Relazioni definite in un insieme
Salve.
Dato l'insieme A:
$A={1,2,3}$
La relazione $x*y<5$, con $x,y in A$ è una relazione simmetrica. Corretto?
Per ogni elemento $x$ che associa all'elemento $y$, associa anche $y$ a $x$:
${(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)}$
Dato l'insieme A:
$A={1,2,3}$
La relazione $x*y<5$, con $x,y in A$ è una relazione simmetrica. Corretto?
Per ogni elemento $x$ che associa all'elemento $y$, associa anche $y$ a $x$:
${(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)}$
Risposte
Visto che $*$ è commutativa, se $x * y < 5$ si ha anche...
Sì, $y*x<5$. Lo so bene, stavo giustappunto cercando di trovare un esempio numerico per cui la definizione di relazione simmetrica calzasse a pennello. La relazione di uguaglianza è un caso piuttosto particolare.
Non lo so, mi sembra che ci sia qualcosa che mi sfugge a proposito del concetto di relazione, ma non riesco a inquadrare che cosa.
Per esempio, a proposito delle relazioni riflessive e irriflessive...
Una relazione definita in un insieme $A$ si dice riflessiva se associa ogni elemento di $A$ con se stesso.
$AAx in A: x ℛ x$
Una relazione definita in un insieme $A$ si dice irriflessiva se non associa alcun elemento di $A$ con se stesso.
$AAx in A: \neg(xℛx)$
Dati i quattro insiemi:
$A={1}$
$B={2,3,4}$
$C={1,2,3}$
$D={2,3}$
La relazione $x=sqrt(y)$ è riflessiva se definita in $A$, irriflessiva se definita in $B$, e né riflessiva né irriflessiva se definita in $C$. Dico bene? E per quanto riguarda l'insieme $D$? Sembrerebbe priva di significato.
Analogamente, riguardo le relazioni transitive e intransitive...
Una relazione definita in un insieme $A$ si dice transitiva se, per ogni elemento $x$ che associa all'elemento $y$ e per ogni elemento $y$ che associa all'elemento $z$, associa anche $x$ a $z$.
$AAx,y,z in A: x ℛ y^^y ℛ z=>x ℛ z$
Una relazione definita in un insieme $A$ si dice intransitiva se, per ogni elemento $x$ che associa all'elemento $y$ e per ogni elemento $y$ che associa all'elemento $z$, non associa $x$ a $z$.
$AAx,y,z in A: x ℛ y^^y ℛ z=>\neg(x ℛ z)$
Dati i tre insiemi:
$A={1,2,3}$
$B={1,2}$
$C={1}$
La relazione $x>y$ è ovviamente transitiva se definita in $A$, ma né transitiva né intransitiva se definita in $B$. Sbaglio? E per quanto riguarda l'insieme $C$? Anche qui la relazione sembrerebbe priva di significato.
Non lo so, mi sembra che ci sia qualcosa che mi sfugge a proposito del concetto di relazione, ma non riesco a inquadrare che cosa.
Per esempio, a proposito delle relazioni riflessive e irriflessive...
Una relazione definita in un insieme $A$ si dice riflessiva se associa ogni elemento di $A$ con se stesso.
$AAx in A: x ℛ x$
Una relazione definita in un insieme $A$ si dice irriflessiva se non associa alcun elemento di $A$ con se stesso.
$AAx in A: \neg(xℛx)$
Dati i quattro insiemi:
$A={1}$
$B={2,3,4}$
$C={1,2,3}$
$D={2,3}$
La relazione $x=sqrt(y)$ è riflessiva se definita in $A$, irriflessiva se definita in $B$, e né riflessiva né irriflessiva se definita in $C$. Dico bene? E per quanto riguarda l'insieme $D$? Sembrerebbe priva di significato.
Analogamente, riguardo le relazioni transitive e intransitive...
Una relazione definita in un insieme $A$ si dice transitiva se, per ogni elemento $x$ che associa all'elemento $y$ e per ogni elemento $y$ che associa all'elemento $z$, associa anche $x$ a $z$.
$AAx,y,z in A: x ℛ y^^y ℛ z=>x ℛ z$
Una relazione definita in un insieme $A$ si dice intransitiva se, per ogni elemento $x$ che associa all'elemento $y$ e per ogni elemento $y$ che associa all'elemento $z$, non associa $x$ a $z$.
$AAx,y,z in A: x ℛ y^^y ℛ z=>\neg(x ℛ z)$
Dati i tre insiemi:
$A={1,2,3}$
$B={1,2}$
$C={1}$
La relazione $x>y$ è ovviamente transitiva se definita in $A$, ma né transitiva né intransitiva se definita in $B$. Sbaglio? E per quanto riguarda l'insieme $C$? Anche qui la relazione sembrerebbe priva di significato.
