Riscrittura espressione con funzioni trigonometriche
Considero l'espressione $y=-2\sqrt(3)cos^2x+2sinxcosx+\sqrt(3)-1$.
Vorrei capire se la si può scrivere nella forma $y=Asin(Bx+C)+D$ per delle opportune costanti $A,B,C,D \in RR$ (oppure nella forma $y=A'cos(B'x+C')+D'$).
Esiste un procedimento standard?
Vorrei capire se la si può scrivere nella forma $y=Asin(Bx+C)+D$ per delle opportune costanti $A,B,C,D \in RR$ (oppure nella forma $y=A'cos(B'x+C')+D'$).
Esiste un procedimento standard?
Risposte
Utilizzando la formula di duplicazione posso scrivere $y=-2\sqrt(3)cos^2x+sin(2x)+\sqrt(3)-1$, ma come posso ridurre il tutto ad un solo seno (rispettivamente, ad un solo coseno)?
https://it.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A0_trigonometrica#Conseguenze_del_teorema_di_Pitagora ?
Ci sono tante identità. Vedi cosa riesci a combinare.
Ci sono tante identità. Vedi cosa riesci a combinare.
Prima usa le formule di duplicazione suggerite da ghira
[tex]\begin{align}
\sin(2x) &= 2\sin x\cos x,\\
\cos^2x &=\frac{1+\cos(2x)}{2},
\end{align}[/tex]
per ricondurti a una combinazione lineare in [tex]\sin t,\cos t[/tex] del tipo
Poi si utilizza quello che ai miei tempi si chiamava "metodo dell'angolo aggiunto". Posso assumere [tex]b\ne 0[/tex] altrimenti non c'è nulla da fare.
dove ho posto[nota]Esiste sicuramente un numero reale [tex]\phi[/tex] che soddisfa le due uguaglianze poiché
infatti (se [tex]a\ne0[/tex])
poiché [tex]1+(b/a)^2\geq 1[/tex] da cui [tex]\sqrt{1+(b/a)^2}\geq \sqrt{1}=1[/tex] poiché la funzione [tex]x\mapsto\sqrt{x}[/tex] è monotona (strettamente) crescente; scambiando [tex]a[/tex] con [tex]b[/tex] ottengo
quindi (se [tex]a^2+b^2\ne0[/tex], il che è certamente vero nelle nostre ipotesi)
e il valore di [tex]\phi[/tex] è univocamente determinato [tex]\mod2\pi[/tex] nel momento in cui si conoscono sia [tex]\cos\phi[/tex] sia [tex]\sin\phi[/tex]. In particolare avendo supposto [tex]a\ne0\land b\ne0[/tex] valgono le disuguaglianze strette.[/nota]
e applicato la formula di addizione del seno.
A questo punto puoi calcolare
Per determinare [tex]\phi[/tex] devi considerare i segni di [tex]\cos\phi[/tex] e [tex]\sin\phi[/tex], ovvero di [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] rispettivamente; a seconda dei loro segni [tex]\phi[/tex] si troverà nel
pertanto, nei diversi casi, [tex]\phi[/tex] è uguale a
riassumendo[nota]Se preferisci il valore di [tex]\phi[/tex] riferito all'intervallo [tex][0,2\pi)[/tex] puoi usare
Puoi modificare in modo opportuno il procedimento utilizzando la formula di sottrazione del coseno per arrivare alla forma [tex]A\cos(t+\phi)[/tex].
Se applichi quanto detto al tuo esercizio dovresti ottenere il seguente risultato.
[tex]\begin{align}
\sin(2x) &= 2\sin x\cos x,\\
\cos^2x &=\frac{1+\cos(2x)}{2},
\end{align}[/tex]
per ricondurti a una combinazione lineare in [tex]\sin t,\cos t[/tex] del tipo
[tex]a\sin t + b\cos t,\quad a,b\in\mathbb{R},a\ne0.[/tex]
Poi si utilizza quello che ai miei tempi si chiamava "metodo dell'angolo aggiunto". Posso assumere [tex]b\ne 0[/tex] altrimenti non c'è nulla da fare.
