tema d'esame di maturità allo scientifico di qualche anno fa... da cui l'importanza della sostituzione.
Per inciso, non si poteva usare De L'Hospital per risolverlo questo...
Le sostituzioni non sono sempre intuitive, per questo a me che ho poco intuito piacciono le formule goniometriche applicate a questo tipo di esercizi che mescolano differenze di infinitesimi costituti da funzioni goniometriche.
In questo caso il metodo da me proposto sarebbe quello che ti ho appena scritto e cioè
$ tg(pi/8-x/2)=tg((pi/4-x)/2)=sin(pi/4-x)/(1+cos(pi/4-x)) $
$ sin(x)-cos(x)=sqrt(2)*sin(x-pi/4)$
In aggiunta ti basta sapere che $sin(pi/4-x)=-sin(x-pi/4)$
da cui hai:
$ sin(x)-cos(x)=sqrt(2)*sin(x-pi/4)=-sqrt(2)*sin(pi/4-x)$
A questo punto il gioco è fatto:
$ lim_(x-pi/4)((sinx-cosx)/(tg(pi/8-x/2))) =lim_(x->pi/4)(-sqrt(2)*sin(pi/4-x))/(sin(pi/4-x)/(1+cos(pi/4-x)))=lim_(x->pi/4)[-sqrt(2)*(1+cos(pi/4-x)]=-2*sqrt(2)$
La sostituzione resta comunque a mio parere il metodo più corretto da applicare nelle varie situazioni per vedere meglio i limiti notevoli. Un limite che mi ha dato da pensare un po' di tempo fa, ad esempio, è il seguente (che è un po' un mostriciattolo):
(a proposito di $t=x-pi/4$
$lim_(x->pi/4)(e^tan(x)-e^(tan(pi/4)))/(x-pi/4)$
Io quando lo vidi me lo risolsi con calma (ché tanto facevo l'iti). Ma tu, che mi pare di aver capito che fai un liceo, a quanto ne so io era capitato in un tema d'esame di maturità allo scientifico di qualche anno fa... da cui l'importanza della sostituzione.
Per inciso, non si poteva usare De L'Hospital per risolverlo questo...
Ti ringrazio tanto per la risposta dettagliata, ma usando la sostituzione a me viene un limite che si può risolvere sostituendo $pi/4$ senza usare limiti notevoli, solo che sostituendo anzichè venirmi $-2sqrt(2)$ mi viene $0$.
Allora non so quale fosse il piano di TeM nei dettagli ma a occhio e croce penso lui intendesse fare qualcosa di questo genere:
$ lim_(x->pi/4)((sinx-cosx)/(tg(pi/8-x/2))) $
pongo $t=pi/4-x$ se x tende a $pi/4$ evidentemente t va a zero, quindi il nuovo limite andrà valutato in per $t->0$.
Poi devo fare tutte le sostituzioni del caso.
$lim_(t->0)(sin(pi/4-t)-cos(pi/4-t))/(tg(t/2))$ A questo punto è tutto in discesa.
Hai capito?
$ lim_(x->pi/4)((sinx-cosx)/(tg(pi/8-x/2))) $
pongo $t=pi/4-x$ se x tende a $pi/4$ evidentemente t va a zero, quindi il nuovo limite andrà valutato in per $t->0$.
Poi devo fare tutte le sostituzioni del caso.
$lim_(t->0)(sin(pi/4-t)-cos(pi/4-t))/(tg(t/2))$ A questo punto è tutto in discesa.
Hai capito?
Ah ecco, questa è la situazione in cui applicare i limiti notevoli, ora mi conviene spezzare la frazione o applicare la formula di bisezione della tangente secondo te?
Poi al numeratore viene un $-sqrt(2)sinx$.
Poi al numeratore viene un $-sqrt(2)sinx$.
Io andrei avanti con un semplice stratagemma algebrico-goniometrico, che qualcuno chiama "metodo dell'angolo aggiunto":
$ lim_(t->0)(sin(pi/4-t)-cos(pi/4-t))/(tg(t/2)) =lim_(t->0)(sqrt(2)(1/sqrt(2) *sin(pi/4-t)-1/sqrt(2) *cos(pi/4-t)))/(tg(t/2))=$
$=lim_(t->0)(sqrt(2)(cos(pi/4) *sin(pi/4-t)-sen(pi/4) *cos(pi/4-t)))/(tg(t/2))=$
$=lim_(t->0)(sqrt(2)(sin(pi/4-t)*cos(pi/4)-cos(pi/4-t)*sen(pi/4)))/(tg(t/2))=$
A questo punto riconosci la fomula di addizione del seno:
$sen(\alpha-\beta)=sen(\alpha)*cos(\beta)-sen(\beta)*cos(\alpha)$
con $\alpha=pi/4-t$ e $\beta=pi/4$ nel tuo caso.