Posso chiedere dove le hai recuperate quelle definizioni?
Ad ogni buon conto, esiste un oggetto misterioso che si chiama relazione vuota, che corrisponde al sottoinsieme vuoto di $A xx B$ e che -praticamente- non mette in relazione nessun elemento di $A$ con nessun elemento di $B$.
La relazione vuota è quella con cui hai a che fare nell'insieme $D=\{ 2,3\}$ quando definisci $x \mathcal{R} y <=> x = sqrt(y)$ o in $C=\{ 1\}$ quando definisci $x\mathcal{R} y <=> x > y$, poiché infatti non c'è nessuna coppia di elementi in $D^2 = D xx D$ o in $C^2$ che soddisfa quell'uguaglianza, sicché $\mathcal{R} = \emptyset$ in $\mathcal{P}(D^2)$ ed in $\mathcal{P}(C^2)$.
Quindi la tua $\mathcal{R}$ in $D$ o in $C$ non è "priva di significato" (perché un significato matematico ce l'ha), ma è semplicemente una relazione "inutile" (perché non ti dà nessuna informazione su legami esistenti tra elementi di $D$, che è ciò che vorresti da una relazione "utile").
La cosa divertente è che la relazione vuota è che è transitiva (perché un'implicazione con l'antecedente falsa è sempre vera; in particolare qui hai $x \mathcal{R} y ^^ y \mathcal{R} z$ falsa, perché non esistono coppie in $\mathcal{R}$)... Questo fatto è abbastanza sorprendente per chi è alle prime armi, ma ci si fa il callo.
Analogamente, la relazione vuota è simmetrica ed è tutte le altre cose che si esprimono mediante un'implicazione (riesci ad indovinare perché?).
Lo stesso tipo di ragionamento può aiutarti a stabilire se le altre relazioni che hai descritto sono, ad esempio, transitive.
Ad ogni buon conto, esiste un oggetto misterioso che si chiama relazione vuota, che corrisponde al sottoinsieme vuoto di $A xx B$ e che -praticamente- non mette in relazione nessun elemento di $A$ con nessun elemento di $B$.
La relazione vuota è quella con cui hai a che fare nell'insieme $D=\{ 2,3\}$ quando definisci $x \mathcal{R} y <=> x = sqrt(y)$ o in $C=\{ 1\}$ quando definisci $x\mathcal{R} y <=> x > y$, poiché infatti non c'è nessuna coppia di elementi in $D^2 = D xx D$ o in $C^2$ che soddisfa quell'uguaglianza, sicché $\mathcal{R} = \emptyset$ in $\mathcal{P}(D^2)$ ed in $\mathcal{P}(C^2)$.
Quindi la tua $\mathcal{R}$ in $D$ o in $C$ non è "priva di significato" (perché un significato matematico ce l'ha), ma è semplicemente una relazione "inutile" (perché non ti dà nessuna informazione su legami esistenti tra elementi di $D$, che è ciò che vorresti da una relazione "utile").
La cosa divertente è che la relazione vuota è che è transitiva (perché un'implicazione con l'antecedente falsa è sempre vera; in particolare qui hai $x \mathcal{R} y ^^ y \mathcal{R} z$ falsa, perché non esistono coppie in $\mathcal{R}$)... Questo fatto è abbastanza sorprendente per chi è alle prime armi, ma ci si fa il callo.
Analogamente, la relazione vuota è simmetrica ed è tutte le altre cose che si esprimono mediante un'implicazione (riesci ad indovinare perché?).
Lo stesso tipo di ragionamento può aiutarti a stabilire se le altre relazioni che hai descritto sono, ad esempio, transitive.
Le definizioni sono farina del mio sacco, in verità.
No, non riesco a seguire.
Non riesco a comprendere se devo o non devo considerare l'insieme di partenza per determinare se una relazione è, per esempio, simmetrica.
E per di più continuo a trovare la relazione "è fratello di" come esempio di relazione simmetrica, senza specificare l'insieme di riferimento--cosa che francamente trovo piuttosto ambigua. Se consideriamo l'insieme delle persone di sesso maschile, allora sì, se $x$ è fratello di $y$ allora $y$ è fratello di $x$. Ma se consideriamo l'insieme delle persone di entrambi i sessi, allora se $x$ è fratello di $y$, non necessariamente $y$ è fratello di $x$. A meno che con "fratello" non si intenda anche "sorella". Ecco il motivo per cui cercavo un esempio numerico.
