Rappresentazione grafica di funzioni Complesse.
Stavo sfogliando il mio libro di matematica ( Elementi di matematica, Ghisetti e Corvi, modulo A ), e mi sono imbattuto nei numeri complessi; affascinato da questo argomento me li sono un po' studiati (così, in linea generale 
). Però ho un dubbio, ho capito come si possono trovare gli zeri delle equazioni di 2° grado a discriminante negativo, ma non ho capito come possa questa curva essere rappresentata graficamente. Se trovo come zeri delle radici complesse significa che, per forza, sto lavorando con una curva con Dominio incluso nell'insieme dei numeri complessi. Ma come viene rappresentata graficamente una parabola di questo tipo?
Se un numero complesso viene rappresentato con il Piano di Gauss, non mi servirebbero quattro assi ortogonali per rappresentare la curva ( 2 per il numero complesso delle ascisse e due per il numero complesso delle ordinate ) ? Così ho provato a rappresentarla in un piano a tre assi x y z con z che è la retta degli immaginari condivisa dagl'altri due, però non mi torna niente. Forse devo rappresentarli vettorialmente? Aiutatemi per favore, è un dubbio che mi assilla troppo
). Però ho un dubbio, ho capito come si possono trovare gli zeri delle equazioni di 2° grado a discriminante negativo, ma non ho capito come possa questa curva essere rappresentata graficamente. Se trovo come zeri delle radici complesse significa che, per forza, sto lavorando con una curva con Dominio incluso nell'insieme dei numeri complessi. Ma come viene rappresentata graficamente una parabola di questo tipo? Se un numero complesso viene rappresentato con il Piano di Gauss, non mi servirebbero quattro assi ortogonali per rappresentare la curva ( 2 per il numero complesso delle ascisse e due per il numero complesso delle ordinate ) ? Così ho provato a rappresentarla in un piano a tre assi x y z con z che è la retta degli immaginari condivisa dagl'altri due, però non mi torna niente. Forse devo rappresentarli vettorialmente? Aiutatemi per favore, è un dubbio che mi assilla troppo
Risposte
"Jona95":
Stavo sfogliando il mio libro di matematica ( Elementi di matematica, Ghisetti e Corvi, modulo A ), e mi sono imbattuto nei numeri complessi; affascinato da questo argomento me li sono un po' studiati (così, in linea generale
Se un numero complesso viene rappresentato con il Piano di Gauss, non mi servirebbero quattro assi ortogonali per rappresentare la curva ( 2 per il numero complesso delle ascisse e due per il numero complesso delle ordinate ) ? Così ho provato a rappresentarla in un piano a tre assi x y z con z che è la retta degli immaginari condivisa dagl'altri due, però non mi torna niente. Forse devo rappresentarli vettorialmente? Aiutatemi per favore, è un dubbio che mi assilla troppo
Ciao Jona95, forse non ho capito la tua domanda... provo comunque a svolgere qualche considerazione: se una parabola non incontra mai l'asse delle x non ha soluzioni tra i numeri reali, per trovare le soluzioni devo "uscire" dall'insieme dei numeri reali e andare in un altro insieme che contiene il precedente, l'insieme dei numeri complessi appunto, ma la parabola dell'equazione che non ha radici reali l'ho comunque disegnata sul piano, normalmente... non incontra l'asse x e basta, ti pare logico?
Ma non capisco il significato geometrico di questa cosa allora. Se ho, per esempio, l'equazione y=x^2+1 che va da C a C la x potrà allora assumere valori complessi, così come la y. Ma geometricamente che significa? E' rappresentabile graficamente?
Hai ragione, non si riesce a rappresentare una funzione $f$ di variabile complessa $z$ (i numeri complessi abitualmente si indicano con la $z$ per evitare confusioni con i reali), proprio per il motivo che dici: se indichiamo il numero complesso così: $z=x+iy$, dove $x$ ed $y$ sono numeri reali che rappresentano parte reale e parte immaginaria di $z$, allora in generale anche una funzione $f(z)$ sarà esprimibile per mezzo di una parte reale e di una immaginaria, diciamo che sia tanto per capirci: $f(z)=u(z)+iv(z)$; data l'impossibilità di rappresentare quattro variabili (parte reale $u$ ed immaginaria $v$ della funzione, parte reale $x$ ed immaginaria $y$ della variabile) solitamente ci si accontenta di dare due rappresentazioni tridimensionali, una per $u(x,y)$ ed un'altra, separata, per $v(x,y)$.
Ad esempio, se fosse : $f(z)=z^2+1$ scrivendo $z=x+iy$ si avrebbe: $f(z)=(x+iy)^2+1=x^2-y^2+1+2ixy$;
si può rappresentare in uno spazio $(x, y, u)$ l'andamento della parte reale $u=x^2-y^2+1$ ed in un altro $(x, y, v)$ quello della parte immaginaria $v=2xy$. Tenendo comunque presente che per ogni coppia $(x, y)$ la funzione è la coppia di numeri $(u, v)$.
Di più, che io sappia, non si può fare, e già così non è sempre banale rappresentare su un foglio (bidimensionale) un grafico tridimensionale.
Ad esempio, se fosse : $f(z)=z^2+1$ scrivendo $z=x+iy$ si avrebbe: $f(z)=(x+iy)^2+1=x^2-y^2+1+2ixy$;
si può rappresentare in uno spazio $(x, y, u)$ l'andamento della parte reale $u=x^2-y^2+1$ ed in un altro $(x, y, v)$ quello della parte immaginaria $v=2xy$. Tenendo comunque presente che per ogni coppia $(x, y)$ la funzione è la coppia di numeri $(u, v)$.
Di più, che io sappia, non si può fare, e già così non è sempre banale rappresentare su un foglio (bidimensionale) un grafico tridimensionale.
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