Ergo:
$lim_(t->0)(sqrt(2)(sin(pi/4-t)*cos(pi/4)-cos(pi/4-t)*sen(pi/4)))/(tg(t/2))=lim(t->0)[sqrt(2)*sin(-t)/(tg(t/2))]$
Dividi sopra e sotto per due e il gioco e fatto. Buona serata.
$ lim_(t->0)(sin(pi/4-t)-cos(pi/4-t))/(tg(t/2)) =lim_(t->0)(sqrt(2)(1/sqrt(2) *sin(pi/4-t)-1/sqrt(2) *cos(pi/4-t)))/(tg(t/2))=$
$=lim_(t->0)(sqrt(2)(cos(pi/4) *sin(pi/4-t)-sen(pi/4) *cos(pi/4-t)))/(tg(t/2))=$
$=lim_(t->0)(sqrt(2)(sin(pi/4-t)*cos(pi/4)-cos(pi/4-t)*sen(pi/4)))/(tg(t/2))=$
A questo punto riconosci la fomula di addizione del seno:
$sen(\alpha-\beta)=sen(\alpha)*cos(\beta)-sen(\beta)*cos(\alpha)$
con $\alpha=pi/4-t$ e $\beta=pi/4$ nel tuo caso.
Ergo:
$lim_(t->0)(sqrt(2)(sin(pi/4-t)*cos(pi/4)-cos(pi/4-t)*sen(pi/4)))/(tg(t/2))=lim(t->0)[sqrt(2)*sin(-t)/(tg(t/2))]$
Dividi sopra e sotto per due e il gioco e fatto. Buona serata.
A questo punto ho pensato a questo: $lim_(t->0)((-sqrt(2)sinx)/((1-cosx)/sinx))$ che diventa
$lim_(t->0)((-sqrt(2)sinx)/((1-cosx)/x*x/(sinx)))$, però è inconcludente anche su questo fronte.
EDIT:
Stavo scrivendo mentre tu rispondevi, ti ho fatto fare una fatica inutile a scrivere l'ultimo post perchè a quella conclusione ci sono arivato, mi sono intoppato in seguito.
$lim_(t->0)((-sqrt(2)sinx)/((1-cosx)/x*x/(sinx)))$, però è inconcludente anche su questo fronte.
EDIT:
Stavo scrivendo mentre tu rispondevi, ti ho fatto fare una fatica inutile a scrivere l'ultimo post perchè a quella conclusione ci sono arivato, mi sono intoppato in seguito.
$sin(x)$ deve andare al numeratore, poi dividi sopra e sotto per $x^2$.
Ma $tg(t/2)$ viene $(1-cosx)/sinx$
Si appunto.
$ lim_(t->0)((-sqrt(2)sinx)/((1-cosx)/sinx))=lim_(t->0)(-sqrt(2)*(sin(x))^2)/(1-cos(x)) =lim_(t->0)[-sqrt(2)*((sin^2(t))/(t^2))/((1-cos(t))/t^2)]$
$ lim_(t->0)((-sqrt(2)sinx)/((1-cosx)/sinx))=lim_(t->0)(-sqrt(2)*(sin(x))^2)/(1-cos(x)) =lim_(t->0)[-sqrt(2)*((sin^2(t))/(t^2))/((1-cos(t))/t^2)]$
Si, ho proceduto come ha mostrato Tem. Poi ho tentato di applicare i limiti notevoli al denominatore ma è stato fallimentare, però il procedimento era giusto, il metodo illustrato nell'ultimo post da SirDanielFortesque è sia corretto sia funzionante. Qul che non capisco è perchè il mio procedimento è corretto ma non funzionante.
I procedimenti corretti sono un sottoinsieme dei procedimenti funzionanti in genere. Poi ci sono gli errori di calcolo...
Quindi esistono procedimenti funzionanti ma non corretti? Interessante 
Forse è il contrario?
Forse è il contrario?
Ok Tem, ho capito benissimo cosa vuoi dire ma prima del tuo post io ero giunto a $lim_(t->0)((-sqrt(2)sinx)/((1-cosx)/sinx))$ e poi l'ho trasformato in $lim_(t->0)((-sqrt(2)sinx)/((1-cosx)/x*x/(sinx)))$. Questo procedimento penso sia valido e mi porta a un risultato, però sbagliato, quindi sto cercando di capire qul'è l'errore di calcolo commesso.
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