No, non riesco a seguire.
Non riesco a comprendere se devo o non devo considerare l'insieme di partenza per determinare se una relazione è, per esempio, simmetrica.
E per di più continuo a trovare la relazione "è fratello di" come esempio di relazione simmetrica, senza specificare l'insieme di riferimento--cosa che francamente trovo piuttosto ambigua. Se consideriamo l'insieme delle persone di sesso maschile, allora sì, se $x$ è fratello di $y$ allora $y$ è fratello di $x$. Ma se consideriamo l'insieme delle persone di entrambi i sessi, allora se $x$ è fratello di $y$, non necessariamente $y$ è fratello di $x$. A meno che con "fratello" non si intenda anche "sorella". Ecco il motivo per cui cercavo un esempio numerico.
Non riesco a comprendere se devo o non devo considerare l'insieme di partenza per determinare se una relazione è, per esempio, simmetrica.Come può la risposta a questa domanda essere "no, non devi"?
Per il resto, stai facendoti esempi dalla vita reale; questo è un errore per il motivo che hai scoperto con la relazione di fraternità. Queste cose si capiscono ragionando con le definizioni in astratto.
"ragoo":
Le definizioni sono farina del mio sacco, in verità.
E ciò è male... Non in assoluto, ma almeno all'inizio.
"ragoo":
No, non riesco a seguire.
Non riesco a comprendere se devo o non devo considerare l'insieme di partenza per determinare se una relazione è, per esempio, simmetrica.
Ovvio che sì, altrimenti che senso avrebbe il discorso?
"ragoo":
E per di più continuo a trovare la relazione "è fratello di" come esempio di relazione simmetrica, senza specificare l'insieme di riferimento--cosa che francamente trovo piuttosto ambigua. Se consideriamo l'insieme delle persone di sesso maschile, allora sì, se $x$ è fratello di $y$ allora $y$ è fratello di $x$. Ma se consideriamo l'insieme delle persone di entrambi i sessi, allora se $x$ è fratello di $y$, non necessariamente $y$ è fratello di $x$. A meno che con "fratello" non si intenda anche "sorella". Ecco il motivo per cui cercavo un esempio numerico.
Qui dovrebbe essere chi ti ha proposto l'esempio a chiarirti sia la definizione di "essere fratello" sia l'insieme in cui è ambientato il problema, come faccio io in aula coi miei studenti.
Per esempio, in aula chiarisco di volta in volta (come mi viene a seconda del contesto) se "essere fratello" vuole dire "avere gli stessi genitori" oppure "avere almeno uno stesso genitore" oppure "avere gli stessi genitori biologici" oppure "avere almeno uno stesso genitore biologico"; e qual è l'insieme in cui si considera questa relazione, tipo "gli studenti in aula", oppure "gli studenti nella scuola", oppure "gli studenti nelle scuole di Napoli", etc...
A seconda del senso che dai alle cose, acchiappi relazioni differenti, ma con le stesse proprietà (riflessiva, simmetrica e transitiva).
Okay, quindi...
Dati i tre insiemi:
$A={1}$
$B={2,3,4}$
$C={1,2,3}$
Se considero la relazione $x=sqrt(y)$, essa è riflessiva se definita nell'insieme $A$, poiché $AAx in A: x ℛ x$.
Se definita nell'insieme $B$ é irriflessiva poiché $AAx in B: \neg(xℛx)$.
Se definita nell'insieme $C$ non é riflessiva né irriflessiva.
Dati i due insiemi:
$A={1,2,3}$
$B={1,2}$
Se considero la relazione $x>y$, essa è transitiva se definita nell'insieme $A$, poiché $AAx,y,z in A: x ℛ y^^y ℛ z=>x ℛ z$.
Se definita nell'insieme $B$ non é né transitiva né intransitiva.
Fin qui dico bene?
Dati i tre insiemi:
$A={1}$
$B={2,3,4}$
$C={1,2,3}$
Se considero la relazione $x=sqrt(y)$, essa è riflessiva se definita nell'insieme $A$, poiché $AAx in A: x ℛ x$.
Se definita nell'insieme $B$ é irriflessiva poiché $AAx in B: \neg(xℛx)$.
Se definita nell'insieme $C$ non é riflessiva né irriflessiva.
Dati i due insiemi:
$A={1,2,3}$
$B={1,2}$
Se considero la relazione $x>y$, essa è transitiva se definita nell'insieme $A$, poiché $AAx,y,z in A: x ℛ y^^y ℛ z=>x ℛ z$.
Se definita nell'insieme $B$ non é né transitiva né intransitiva.
Fin qui dico bene?
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