Radici di un' equazione di quarto grado. [Risolto]
Ciao 
Sono in difficoltà con questa equazione:
\(\displaystyle x^4 -x^3 +1 = 0 \)
Sono in grado di risolvere le biquadratiche e le bicubiche ma in questo caso quell'x alla terza non so come gestirla.
Ho provato a trovare una radice razionale \(\displaystyle \frac{m}{n} \) (dove m divide il termine noto ed n divide il coeff. della x alla quarta), cioè 1, e poi ho diviso il polinomio per \(\displaystyle (x -1) \), ottenendo:
\(\displaystyle x^4 -x^3 +1 = x^3 (x -1) +1 \)
ma sono bloccato lì (anche per via del resto della divisione)!
Con Geogebra ho visto l'assenza di radici (o almeno di radici reali), ma non capisco come poter dimostrare la loro assenza.
Potete darmi qualche dritta su cosa provare o su cosa studiare per gestire una equazione del genere?
Grazie
Ps è il mio primo post, spero di aver azzeccato la sezione
Sono in difficoltà con questa equazione:
\(\displaystyle x^4 -x^3 +1 = 0 \)
Sono in grado di risolvere le biquadratiche e le bicubiche ma in questo caso quell'x alla terza non so come gestirla.
Ho provato a trovare una radice razionale \(\displaystyle \frac{m}{n} \) (dove m divide il termine noto ed n divide il coeff. della x alla quarta), cioè 1, e poi ho diviso il polinomio per \(\displaystyle (x -1) \), ottenendo:
\(\displaystyle x^4 -x^3 +1 = x^3 (x -1) +1 \)
ma sono bloccato lì (anche per via del resto della divisione)!
Con Geogebra ho visto l'assenza di radici (o almeno di radici reali), ma non capisco come poter dimostrare la loro assenza.
Potete darmi qualche dritta su cosa provare o su cosa studiare per gestire una equazione del genere?
Grazie
Ps è il mio primo post, spero di aver azzeccato la sezione
Risposte
"crisixk":
Con Geogebra ho visto l'assenza di radici (o almeno di radici reali), ma non capisco come poter dimostrare la loro assenza.
Potete darmi qualche dritta su cosa provare o su cosa studiare per gestire una equazione del genere?
Ciao crisixk e benvenuto al forum.
La dritta "classica" - e non lo dico perché non mi viene in mente altro, ma perché allo scientifico facevo così
- era quella di calcolare la derivata e poi affidarsi al destino. In altre parole fai un "mini" studio di funzione considerando $f(x)=x^4-x^3+1$ e vedi se tale funzione interseca l'asse $x$ passando attraverso le derivate.Mi spiego meglio:
$f'(x)=4x^3-3x^2=x^2(4x-3)$
Senza fare uno studio del segno particolare, si può vedere che la derivata è positiva per $x>3/4$, quindi la funzione decresce fino al punto di ascissa $x=3/4$ e poi cresce. Per $f(x)$, dunque, si deduce che $x=3/4$ è un punto di minimo globale.
[Nota per completezza. Il punto $x=0$ che annulla comunque la derivata, è un flesso a tangente orizzontale visto che la derivata prima e dopo ha lo stesso segno.]
A questo punto, vedi il valore di $f(x)$ nel punto di minimo globale.
$f(3/4)=81/256-27/64+1=(81-108+256)/256=...$ comunque maggiore di zero.
Quindi se, nel punto di minimo assoluto, $f(x)>0$ allora $f(x)$ non intersecherà mai l'asse $x$ e, quindi, l'equazione associata non avrà radici reali.
Sia $\alpha$ è una eventuale radice reale dell'equazione $x^{4}-x^{3}+1=0$
$\alpha^{4}-\alpha^{3}+1=0$
$\alpha^{3}=\alpha^{4}+1>1$
Quindi $\alpha>1$
$\alpha^{4}-\alpha^{3}+1=\alpha^{3}(\alpha-1)+1>0$
Assurdo, quindi non possono esserci radici reali
$\alpha^{4}-\alpha^{3}+1=0$
$\alpha^{3}=\alpha^{4}+1>1$
Quindi $\alpha>1$
$\alpha^{4}-\alpha^{3}+1=\alpha^{3}(\alpha-1)+1>0$
Assurdo, quindi non possono esserci radici reali
Grazie Zero87!
più o meno ho capito il senso di quello che dici
mi sto preparando con un precorso prima di iniziare il primo anno a Informatica, dove avrò un esamino di ingresso. Le derivate non dovrebbero essere contemplate (credo) quindi immagino che l'eq. dell'esercizio per quanto riguarda me debba rimanere insoluta.
