Relazione D'ordine!
Salve a tutti! mi date una mano a Dimostrare se una relazione è una relazione d'ordine!
Consideriamo le seguente relazione
$a|b$ a divide b Definita su Naturali $NN$
Voglio verificare se questa relazione è una relazione D'ordine!
Non tutti le coppie di $NN^2$ fanno parte della relazione ad esempio $2|3$ non fa parte della relazione perché non esiste un naturale che moltiplicato per $2$ fa $3$
Consideriamo $ B sube NN^2 $ $B$ è l'insieme delle coppie che soddisfano la relazione data. Ora voglio vedere se questa relazione è una relazione d'ordine!
Quindi devo verificare se soddisfa la proprietà Riflessiva:
$ AA a in B $ $aRa$ questo significa che $a|a$ ovvero esiste $q$ che moltiplicato $a$ mi da $a$
Proprietà antisimmetrica :
$ AA a,b in B $ se $aRb$ e $bRa$ $a=b$
Questo significa che $ AA a,b in B $ se $a|b$ implica che esiste $q*a=b$ e se $b|a$ implica che esiste $q*b=a$ ma se questo è vero $a=b$
Proprietà Transitiva:
$ AA a,b in B $ $aRb$ $bRc$ allora $aRc$
Questo vuol dire che :$ AA a,b in B $ se $a|b$ e se $b|c$ allora anche $a|c$
Non so se cosi possa andare bene o manchi qualcosa, aspetto vostre notizie!
Consideriamo le seguente relazione
$a|b$ a divide b Definita su Naturali $NN$
Voglio verificare se questa relazione è una relazione D'ordine!
Non tutti le coppie di $NN^2$ fanno parte della relazione ad esempio $2|3$ non fa parte della relazione perché non esiste un naturale che moltiplicato per $2$ fa $3$
Consideriamo $ B sube NN^2 $ $B$ è l'insieme delle coppie che soddisfano la relazione data. Ora voglio vedere se questa relazione è una relazione d'ordine!
Quindi devo verificare se soddisfa la proprietà Riflessiva:
$ AA a in B $ $aRa$ questo significa che $a|a$ ovvero esiste $q$ che moltiplicato $a$ mi da $a$
Proprietà antisimmetrica :
$ AA a,b in B $ se $aRb$ e $bRa$ $a=b$
Questo significa che $ AA a,b in B $ se $a|b$ implica che esiste $q*a=b$ e se $b|a$ implica che esiste $q*b=a$ ma se questo è vero $a=b$
Proprietà Transitiva:
$ AA a,b in B $ $aRb$ $bRc$ allora $aRc$
Questo vuol dire che :$ AA a,b in B $ se $a|b$ e se $b|c$ allora anche $a|c$
Non so se cosi possa andare bene o manchi qualcosa, aspetto vostre notizie!
Risposte
non va male ma neanche bene:
non hai dimostrato la proprietà transitiva, l'hai solo enunciata.
e anche nell' antisimmetrica non sei proprio preciso, perchè sembra che dici che se $a|b$ e $b|a$ allora $a=q*b$ e $b=q*a$ e allora è ovvio che $q=1$ mentre tu a priori non puoi saperlo, tu sai che $a=q*b$ e $b=q'*a$ ciò che devi mostrare è che $q=q'=1$
non hai dimostrato la proprietà transitiva, l'hai solo enunciata.
e anche nell' antisimmetrica non sei proprio preciso, perchè sembra che dici che se $a|b$ e $b|a$ allora $a=q*b$ e $b=q*a$ e allora è ovvio che $q=1$ mentre tu a priori non puoi saperlo, tu sai che $a=q*b$ e $b=q'*a$ ciò che devi mostrare è che $q=q'=1$
Io sarei un po' scettica anche sulla proprietà riflessiva.
Siamo sicuri che $0|0$?
