Raggi vettori focali - ellisse

[rosa munda]

Buongiorno - in un libro di testo, a proposito di ellisse, viene indicato quanto segue:
- ci limitiamo a segnalare che i raggi vettori focali sono espressi in funzione dell'ascissa del punto corrispondente, tramite le formule: $r1 = a-ex; r2 = a+ex)$
(per $e$ immagino si intenda l'eccentricità)

Vorrei saperne di più: cioè come si ottiene questa formula: ho provato a cercare sul web ma non sono riuscita a trovare alcunchè.
Grazie per l'aiuto

[Indrjo Dedej]

Cosa sono i raggi vettori focali?

[rosa munda]

Sono le distanze di un punto dell'ellisse dai suoi fuochi (raggio vettore focale destro o sinistro).

[Indrjo Dedej]

Ciao
Considera un'ellisse di equazione\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ .\]E sia anche $a>b>0$. Questo cosa significa? Significa che i fuochi stanno sull'asse delle ascisse. Se $b>a>0$, si procede similmente (i fuochi sono sull'asse delle ordinate!).
Prendiamo un punto $P:=(u,v)$ dell'ellisse. In tal caso (fai il disegno dell'ellisse, se non capisci) abbiamo che uno dei due raggi vettori focali misura, ricordandosi che $P$ è un punto dell'ellisse e le relazioni tra $a$, $b$, $c$ e $e$,\begin{align*}r_1&=\sqrt{(u-c)^2+v^2}=\\ & =\sqrt{u^2+c^2-2cu+b^2-\frac{b^2}{a^2}u^2}=\\ & =\sqrt{u^2-2cu+\frac{c^2}{e^2}-(1-e^2)u^2}= \\ & =\sqrt{\frac{c^2}{e^2}-2cu+e^2u^2}= \\ & =\sqrt{\Big(\frac{c}{e}-eu\Big)^2}= \\ & =\lvert a-eu \rvert \ .\end{align*} Ora, essendo $0

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[rosa munda]

Grazie grazie ... appena riesco studio bene la tua risposta ... grazie di nuovo

[rosa munda]

Gentile Indrjo, ho cercato di comprendere le formula indicate : purtroppo non sono stata in grado di comprendere i passaggi e nello specifico:

- 1°passaggio: come si arriva da $v^2 $ a $ b^2-(b^2/a^2)u^2$
(qui mi sorprende anche il passaggio dall'ordinata $v$ all'ascissa $u$ )

- 2° passaggio: con l'aggiunta di $c^2$ come si ottiene $(c^2/e^2) - (1-e^2)u^2"$

Ho presente che $ a^2-c^2 = b^2 $ e anche $ e = c/a $ e ancora $ a= c/e $
ma purtroppo non riesco ad andare oltre .... mi serve qualche altro indizio.

Grazie di ogni aiuto. Buona giornata.

[Indrjo Dedej]

1) $P=(u,v)$ appartiene all'ellisse, quindi \[\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}=1 \Leftrightarrow v^2=b^2\Bigg(1-\frac{u^2}{a^2}\Bigg) \ .\]
2)\[c^2+b^2=a^2=\frac{c^2}{e^2}\]\[\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^2-c^2}{a^2}=1-\frac{c^2}{a^2}=1-e^2 \ .\]

[rosa munda]

Troppo bello!
La matematica è una cosa meravigliosa!
Grazie mille. Buona notte.