Risposta davvero chiara ed esauriente <3
più o meno ho capito il senso di quello che dici
mi sto preparando con un precorso prima di iniziare il primo anno a Informatica, dove avrò un esamino di ingresso. Le derivate non dovrebbero essere contemplate (credo) quindi immagino che l'eq. dell'esercizio per quanto riguarda me debba rimanere insoluta.
Risposta davvero chiara ed esauriente <3
La soluzione di totissimus mi sembra più interessante.
Un altro modo immediato per capire che l'equazione non ammette soluzioni
reali:
$x^{4}-x^{3}+1=\left(\frac{1}{2}x^{2}-x\right)^{2}+\frac{3}{4}x^{4}-x^{2}+1>0$
in quanto il trinomio$\frac{3}{4}x^{4}-x^{2}+1$ di secondo grado
in $x^{2}$ ha discriminante negativo.
reali:
$x^{4}-x^{3}+1=\left(\frac{1}{2}x^{2}-x\right)^{2}+\frac{3}{4}x^{4}-x^{2}+1>0$
in quanto il trinomio$\frac{3}{4}x^{4}-x^{2}+1$ di secondo grado
in $x^{2}$ ha discriminante negativo.
In maniera più "semplicistica" (non più semplice )
Per $x>1$ abbiamo che $x^4-x^3>0$ quindi non ci sono soluzioni.
Per $x=1$ abbiamo che l'equazione diventa $1=0$ quindi nessuna soluzione
Per $0
Per $x=0$ abbiamo che l'equazione diventa $1=0$ quindi nessuna soluzione
Per $x<0$ abbiamo che $x^4-x^3>0$ quindi nessuna soluzione.
Cordialmente, Alex
)Per $x>1$ abbiamo che $x^4-x^3>0$ quindi non ci sono soluzioni.
Per $x=1$ abbiamo che l'equazione diventa $1=0$ quindi nessuna soluzione
Per $0
Per $x=0$ abbiamo che l'equazione diventa $1=0$ quindi nessuna soluzione
Per $x<0$ abbiamo che $x^4-x^3>0$ quindi nessuna soluzione.
Cordialmente, Alex
Grazie totissimus 
Purtroppo non riesco a comprendere la tua soluzione; nello specifico non capisco da dove venga fuori 1 a destra del simbolo maggiore qui:
$\alpha^{3}=\alpha^{4}+1>1$
e il perché debba essere assurdo questo:
$\alpha^{4}-\alpha^{3}+1=\alpha^{3}(\alpha-1)+1>0$
ad intuito non ci arrivo, te magari lo sai, perché hai maggiori conoscenze matematiche o semplicemente perché lo hai scritto te
Se tu mi dessi queste delucidazioni te ne sarei ulteriormente grato!
PS la mia matematica è quella di un Geometra diplomato
Purtroppo non riesco a comprendere la tua soluzione; nello specifico non capisco da dove venga fuori 1 a destra del simbolo maggiore qui:
$\alpha^{3}=\alpha^{4}+1>1$
e il perché debba essere assurdo questo:
$\alpha^{4}-\alpha^{3}+1=\alpha^{3}(\alpha-1)+1>0$
ad intuito non ci arrivo, te magari lo sai, perché hai maggiori conoscenze matematiche o semplicemente perché lo hai scritto te
Se tu mi dessi queste delucidazioni te ne sarei ulteriormente grato!
PS la mia matematica è quella di un Geometra diplomato
Grazie Alex (axpgn) per la "maniera semplicistica"
però ad ogni tua riga mi ci vorrebbe un perché
cioè, se x maggiore di 1 abbiamo questo... perché? Se x uguale ad 1 abbiamo quest'altro... si ma perché??