Siamo sicuri che $0|0$?
ok! Grazie Della collaborazione!
io vorrei imparare a dimostrare queste proprietà! c'è un metodo da poter seguire? o algoritmo indicativo? ogni consiglio è bene accetto!
io vorrei imparare a dimostrare queste proprietà! c'è un metodo da poter seguire? o algoritmo indicativo? ogni consiglio è bene accetto!
ehi un attimo, c'è uin errore grave!
infatti tu definisci all'inizio $B$ come un sottoinsieme di $NN^2$, poi tratti i suoi elementi come se fossero degli elementi di $NN$
quindi è da rifare, o rivedere perlomeno.
da lì nasce l'obiezione di @melia, ma il problema è più grosso
ma comunque ybor4 riflettici, perchè ho visto che non è la prima volta che fai errori di questo tipo
infatti tu definisci all'inizio $B$ come un sottoinsieme di $NN^2$, poi tratti i suoi elementi come se fossero degli elementi di $NN$
quindi è da rifare, o rivedere perlomeno.
da lì nasce l'obiezione di @melia, ma il problema è più grosso
ma comunque ybor4 riflettici, perchè ho visto che non è la prima volta che fai errori di questo tipo
In effetti, non è la prima volta che ci sbatto il muso, ma non mi vuole proprio entrare nella testa!
Non capisco la tua osservazione!
io ho questa relazione $a|b$ con $a,b in NN$ ${0} !in NN$, quindi a è in relazione con b se e solo se a|b!
$N^2{(a,b): a in NN,b in NN}$ in questo insieme ci saranno delle coppie che non appartengono alla mia relazione.
$B{(a,b): a in NN,b in NN ^^ a|b}$ Naturalmente $ B subeN^2 $
Io sono qui per imparare
ci sto mettendo il massimo dell'impegno!
Non capisco la tua osservazione!
io ho questa relazione $a|b$ con $a,b in NN$ ${0} !in NN$, quindi a è in relazione con b se e solo se a|b!
$N^2{(a,b): a in NN,b in NN}$ in questo insieme ci saranno delle coppie che non appartengono alla mia relazione.
$B{(a,b): a in NN,b in NN ^^ a|b}$ Naturalmente $ B subeN^2 $
Io sono qui per imparare
ci sto mettendo il massimo dell'impegno!
Dimostrazione della Proprietà Transitiva:
$ AA a,b,c in NN $ $aRb$ $bRc$ allora $aRc$
$ AA a,b,c in NN $ se $a|b$ significa che $b=n*a$ e se $b|c$ significa che $c=m*b$ allora $c= m*b=m*(n*a)=(m*n)*a$ e quindi anche $a|c$
$ AA a,b,c in NN $ $aRb$ $bRc$ allora $aRc$
$ AA a,b,c in NN $ se $a|b$ significa che $b=n*a$ e se $b|c$ significa che $c=m*b$ allora $c= m*b=m*(n*a)=(m*n)*a$ e quindi anche $a|c$
Conoscete un eserciziario su queste cose in modo che possa esercitarmi!?
"@melia":
Dimostrazione della Proprietà Transitiva:
$ AA a,b,c in B $ $aRb$ $bRc$ allora $aRc$
$ AA a,b,c in B $ se $a|b$ significa che $b=n*a$ e se $b|c$ significa che $c=m*b$ allora $c= m*b=m*(n*a)=(m*n)*a$ e quindi anche $a|c$
scusa @melia ma non capisco perchè anche tu tratti gli elementi di $B$ come se fossero elementi di $NN$..
sugli elementi di $B$ non è definita alcuna relazione di divisibilità.
ybor4 prova a pensare: quando ha senso dire $a|b$ ? quando $a$ e $b$ sono numeri, mentre non puoi dire $(a,b)|(c,d)$ non ha senso.
quindi tu devi trovare il sottinsieme di $NN$ in cui vale la tua relazione d'ordine.
poi attento tu parli di una relazione come se fosse un insieme "delle coppie che non appartengono alla mia relazione."
non ha senso dire che qualcosa appartiene ad una relazione, si può solo parlare di appartenenza ad un insieme.
io per insieme di coppie intendo gli elementi dell'insieme B che sono in relazione ovvero a|b!
