Radici complesse di un polinomio
Buon pomeriggio,
ho difficoltà con il seguente esercizio:
Trovare le radice complesse del polinomio $ z^4+z^2+1 $
Visto che z è un numero complesso ho pensato di sostituirlo con $ a+ib $ e poi svolgere gli elevamenti a potenza, ho ottenuto:
$ a^4+4ia^3b-6a^2b^2+a^2-4iab^3+2iab+b^4-b^2+1 $
Il problema è che in questa forma ho difficoltà a trovare modulo e argomento per trovare le radici...sempre se è così che si procede
grazie in anticipo.
ho difficoltà con il seguente esercizio:
Trovare le radice complesse del polinomio $ z^4+z^2+1 $
Visto che z è un numero complesso ho pensato di sostituirlo con $ a+ib $ e poi svolgere gli elevamenti a potenza, ho ottenuto:
$ a^4+4ia^3b-6a^2b^2+a^2-4iab^3+2iab+b^4-b^2+1 $
Il problema è che in questa forma ho difficoltà a trovare modulo e argomento per trovare le radici...sempre se è così che si procede
grazie in anticipo.
Risposte
Vedila così: devi risolvere questa equazione: $z^4+z^2+1=0$ che è la classica biquadratica che si risolve con una sostituzione 
Ho visto che già c'è la risposta, ma voglio dare un pensiero creativo.
Come puoi vedere si tratta di un chiaro esempio di falso quadrato - è ancora usata questa terminologia oggi?
Ti insegno, se non lo sai, un trucco che ci hanno detto alle superiori nel caso di falso quadrato con grado superiore al secondo.
Inizia con il moltiplicarlo alla base che manca per avere la somma e/o la differenza di cubi.
$(z^4+z^2+1)(z^2-1)=z^6-1$
Ora ricordiamoci che $z^2-1=(z-1)(z+1)$ e che dopo questi due fattori vanno tolti perché aggiunti a mano da noi.
A questo punto scomponiamo nel modo diverso, ovvero non come differenza di cubi ma come differenza di quadrati.
$z^6-1=(z^3-1)(z^3+1)=(z-1)(z^2+z+1)(z+1)(z^2-z+1)$
Togli il $(z+1)(z-1)$ aggiunto a mano da noi e il gioco è fatto. Tornando all'equazione, uguagliando a zero ottieni che la soluzione dell'equazione originale è l'unione delle soluzioni dei due trinomi ottenuti.
Si tratta di tanti metodi "caserecci" insegnati alle superiori fino all'età del sottoscritto - oggi si fanno le trasformate di Laplace, l'induzione e le serie numeriche ma poi davanti a un qualsiasi polinomio non si sa nemmeno dove mettere le mani.
Il consiglio personale è di fare questa sostituzione quando viene espressamente chiesto o quando non si sa dove sbattere la testa. Con il fatto che nei moduli entrano in gioco radici di somme di quadrati o altro, la complessità aumenta molto facilmente facendo questa sostituzione.
"sine nomine":
Trovare le radice complesse del polinomio $ z^4+z^2+1 $
Come puoi vedere si tratta di un chiaro esempio di falso quadrato - è ancora usata questa terminologia oggi?
Ti insegno, se non lo sai, un trucco che ci hanno detto alle superiori nel caso di falso quadrato con grado superiore al secondo.
Inizia con il moltiplicarlo alla base che manca per avere la somma e/o la differenza di cubi.
$(z^4+z^2+1)(z^2-1)=z^6-1$
Ora ricordiamoci che $z^2-1=(z-1)(z+1)$ e che dopo questi due fattori vanno tolti perché aggiunti a mano da noi.
A questo punto scomponiamo nel modo diverso, ovvero non come differenza di cubi ma come differenza di quadrati.
$z^6-1=(z^3-1)(z^3+1)=(z-1)(z^2+z+1)(z+1)(z^2-z+1)$
Togli il $(z+1)(z-1)$ aggiunto a mano da noi e il gioco è fatto. Tornando all'equazione, uguagliando a zero ottieni che la soluzione dell'equazione originale è l'unione delle soluzioni dei due trinomi ottenuti.
Si tratta di tanti metodi "caserecci" insegnati alle superiori fino all'età del sottoscritto - oggi si fanno le trasformate di Laplace, l'induzione e le serie numeriche ma poi davanti a un qualsiasi polinomio non si sa nemmeno dove mettere le mani.
Visto che z è un numero complesso ho pensato di sostituirlo con $ a+ib $ e poi svolgere gli elevamenti a potenza
Il consiglio personale è di fare questa sostituzione quando viene espressamente chiesto o quando non si sa dove sbattere la testa. Con il fatto che nei moduli entrano in gioco radici di somme di quadrati o altro, la complessità aumenta molto facilmente facendo questa sostituzione.
@Zero87 bellissimo!
