Relazione D'ordine!
Salve a tutti! mi date una mano a Dimostrare se una relazione è una relazione d'ordine!
Consideriamo le seguente relazione
$a|b$ a divide b Definita su Naturali $NN$
Voglio verificare se questa relazione è una relazione D'ordine!
Non tutti le coppie di $NN^2$ fanno parte della relazione ad esempio $2|3$ non fa parte della relazione perché non esiste un naturale che moltiplicato per $2$ fa $3$
Consideriamo $ B sube NN^2 $ $B$ è l'insieme delle coppie che soddisfano la relazione data. Ora voglio vedere se questa relazione è una relazione d'ordine!
Quindi devo verificare se soddisfa la proprietà Riflessiva:
$ AA a in B $ $aRa$ questo significa che $a|a$ ovvero esiste $q$ che moltiplicato $a$ mi da $a$
Proprietà antisimmetrica :
$ AA a,b in B $ se $aRb$ e $bRa$ $a=b$
Questo significa che $ AA a,b in B $ se $a|b$ implica che esiste $q*a=b$ e se $b|a$ implica che esiste $q*b=a$ ma se questo è vero $a=b$
Proprietà Transitiva:
$ AA a,b in B $ $aRb$ $bRc$ allora $aRc$
Questo vuol dire che :$ AA a,b in B $ se $a|b$ e se $b|c$ allora anche $a|c$
Non so se cosi possa andare bene o manchi qualcosa, aspetto vostre notizie!
Consideriamo le seguente relazione
$a|b$ a divide b Definita su Naturali $NN$
Voglio verificare se questa relazione è una relazione D'ordine!
Non tutti le coppie di $NN^2$ fanno parte della relazione ad esempio $2|3$ non fa parte della relazione perché non esiste un naturale che moltiplicato per $2$ fa $3$
Consideriamo $ B sube NN^2 $ $B$ è l'insieme delle coppie che soddisfano la relazione data. Ora voglio vedere se questa relazione è una relazione d'ordine!
Quindi devo verificare se soddisfa la proprietà Riflessiva:
$ AA a in B $ $aRa$ questo significa che $a|a$ ovvero esiste $q$ che moltiplicato $a$ mi da $a$
Proprietà antisimmetrica :
$ AA a,b in B $ se $aRb$ e $bRa$ $a=b$
Questo significa che $ AA a,b in B $ se $a|b$ implica che esiste $q*a=b$ e se $b|a$ implica che esiste $q*b=a$ ma se questo è vero $a=b$
Proprietà Transitiva:
$ AA a,b in B $ $aRb$ $bRc$ allora $aRc$
Questo vuol dire che :$ AA a,b in B $ se $a|b$ e se $b|c$ allora anche $a|c$
Non so se cosi possa andare bene o manchi qualcosa, aspetto vostre notizie!
Risposte
La dimostrazione va bene.
Per il massimo ed il minimo: devi lavorare nell'insieme $A$, non in una parte del suo prodotto cartesiano. Il massimo ed il minimo si intendono rispetto ad una data relazione d'ordine: il massimo è quello che viene preceduto da tutti ed il minimo è quello che precede tutti, ergo, se in $A$ hai un ordinamento allora è rispetto a questo che va stabilito chi è il massimo e chi il minimo, altrimenti dovresti definire un ordinamento nella parte del prodotto cartesiano di $A$. Se proprio poi vuoi usare $B$ e lavorare insiemisticamente, allora in $B$ è massimo la cordinata seconda che compare in ogni coppia che puoi formare prendendo come prima cordinata ogni elemento di $A$ ed il minimo è la prima cordinata che compare in tutte le coppie che puoi formare prendendo come seconda cordianta tutti gli elementi di $A$.
Per il massimo ed il minimo: devi lavorare nell'insieme $A$, non in una parte del suo prodotto cartesiano. Il massimo ed il minimo si intendono rispetto ad una data relazione d'ordine: il massimo è quello che viene preceduto da tutti ed il minimo è quello che precede tutti, ergo, se in $A$ hai un ordinamento allora è rispetto a questo che va stabilito chi è il massimo e chi il minimo, altrimenti dovresti definire un ordinamento nella parte del prodotto cartesiano di $A$. Se proprio poi vuoi usare $B$ e lavorare insiemisticamente, allora in $B$ è massimo la cordinata seconda che compare in ogni coppia che puoi formare prendendo come prima cordinata ogni elemento di $A$ ed il minimo è la prima cordinata che compare in tutte le coppie che puoi formare prendendo come seconda cordianta tutti gli elementi di $A$.