[tex]\begin{align*}
a\sin t+b\cos t & =\sqrt{a^2+b^2}\Big(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin t+ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos t\Big)\\
& = \sqrt{a^2+b^2}\Big(\cos\phi\sin t+ \sin\phi\cos t\Big)\\
&= \sqrt{a^2+b^2}\sin(t+\phi)
\end{align*}[/tex]
a\sin t+b\cos t & =\sqrt{a^2+b^2}\Big(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin t+ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos t\Big)\\
& = \sqrt{a^2+b^2}\Big(\cos\phi\sin t+ \sin\phi\cos t\Big)\\
&= \sqrt{a^2+b^2}\sin(t+\phi)
\end{align*}[/tex]
dove ho posto[nota]Esiste sicuramente un numero reale [tex]\phi[/tex] che soddisfa le due uguaglianze poiché
[tex]\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\in\operatorname{Im}(\cos)=[-1,1],\quad \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\in\operatorname{Im}(\sin)=[-1,1],[/tex]
infatti (se [tex]a\ne0[/tex])
[tex]\begin{align*}
\sqrt{a^2+b^2}&= \sqrt{a^2\Big(1+\frac{b^2}{a^2}\Big)}\\
&= \lvert a\rvert\sqrt{1+(b/a)^2}\\
&\geq\lvert a\rvert
\end{align*}[/tex]
\sqrt{a^2+b^2}&= \sqrt{a^2\Big(1+\frac{b^2}{a^2}\Big)}\\
&= \lvert a\rvert\sqrt{1+(b/a)^2}\\
&\geq\lvert a\rvert
\end{align*}[/tex]
poiché [tex]1+(b/a)^2\geq 1[/tex] da cui [tex]\sqrt{1+(b/a)^2}\geq \sqrt{1}=1[/tex] poiché la funzione [tex]x\mapsto\sqrt{x}[/tex] è monotona (strettamente) crescente; scambiando [tex]a[/tex] con [tex]b[/tex] ottengo
[tex]\sqrt{a^2+b^2}\geq\lvert b\rvert,[/tex]
quindi (se [tex]a^2+b^2\ne0[/tex], il che è certamente vero nelle nostre ipotesi)
[tex]\frac{\lvert a\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}\leq1,\quad \frac{\lvert b\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}\leq 1,[/tex]
e il valore di [tex]\phi[/tex] è univocamente determinato [tex]\mod2\pi[/tex] nel momento in cui si conoscono sia [tex]\cos\phi[/tex] sia [tex]\sin\phi[/tex]. In particolare avendo supposto [tex]a\ne0\land b\ne0[/tex] valgono le disuguaglianze strette.[/nota]
[tex]\cos\phi :=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad \sin\phi := \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]
e applicato la formula di addizione del seno.
A questo punto puoi calcolare
[tex]\tan\phi =\frac{\sin\phi}{\cos\phi} = \frac{b}{a},\quad \phi_0 := \arctan\frac{a}{b} \in \Big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big).[/tex]
Per determinare [tex]\phi[/tex] devi considerare i segni di [tex]\cos\phi[/tex] e [tex]\sin\phi[/tex], ovvero di [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] rispettivamente; a seconda dei loro segni [tex]\phi[/tex] si troverà nel
[tex]\begin{array}{ccc}
&a>0& a<0\\
b>0&\text{I quadrante}&\text{II quadrante}\\
b<0&\text{IV quadrante}&\text{III quadrante}
\end{array}[/tex]
&a>0& a<0\\
b>0&\text{I quadrante}&\text{II quadrante}\\
b<0&\text{IV quadrante}&\text{III quadrante}
\end{array}[/tex]
pertanto, nei diversi casi, [tex]\phi[/tex] è uguale a
[tex]\begin{array}{ccc}
&a>0& a<0\\
b>0&\phi_0,\,\phi_0>0&\phi_0+\pi,\,\phi_0<0\\
b<0&\phi_0,\,\phi_0<0&\phi_0+\pi,\,\phi_0>0
\end{array}[/tex]
&a>0& a<0\\
b>0&\phi_0,\,\phi_0>0&\phi_0+\pi,\,\phi_0<0\\
b<0&\phi_0,\,\phi_0<0&\phi_0+\pi,\,\phi_0>0
\end{array}[/tex]
riassumendo[nota]Se preferisci il valore di [tex]\phi[/tex] riferito all'intervallo [tex][0,2\pi)[/tex] puoi usare
[tex]\phi=
\begin{cases}
\phi_0& \text{ se } (a>0\land b>0),\\
\phi_0+\pi& \text{ se } (a<0\land b>0)\lor(a<0\land b<0),\\
\phi_0+2\pi&\text{ se }(a>0\land b<0).
\end{cases}[/tex]
[/nota]\begin{cases}
\phi_0& \text{ se } (a>0\land b>0),\\
\phi_0+\pi& \text{ se } (a<0\land b>0)\lor(a<0\land b<0),\\
\phi_0+2\pi&\text{ se }(a>0\land b<0).
\end{cases}[/tex]
[tex]\phi=
\begin{cases}
\phi_0& \text{ se } (a>0\land b>0)\lor(a>0\land b<0),\\
\phi_0+\pi& \text{ se } (a<0\land b>0)\lor(a<0\land b<0).
\end{cases}[/tex]
\begin{cases}
\phi_0& \text{ se } (a>0\land b>0)\lor(a>0\land b<0),\\
\phi_0+\pi& \text{ se } (a<0\land b>0)\lor(a<0\land b<0).
\end{cases}[/tex]
Puoi modificare in modo opportuno il procedimento utilizzando la formula di sottrazione del coseno per arrivare alla forma [tex]A\cos(t+\phi)[/tex].
Se applichi quanto detto al tuo esercizio dovresti ottenere il seguente risultato.
"413":
$cos(2x) =(1+cos^2x)/2$
Questa formula mi lascia perplessa, mi pare una fusione errata tra
$cos2alpha=2cos^2alpha-1$
$cos^2alpha=(1+cos2alpha)/2$
Se puoi correggila perché tutto il resto mi pare corretto e anche la soluzione finale lo è.
Ho scambiato [tex]\cos(2x)[/tex] con [tex]\cos^2x[/tex] nel ricopiare l'identità... 
Sistemato 
Sistemato
Grazie mille!
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