Grazie a tutti per le risposte! Metto qui di seguito i passaggi che ho fatto per arrivare alle radici:
chiamo $ x=z^2 $ da cui $ x^2+x=-1 $
per poter scrivere il primo membro dell'equazione come il quadrato di un binomio ho aggiunto 1/4 a entrambi i lati:
$ x^2+x+1/4=-3/4 $
$ (x+1/2)^2=-3/4 $
faccio la radice a entrambi i membri e ottengo le due equazioni:
$ x+1/2=i*sqrt(3)/2 $ e $ x+1/2=-i*sqrt(3)/2 $
da cui
$ x=i*sqrt(3)/2-1/2 $ e $ x=-i*sqrt(3)/2-1/2 $
rimetto z
$ z^2=i*sqrt(3)/2-1/2 $ e $ z^2=-i*sqrt(3)/2-1/2 $
di nuovo faccio la radice a entrambi i membri e ottengo altre due equazioni per ciascuna delle due sopra:
per la prima:
$ z=sqrt(isqrt(3)/2-1/2) $ e $ z=-sqrt(isqrt(3)/2-1/2) $
per la seconda:
$ z=sqrt(-isqrt(3)/2-1/2) $ e $ z=-sqrt(-isqrt(3)/2-1/2) $
Ora mi perdonerete se ne sto a risolvere una sola delle quattro tanto per le altre il procedimento è simile
per la prima delle quattro:
$ isqrt(3)/2-1/2=1/4+i/2sqrt(3)-3/4=(1+2isqrt(3)-3)/4=(1+2isqrt(3)+(isqrt(3))^2)/4=((1+isqrt(3))^2)/4 $
e quindi:
$ z=1/2(1+isqrt(3)) $
le altre radici se si fanno i calcoli sono:
$ z=1/2(-isqrt(3)-1) $
$ z=1/2(1-isqrt(3)) $
$ z=-1/2(1-isqrt(3)) $
Grazie ancora per l'aiuto e buon ognissanti a tutti!
chiamo $ x=z^2 $ da cui $ x^2+x=-1 $
per poter scrivere il primo membro dell'equazione come il quadrato di un binomio ho aggiunto 1/4 a entrambi i lati:
$ x^2+x+1/4=-3/4 $
$ (x+1/2)^2=-3/4 $
faccio la radice a entrambi i membri e ottengo le due equazioni:
$ x+1/2=i*sqrt(3)/2 $ e $ x+1/2=-i*sqrt(3)/2 $
da cui
$ x=i*sqrt(3)/2-1/2 $ e $ x=-i*sqrt(3)/2-1/2 $
rimetto z
$ z^2=i*sqrt(3)/2-1/2 $ e $ z^2=-i*sqrt(3)/2-1/2 $
di nuovo faccio la radice a entrambi i membri e ottengo altre due equazioni per ciascuna delle due sopra:
per la prima:
$ z=sqrt(isqrt(3)/2-1/2) $ e $ z=-sqrt(isqrt(3)/2-1/2) $
per la seconda:
$ z=sqrt(-isqrt(3)/2-1/2) $ e $ z=-sqrt(-isqrt(3)/2-1/2) $
Ora mi perdonerete se ne sto a risolvere una sola delle quattro tanto per le altre il procedimento è simile
per la prima delle quattro:
$ isqrt(3)/2-1/2=1/4+i/2sqrt(3)-3/4=(1+2isqrt(3)-3)/4=(1+2isqrt(3)+(isqrt(3))^2)/4=((1+isqrt(3))^2)/4 $
e quindi:
$ z=1/2(1+isqrt(3)) $
le altre radici se si fanno i calcoli sono:
$ z=1/2(-isqrt(3)-1) $
$ z=1/2(1-isqrt(3)) $
$ z=-1/2(1-isqrt(3)) $
Grazie ancora per l'aiuto e buon ognissanti a tutti!
"andar9896":
@Zero87 bellissimo!
Grazie! Ma il merito non è mio, è della vecchia scuola dell'obbligo (prima del 2010 circa) che ogni tanto tira fuori spunti interessanti.
"sine nomine":
per poter scrivere il primo membro dell'equazione come il quadrato di un binomio ho aggiunto 1/4 a entrambi i lati:
$ x^2+x+1/4=-3/4 $
$ (x+1/2)^2=-3/4 $
Altro metodo molto interessante e alla base della soluzione di altri tipi di equazioni (es. dovrebbe essere anche alla base della formula risolutiva di quelle di secondo grado).
Appena letto il testo avevo visto questa scomposizione
$z^4+z^2+1= (z^4+2z^2+1)-z^2=(z^2+1)^2-z^2= (z^2+1+z)(z^2+1-z)$ che poi va a finire come la soluzione di sine nomine.
$z^4+z^2+1= (z^4+2z^2+1)-z^2=(z^2+1)^2-z^2= (z^2+1+z)(z^2+1-z)$ che poi va a finire come la soluzione di sine nomine.
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