Buon giorno, probabilmente prima, mi sono espresso male, la dimostrazione non è mia, ma è stata postata precedentemente.
Ora vorrei provare ad esercitarmi con questa relazione,
dato $a$ ed $b$ in $NN^+$ $a$ è in relazione con $b$ se $b-a$ è un numero $NN$
$ B sube NN^2 $ e $ B{(a,b)|a in NN^+,b in NN^+, b-a in NN } $
Ora dovrei dimostrare le tre proprietà della relazione d'ordine
Cosa significa $x-y$ ? significa che esiste un $z$ tale che $z+y=x$
Riflessiva !
$ AA (a,a) in B $ $a$ è in relazione con se stesso, $ EE z $ che sommato ad $a$ mi da $a$, $z=0$, $a-a=0$,
$a+0=a$
Antisimmetrica!
$ AA (a,b) in B $ se $ a-b in NN $ quindi $a=b+z$ e $ b-a in NN $ quindi $b=a+z_1$ allora $a=b$ allora $z=z_1$
Per la Transitiva ho un po di difficoltà, sperando che la dimostrazione di sopra vada bene
Ora vorrei provare ad esercitarmi con questa relazione,
dato $a$ ed $b$ in $NN^+$ $a$ è in relazione con $b$ se $b-a$ è un numero $NN$
$ B sube NN^2 $ e $ B{(a,b)|a in NN^+,b in NN^+, b-a in NN } $
Ora dovrei dimostrare le tre proprietà della relazione d'ordine
Cosa significa $x-y$ ? significa che esiste un $z$ tale che $z+y=x$
Riflessiva !
$ AA (a,a) in B $ $a$ è in relazione con se stesso, $ EE z $ che sommato ad $a$ mi da $a$, $z=0$, $a-a=0$,
$a+0=a$
Antisimmetrica!
$ AA (a,b) in B $ se $ a-b in NN $ quindi $a=b+z$ e $ b-a in NN $ quindi $b=a+z_1$ allora $a=b$ allora $z=z_1$
Per la Transitiva ho un po di difficoltà, sperando che la dimostrazione di sopra vada bene
Questo ordinamento è l'usuale ordinamento sui numeri naturali, i.e. quando ordinariamente dici che, presi [tex]x,y \in \mathbb{N}[/tex], è [tex]x\leqslant y[/tex], stai proprio dicendo che [tex]y-x \in \mathbb{N}[/tex].
La dimostrazione della proprietà riflessiva va bene, quella della proprietà antisimmetrica no: da [tex]b=a+z_{1}[/tex] e [tex]a=b+z_{2}[/tex] si deduce che [tex]b=b+z_{2}+z_{1}[/tex], da cui segue che [tex]0=z_{1}+z_{2}[/tex] e siccome in [tex]\mathbb{N}[/tex] non ci sono gli opposti, a fortiori deve essere [tex]z_{1}=z_{2}=\ldots[/tex], da cui [tex]a=b[/tex].
La dimostrazione della proprietà riflessiva va bene, quella della proprietà antisimmetrica no: da [tex]b=a+z_{1}[/tex] e [tex]a=b+z_{2}[/tex] si deduce che [tex]b=b+z_{2}+z_{1}[/tex], da cui segue che [tex]0=z_{1}+z_{2}[/tex] e siccome in [tex]\mathbb{N}[/tex] non ci sono gli opposti, a fortiori deve essere [tex]z_{1}=z_{2}=\ldots[/tex], da cui [tex]a=b[/tex].
e per la transitiva?
Siano [tex]a,b,c \in \mathbb{N}[/tex], sia [tex]a\leqslant b[/tex] e [tex]b\leqslant c[/tex]: allora [tex]a+x=b[/tex] e [tex]b+y=c[/tex]. Ne segue che [tex]c=(a+x)+y=a+(x+y)[/tex], ovvero [tex]a \leqslant c[/tex].
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