Cmq sul mio libro di testo c'è specificato che una relazione è un sotto insieme del prodotto cartesiano..
Cmq sul mio libro di testo c'è specificato che una relazione è un sotto insieme del prodotto cartesiano..
va bene vediamo la relazione come insieme. possiamo dire che data una relazione possiamo sempre trovare l'insieme degli elementi che la soddisfano.
detto questo resta il problema: tu puoi dire che $a|b$ se $a,b in NN$ ad esempio, ma non che $a|b$ se $a,b in NN^2$.
prova a dirmi se $(2,6)|(13,1)$.. non ha senso ti pare.
ciò che tu devi fare è trovare un sottoinsieme di $NN$ ripeto di $NN$ in cui la relazione $|$ (divide) è una relazione d'ordine.
detto questo resta il problema: tu puoi dire che $a|b$ se $a,b in NN$ ad esempio, ma non che $a|b$ se $a,b in NN^2$.
prova a dirmi se $(2,6)|(13,1)$.. non ha senso ti pare.
ciò che tu devi fare è trovare un sottoinsieme di $NN$ ripeto di $NN$ in cui la relazione $|$ (divide) è una relazione d'ordine.
ok!
Ci rifletto un po sopra ! ho un altro esercizio da proporre
Ci rifletto un po sopra ! ho un altro esercizio da proporre
"ybor4":
Consideriamo le seguente relazione
$a|b$ a divide b Definita su Naturali $NN$
Voglio verificare se questa relazione è una relazione D'ordine!
Quali elementi di B? Il testo dell'esercizio non parla assolutamente dell'insieme B che è solo un parto della fantasia di ybor4.
È vero, adesso ho visto e correggo subito, mi sono dimenticata di correggere l'insieme.
Scusa @melia! ma in $NN$ ci saranno elementi che fanno parte della relazione ed elementi che non fanno parte della relazione! come la specifichi questa cosa?
Ragazzi,
Dopo una lunga analisi, sono sempre più convinto che vi sbagliate! e della stessa idea è il mio prof
Vi spiego!
La nostra relazione è una relazione binaria, quindi non è matematicamente sbagliato definirla cosi:
$ NN^+*NN^+ ={(a,b)| a in NN^+ , b in NN^+} $
$ B sub NN^+ $
$ B={(a,b)|a in NN^+, b in NN^+, a|b} $
Il prof mi ha detto di immaginare come se connettessimo con un arco ogni coppia "Relazione binaria che soddisfa la relazione a|b" !
Non va intesa coma dicevate (a,b)|(a,b)!
Visto che ci sono ne approfitto per fare una domanda. Una coppia ordinata va vista come un tutt'uno? Provo ad essere più chiaro!
$ B nn NN^+= O/ $
$B={(2,4),(2,8)....}$
$NN^+{1,2,3,....}$
$B sub NN^+*NN^$
Che è Diverso da
$A sub NN^+ $
$A{ x,y | x-Divide-y}$ $A={2,4,8,...}$
Fatemi sapere se il prof mi ha ulteriormente confuso
Dopo una lunga analisi, sono sempre più convinto che vi sbagliate! e della stessa idea è il mio prof
Vi spiego!
La nostra relazione è una relazione binaria, quindi non è matematicamente sbagliato definirla cosi:
$ NN^+*NN^+ ={(a,b)| a in NN^+ , b in NN^+} $
$ B sub NN^+ $
$ B={(a,b)|a in NN^+, b in NN^+, a|b} $
Il prof mi ha detto di immaginare come se connettessimo con un arco ogni coppia "Relazione binaria che soddisfa la relazione a|b" !
Non va intesa coma dicevate (a,b)|(a,b)!