Te magari lo dai per scontato, ma io non ho idea del perché si abbia questo o quello in base a certi valori della x.
Se potresti darmi le motivazioni di quei passaggi te ne sarei ulteriormente grato (considera che ho un diploma da Geometra e stop)
però ad ogni tua riga mi ci vorrebbe un perché
cioè, se x maggiore di 1 abbiamo questo... perché? Se x uguale ad 1 abbiamo quest'altro... si ma perché??
Te magari lo dai per scontato, ma io non ho idea del perché si abbia questo o quello in base a certi valori della x.
Se potresti darmi le motivazioni di quei passaggi te ne sarei ulteriormente grato (considera che ho un diploma da Geometra e stop)
@crisixk
$$\alpha^{4}\geq0\Longrightarrow\alpha^{4}+1\geq1$$
$$\alpha^{4}\geq0\Longrightarrow\alpha^{4}+1\geq1$$
"qualcuno":
La soluzione di totissimus mi sembra più interessante.
E lo è, non ci avevo pensato.
"totissimus":
@crisixk
$$\alpha^{4}\geq0\Longrightarrow\alpha^{4}+1\geq1$$
Grazie
ora ho capito questo passaggio (e quel maggiore di 1), perché immagino che una potenza quarta darà sempre un valore positivo o uguale a 0:
$\alpha^{3}=\alpha^{4}+1>1$
continuo a non capire perché quest'altro sia assurdo:
$\alpha^{4}-\alpha^{3}+1=\alpha^{3}(\alpha-1)+1>0$
Continuo nella linea semplicistica ...
Quando la $x$ è maggiore di $1$, la potenza "più grande" è sempre maggiore della potenza "più piccola"; pensa a $2^4=2*2^3>2^3$ ...
Quando invece la $x$ è sempre positiva ma minore di $1$, accade l'inverso, ovvero la potenza "più grande" è sempre minore della potenza "più piccola"; pensa a $(1/2)^4=1/2*(1/2)^3<(1/2)^3$; comunque però entrambi i termini sono minori di $1$ quindi la loro differenza sarà minore di $1$.
Infine quando la $x$ è negativa, abbiamo che $x^4$ è positiva (potenza di indice pari) mentre è vero che $x^3$ è sempre negativa (potenza di indice dispari) ma con il "meno" davanti diventa positiva; quindi anche in questo caso $x^4-x^3$ è positiva.
Cordialmente, Alex
Quando la $x$ è maggiore di $1$, la potenza "più grande" è sempre maggiore della potenza "più piccola"; pensa a $2^4=2*2^3>2^3$ ...
Quando invece la $x$ è sempre positiva ma minore di $1$, accade l'inverso, ovvero la potenza "più grande" è sempre minore della potenza "più piccola"; pensa a $(1/2)^4=1/2*(1/2)^3<(1/2)^3$; comunque però entrambi i termini sono minori di $1$ quindi la loro differenza sarà minore di $1$.
Infine quando la $x$ è negativa, abbiamo che $x^4$ è positiva (potenza di indice pari) mentre è vero che $x^3$ è sempre negativa (potenza di indice dispari) ma con il "meno" davanti diventa positiva; quindi anche in questo caso $x^4-x^3$ è positiva.
Cordialmente, Alex
Grazie Alex, ho capito perfettamente quello che mi hai spiegato, purtroppo non riesco ad utilizzare la tua spiegazione per capire il perché $\alpha^{4}-\alpha^{3}+1=\alpha^{3}(\alpha-1)+1>0$ debba essere assurdo
magari mi manca qualche nozione di livello più alto per capire, in quel caso posso prenderla per buona e aspettare giorni migliori
magari mi manca qualche nozione di livello più alto per capire, in quel caso posso prenderla per buona e aspettare giorni migliori
totissimus ha dimostrato che SE una soluzione dell'equazione esiste questa deve essere maggiore di $1$
Ma allora ne consegue che $x^3(x-1)>0$ perché $x^3$ è positivo e pure $x-1$ lo è dato che $x>1$
Ma allora ne consegue che $x^3(x-1)>0$ perché $x^3$ è positivo e pure $x-1$ lo è dato che $x>1$
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