Razionalizzazione di una frazione

[taz7-anthony]

Non riesco a razionalizzare questa frazione:
$ (7-x)/sqrt(3 + sqrt(x + 2) ) $

In verità la mia difficoltà è risolvere il prodotto finale che compare al numeratore. Ora vi mostro i vari passaggi:
Innanzitutto ho moltiplicato numeratore e denominatore per $ sqrt(3 + sqrt(x + 2) ) /sqrt(3 + sqrt(x + 2) ) $
ed esce fuori questo: $ [(7 - x) (sqrt(3+sqrt(x+2) ))] /(3 + sqrt(x + 2) ) $
moltiplico ancora numeratore e denominatore per $ (3- sqrt(x + 2)) /(3 - sqrt(x + 2) ) $
quindi ottengo $ [(7-x)(sqrt(3+sqrt(x+2) ))(3-sqrt(x+2))]/ (9-(x+2)) $
Ecco. Ora come risolvo il prodotto che compare al numeratore? Non ci riesco proprio

[Gi81]

Prima di tutto, il denominatore si semplifica con $(7-x)$ che c'è a numeratore.

quindi hai $sqrt(3+sqrt(x+2) )*(3-sqrt(x+2))$
Puoi lasciarlo così, non credo che sia un problema.

[taz7-anthony]

Ah si è vero! Che sbadato! non me n'ero accorto. Grazie.
Solo che il risultato non si trova. Il libro porta così:
$ sqrt(3-sqrt(x+2) ) * sqrt(7-x) $
Ho sbagliato qualcosa nella razionalizzazione quindi?

[Gi81]

No, è tutto corretto.
L'unica possibile semplificazione potrebbe essere quella di vedere $3-sqrt(x+2)$ come $sqrt(3-sqrt(x+2))*sqrt(3-sqrt(x+2))$.

Dunque otteniamo $sqrt(3+sqrt(x+2) )*sqrt(3-sqrt(x+2))*sqrt(3-sqrt(x+2))= sqrt[(3+sqrt(x+2) )(3-sqrt(x+2) )]*sqrt(3-sqrt(x+2))$.
E si arriva a quanto scrive il libro

[taz7-anthony]

Grazie mille. Gentilissimo