Visto che ci sono ne approfitto per fare una domanda. Una coppia ordinata va vista come un tutt'uno? Provo ad essere più chiaro!
$ B nn NN^+= O/ $
$B={(2,4),(2,8)....}$
$NN^+{1,2,3,....}$
$B sub NN^+*NN^$
Che è Diverso da
$A sub NN^+ $
$A{ x,y | x-Divide-y}$ $A={2,4,8,...}$
Fatemi sapere se il prof mi ha ulteriormente confuso
stai migliorando:
io e @melia non stiamo sbagliando, stiamo dicendo tutti la stessa cosa, solo che tu non hai capito i nostri suggerimenti, infatti ciò che risulta chiaro leggendo i messaggi è che tu cerchi di definire la relazione divide in modo $(a,b)|(c,d)$ perhcè vedi $B$ come insieme di coppie, e definisci la divisione tra elementi di $B$.
però quando scrivi $B={(x,y) | x,y in N^+ , a|b}$
finalmente scrivi giusto.
il problema è che ancora dici che $B sub NN^+$ è questo non ha senso.
ma sei sulla buona strada, infatti ti sei fatto una buona domanda: sì che una coppia va vista come un tutt'uno, è proprio quello il senso.
il problema di tutto ciò che dicevi prima è che tu non capivi che se definisci $B$ come insieme di coppie, poi scrivi $a in B$ tu intendevi un elemento di una coppia che sta in $B$, ma non è così, se $a$ sta in $B$ allora $a$ sarà proprio una coppia!!
ma mi pare che ci stai arrivando, ottimo.
io e @melia non stiamo sbagliando, stiamo dicendo tutti la stessa cosa, solo che tu non hai capito i nostri suggerimenti, infatti ciò che risulta chiaro leggendo i messaggi è che tu cerchi di definire la relazione divide in modo $(a,b)|(c,d)$ perhcè vedi $B$ come insieme di coppie, e definisci la divisione tra elementi di $B$.
però quando scrivi $B={(x,y) | x,y in N^+ , a|b}$
finalmente scrivi giusto.
il problema è che ancora dici che $B sub NN^+$ è questo non ha senso.
ma sei sulla buona strada, infatti ti sei fatto una buona domanda: sì che una coppia va vista come un tutt'uno, è proprio quello il senso.
il problema di tutto ciò che dicevi prima è che tu non capivi che se definisci $B$ come insieme di coppie, poi scrivi $a in B$ tu intendevi un elemento di una coppia che sta in $B$, ma non è così, se $a$ sta in $B$ allora $a$ sarà proprio una coppia!!
ma mi pare che ci stai arrivando, ottimo.
Grazie mille! Ora ho le idee un po più chiare!
Il prof, mi ha suggerito, che per qualsiasi dimostrazione è molto utile prima ragionare su un caso specifico e poi cercare di generalizzare!!! Voi mi date qualche altra Dritta?
Il prof, mi ha suggerito, che per qualsiasi dimostrazione è molto utile prima ragionare su un caso specifico e poi cercare di generalizzare!!! Voi mi date qualche altra Dritta?
Per esercitarmi ho provato a fare questo esercizio!
Traccia: Consideriamo il numero $30 in NN^+$ e l'insieme A dei suo divisori $A={1,2,3,5,6,12,15,30}$
Prima osservazione! la traccia secondo voi è giusta? $ 12 !in A $ ovvero non esiste $q$ che moltiplicato $12$ mi da $30$ in $NN^+$ giusto?
Va be lasciamo stare questa osservazione e consideriamo l'insieme $A={1,2,3,5,6,12,15,30}$ con questa proprietà a precede b se e solo se a divide b!
Vogliamo vedere se questa è una relazione D'ordine! p.s. io ho già fatto l'esercizio utilizzando un diagramma ad Hasse e sembra essere una relazione d'ordine!
Comunque Mi costruisco il prodotto cartesiano!
$A*A{(a,b)|a in A, b in A}$
Considero solo le coppie ordinate che soddisfano la mia relazione
$B{(a,b)| a -Divide- b}$
$ B sub A^2 $ e $ B nn A= O/ $
$B{(1,1),(2,2),(3,3),(5,5),(6,6),(12,12),(15,15),(30,30),(1,2),(1,3),(1,5),(1,6)(1,12),(1,15),(1,30),(2,6),(2,12),(2,30),(3,6),(3,12),(3,15),(3,30),(5,15),(5,30),(6,12),(6,30),(15,30)}$
Proprietà Riflessiva
Ogni numero divide se stesso , in questo caso ogni numero precede se stesso! $ AA (a,a)in B $ $a-Divide-a$
Proprietà Antissimetrica
$ AA (a,b)in B $ se $a$ divide $b$ e $b$ divide $a$ $a,b$ devono essere necessariamente uguali $a=b$
Proprietà Transitivà
$ AA (a,b,c) in B$ se $a$ precede $b$ e $b$ precede $c$ allora anche $a$ precede $c$
In questo caso può andare bene la dimostrazione cosi data? in questo caso non è generale ma punta verità che può essere verificata andando a sostituire le variabili con valori della mia relazione!
Domanda! Vorrei sapere se l'insieme B ha massimo è minimo! Qui mi serve un bel chiarimento l'insieme B è un insieme di coppie quindi dovrei considerare coppie che seguono o precedono ogni coppia dell'insieme? in questo caso la coppia (1,1) precede ogni coppia dell'insieme mentre la coppia (30,30) segue ogni coppia dell'insieme.. non credo che sia molto giusto! Se li considero singolarmente sul mio diagramma ad Hasse $1$ precede tutti gli elementi di $A$ precede anche se stesso stessa storia anche per il numero $30$ segue ogni elemento di $A$ anche se stesso .
Grazie anticipatamente
Traccia: Consideriamo il numero $30 in NN^+$ e l'insieme A dei suo divisori $A={1,2,3,5,6,12,15,30}$
Prima osservazione! la traccia secondo voi è giusta? $ 12 !in A $ ovvero non esiste $q$ che moltiplicato $12$ mi da $30$ in $NN^+$ giusto?
Va be lasciamo stare questa osservazione e consideriamo l'insieme $A={1,2,3,5,6,12,15,30}$ con questa proprietà a precede b se e solo se a divide b!
Vogliamo vedere se questa è una relazione D'ordine! p.s. io ho già fatto l'esercizio utilizzando un diagramma ad Hasse e sembra essere una relazione d'ordine!
Comunque Mi costruisco il prodotto cartesiano!
$A*A{(a,b)|a in A, b in A}$
Considero solo le coppie ordinate che soddisfano la mia relazione
$B{(a,b)| a -Divide- b}$
$ B sub A^2 $ e $ B nn A= O/ $
$B{(1,1),(2,2),(3,3),(5,5),(6,6),(12,12),(15,15),(30,30),(1,2),(1,3),(1,5),(1,6)(1,12),(1,15),(1,30),(2,6),(2,12),(2,30),(3,6),(3,12),(3,15),(3,30),(5,15),(5,30),(6,12),(6,30),(15,30)}$
Proprietà Riflessiva
Ogni numero divide se stesso , in questo caso ogni numero precede se stesso! $ AA (a,a)in B $ $a-Divide-a$
Proprietà Antissimetrica
$ AA (a,b)in B $ se $a$ divide $b$ e $b$ divide $a$ $a,b$ devono essere necessariamente uguali $a=b$
Proprietà Transitivà
$ AA (a,b,c) in B$ se $a$ precede $b$ e $b$ precede $c$ allora anche $a$ precede $c$
In questo caso può andare bene la dimostrazione cosi data? in questo caso non è generale ma punta verità che può essere verificata andando a sostituire le variabili con valori della mia relazione!
Domanda! Vorrei sapere se l'insieme B ha massimo è minimo! Qui mi serve un bel chiarimento
l'insieme B è un insieme di coppie quindi dovrei considerare coppie che seguono o precedono ogni coppia dell'insieme? in questo caso la coppia (1,1) precede ogni coppia dell'insieme mentre la coppia (30,30) segue ogni coppia dell'insieme.. non credo che sia molto giusto! Se li considero singolarmente sul mio diagramma ad Hasse $1$ precede tutti gli elementi di $A$ precede anche se stesso stessa storia anche per il numero $30$ segue ogni elemento di $A$ anche se stesso .Grazie anticipatamente
Mi avete abbandonato?
Ovviamente [tex]12 \notin A[/tex], dunque [tex]A=\{1,2,3,5,6,15,30\}[/tex].
Non hai dimostrato niente, ma ti sei limitato ad enunciare le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva: devi dimostrare che ogni numero divide se stesso (sembra ovvio, ma andrebbe provato), devi mostrare che se [tex]a\mid b \land b\mid a[/tex] allora [tex]a=b[/tex] (meno ovvio ma facile) e devi provare che se [tex]a\mid b\land b\mid c[/tex] allora [tex]a\mid c[/tex].
Il massimo ed il minimo vanno eventualmente cercati in [tex]A[/tex] e non in [tex]B[/tex]: in [tex]A[/tex] rispetto all'ordine dato.
P.S.
Lascia stare i diagrammi di Hasse, sono una cosa delicata: il diagramma andrebbe fatto una volta che è chiaro come funziona l'eventuale ordinemanto e non per capire esso come si comporta.
Non hai dimostrato niente, ma ti sei limitato ad enunciare le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva: devi dimostrare che ogni numero divide se stesso (sembra ovvio, ma andrebbe provato), devi mostrare che se [tex]a\mid b \land b\mid a[/tex] allora [tex]a=b[/tex] (meno ovvio ma facile) e devi provare che se [tex]a\mid b\land b\mid c[/tex] allora [tex]a\mid c[/tex].
Il massimo ed il minimo vanno eventualmente cercati in [tex]A[/tex] e non in [tex]B[/tex]: in [tex]A[/tex] rispetto all'ordine dato.
P.S.
Lascia stare i diagrammi di Hasse, sono una cosa delicata: il diagramma andrebbe fatto una volta che è chiaro come funziona l'eventuale ordinemanto e non per capire esso come si comporta.
Io vorrei imparare a Fare le dimostrazioni!
in questo caso dovrebbe essere cosi!
Dimostrazione della Proprietà Transitiva:
$forall a,b,c in NN, aRb$ e $bRc$ allora $aRc$
$forall a,b,c in NN$ se $a|b$ significa che $b=n⋅a$ e se $b|c$ significa che $c=m⋅b$ allora $c=m⋅b=m⋅(n⋅a)=(m⋅n)⋅a$ e quindi anche $a|c$
come detto precedentemente, vorrei capire come si dimostra qualcosa!
Per il massimo e Minimo potresti essere più chiaro gentilmente!
[mod="WiZaRd"]Per favore, ricordiamoci di usare i compilatori, grazie.[/mod]
in questo caso dovrebbe essere cosi!
Dimostrazione della Proprietà Transitiva:
$forall a,b,c in NN, aRb$ e $bRc$ allora $aRc$
$forall a,b,c in NN$ se $a|b$ significa che $b=n⋅a$ e se $b|c$ significa che $c=m⋅b$ allora $c=m⋅b=m⋅(n⋅a)=(m⋅n)⋅a$ e quindi anche $a|c$
come detto precedentemente, vorrei capire come si dimostra qualcosa!
Per il massimo e Minimo potresti essere più chiaro gentilmente!
[mod="WiZaRd"]Per favore, ricordiamoci di usare i compilatori, grazie.[/mod]
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